2025年高等數(shù)學(xué)工專試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\neq2\)C.\(x\gt1且x\neq2\)D.\(x\geq1\)答案：C2.當(dāng)\(x\to0\)時，與\(x\)等價的無窮小是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^{x}-1\)答案：C3.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}\)等于（）A.\(f^\prime(a)\)B.\(2f^\prime(a)\)C.\(0\)D.\(f^\prime(2a)\)答案：B4.曲線\(y=x^{3}-3x\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.無拐點(diǎn)答案：A5.\(\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx\)（\(x\gt1\)）等于（）A.\(\arcsin\frac{1}{x}+C\)B.\(-\arcsin\frac{1}{x}+C\)C.\(\arccos\frac{1}{x}+C\)D.\(-\arccos\frac{1}{x}+C\)答案：A6.設(shè)\(f(x)\)是連續(xù)函數(shù)，且\(F(x)=\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt\)，則\(F^\prime(x)\)等于（）A.\(f(x^{2})\)B.\(2xf(x^{2})\)C.\(x^{2}f(x^{2})\)D.\(2f(x)\)答案：B7.向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)與向量\(\vec=(2,-4,6)\)的關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.夾角為\(45^{\circ}\)D.夾角為\(60^{\circ}\)答案：B8.平面\(2x-y+3z=6\)在\(y\)軸上的截距是（）A.\(6\)B.\(-6\)C.\(2\)D.\(-2\)答案：D9.冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\)的收斂半徑\(R\)是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.\(2\)答案：B10.微分方程\(y^\prime+2y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^{2x}\)B.\(y=Ce^{-2x}\)C.\(y=C\sin2x\)D.\(y=C\cos2x\)答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)的函數(shù)有（）A.\(f(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},x\neq0\\1,x=0\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}e^{x},x\geq0\\1+x,x\lt0\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x\lt0\end{cases}\)答案：ABC2.下列求導(dǎo)正確的是（）A.\((x^{n})^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^{x})^\prime=e^{x}\)答案：ABCD3.下列積分值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-a}^{a}x\sin^{2}xdx\)B.\(\int_{-a}^{a}x^{2}\cosxdx\)C.\(\int_{-a}^{a}x\cos^{2}xdx\)D.\(\int_{-a}^{a}x^{3}\sinxdx\)答案：AC4.對于向量\(\vec{a}=(1,1,-1)\)和向量\(\vec=(-1,0,1)\)，以下說法正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=-2\)B.\(\vec{a}\times\vec=(1,0,1)\)C.\(|\vec{a}|=\sqrt{3}\)D.\(|\vec|=\sqrt{2}\)答案：ACD5.下列平面方程中，與平面\(2x+3y-z=1\)平行的有（）A.\(2x+3y-z=0\)B.\(4x+6y-2z=3\)C.\(-2x-3y+z=5\)D.\(x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z=2\)答案：ABCD6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\)在其收斂區(qū)間\((-R,R)\)內(nèi)具有的性質(zhì)有（）A.絕對收斂B.可以逐項(xiàng)求導(dǎo)C.可以逐項(xiàng)積分D.和函數(shù)連續(xù)答案：ABCD7.下列函數(shù)中，是二階線性常系數(shù)齊次微分方程\(y^{\prime\prime}+3y^\prime+2y=0\)的解的有（）A.\(y=e^{-x}\)B.\(y=e^{-2x}\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=e^{2x}\)答案：AB8.以下極限存在的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)答案：ABD9.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_{0}\)處可微的充分條件有（）A.\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_{0}\)處連續(xù)B.\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_{0}\)處可導(dǎo)C.\(\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)\)（\(\Deltax\to0\)）D.\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_{0}\)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等答案：BC10.下列關(guān)于定積分性質(zhì)的說法正確的是（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geqg(x)\)在\([a,b]\)上成立，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx\)答案：ABCD三、判斷題1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（×）2.若函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_{0}\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_{0}\)處一定連續(xù)。（√）3.函數(shù)\(y=x^{3}\)在\(x=0\)處有極值。（×）4.\(\int_{0}^{1}x^{2}dx\lt\int_{0}^{1}x^{3}dx\)。（×）5.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與向量\(\vec=(2,4,6)\)是相等向量。（×）6.平面\(x+y+z=1\)與平面\(x+y+z=2\)平行。（√）7.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\)在\(|x|\lt1\)時收斂。（√）8.微分方程\(y^\prime=y\)的通解是\(y=Ce^{x}\)。（√）9.若\(\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)\)存在，\(\lim\limits_{x\tox_{0}}g(x)\)不存在，則\(\lim\limits_{x\tox_{0}}[f(x)+g(x)]\)不存在。（√）10.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)就是由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積。（×）四、簡答題1.求函數(shù)\(y=x^{3}-3x^{2}-9x+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。先求導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=-1\)或\(x=3\)。當(dāng)\(x\lt-1\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-1\ltx\lt3\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt3\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以極大值為\(y(-1)=10\)，極小值為\(y(3)=-22\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}xe^{x}dx\)。利用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^{x}dx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^{x}\)。\(\int_{0}^{1}xe^{x}dx=[xe^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{x}dx\)\(=e-[e^{x}]_{0}^{1}=e-(e-1)=1\)。3.求過點(diǎn)\((1,2,3)\)且與平面\(2x-3y+z=4\)垂直的直線方程。平面的法向量\(\vec{n}=(2,-3,1)\)就是直線的方向向量\(\vec{s}\)。所以直線的點(diǎn)向式方程為\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{1}\)。4.求冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n}\)的收斂域。令\(t=x-1\)，則冪級數(shù)變?yōu)閈(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n}}{n}\)。其收斂半徑\(R=1\)。當(dāng)\(t=1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；當(dāng)\(t=-1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\)收斂。所以\(-1\leqt\lt1\)，即\(0\leqx\lt2\)，收斂域?yàn)閈([0,2)\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,x\geq0\\ax+b,x\lt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。首先求連續(xù)性，\(\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{+}}(x^{2}+1)=1\)，\(\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{-}}(ax+b)=b\)，\(f(0)=1\)，要使函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)，則\(b=1\)。再求可導(dǎo)性，\(f^\prime_{+}(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x^{2}+1-1}{x}=0\)，\(f^\prime_{-}(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{ax+1-1}{x}=a\)，要使函數(shù)在\(x=0\)處可導(dǎo)，則\(a=0\)。2.討論在實(shí)際問題中，如何運(yùn)用定積分來計(jì)算平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。在計(jì)算平面圖形面積時，首先要確定圖形的邊界曲線方程，找到它們的交點(diǎn)，確定積分區(qū)間。然后根據(jù)曲線位置關(guān)系確定被積函數(shù)，用定積分\(\int_{a}^|f(x)-g(x)|dx\)來計(jì)算。對于旋轉(zhuǎn)體體積，若繞\(x\)軸旋轉(zhuǎn)，用圓盤法\(V=\pi\int_{a}^[f(x)]^{2}dx\)；若有兩個曲線，用\(V=\pi\int_{a}^([f(x)]^{2}-[g(x)]^{2})dx\)；繞\(y\)軸旋轉(zhuǎn)則可能需用柱殼法等。3.討論多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分之間的關(guān)系。偏導(dǎo)數(shù)存在是全微分存在的必要條件，但不是充分條件。若函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_{0},y_{0})\)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)一定存在。然而，偏導(dǎo)數(shù)存在時函數(shù)不一定可微。只有當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)時，函數(shù)在該點(diǎn)才一定可微。