1/14.2指數(shù)函數(shù)思維導圖新課標要求1.通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念。2.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點。知識梳理一、指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.二、兩類指數(shù)模型1．y＝kax(k>0)，當a>1時為指數(shù)增長型函數(shù)模型．2．y＝kax(k>0)，當0<a<1時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型．三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質如下表：a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1函數(shù)值的變化當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1單調性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)名師導學知識點1指數(shù)函數(shù)的概念判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法(1)底數(shù)的值是否符合要求．(2)ax前的系數(shù)是否為1.(3)指數(shù)是否符合要求．【例1-1】若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得出關于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】由題意可得，解得.故選：C.【變式訓練1-1】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1【答案】C【分析】根據(jù)已知條件列不等式，由此求得正確選項.【詳解】由已知得，即，解得．故選：C【變式訓練1-2】若函數(shù)（，且）是指數(shù)函數(shù)，則________．【答案】8【分析】根據(jù)指函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，所以．故答案為：8.【變式訓練1-3】下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是__________(填序號)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義逐個分析判斷即可【詳解】①的系數(shù)不是，不是指數(shù)函數(shù)；②的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)；④的底數(shù)是不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；⑤的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；⑥是冪函數(shù)．故答案為：③知識點2指數(shù)函數(shù)的定義域與值域函數(shù)y＝af(x)定義域、值域的求法(1)定義域：形如y＝af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．(2)值域：①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通過建立不等關系求定義域時，要注意解集為各不等關系解集的交集．(2)當指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時，在求定義域、值域時要注意分類討論．【例2-1】函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的被開方式非負，列出不等式，求解不等式可得答案.【詳解】由題意得，即，解得．故選：C.【例2-2】函數(shù)的值域為____.【答案】【分析】函數(shù)是復合二次函數(shù)，換元轉化為二次函數(shù)值域問題.【詳解】解：令，函數(shù)化為，即函數(shù)的值域為．故答案為：【變式訓練2-1】函數(shù)的定義域為______________．【答案】【分析】換元，得出，求出的范圍，由此可得出的取值范圍，即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】換元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函數(shù)的定義域為，故答案為.【變式訓練2-2】函數(shù)的定義域為M，值域為，則M=______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)值域列出關系式，求解指數(shù)不等式即可求得答案.【詳解】因為函數(shù)的值域為，所以，所以，即，故，所以，則函數(shù)的定義域為．實際上，只要即可滿足條件，即可以為并上任意一個的子集均可.故答案為：（答案不唯一）【變式訓練2-3】函數(shù)且的值域是，則實數(shù)____.【答案】或【分析】根據(jù)指數(shù)的單調性，分和兩種情況，結合單調性列式求解即可【詳解】當時，函數(shù)且是增函數(shù)，值域是，；當時，函數(shù)且是減函數(shù)，值域是，.綜上所述，可得實數(shù)或.故答案為：或知識點3指數(shù)函數(shù)的圖象及應用（重點）處理函數(shù)圖象問題的策略(1)抓住特殊點：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只要令指數(shù)為0，求出對應的x，y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質：奇偶性與單調性．【例3-1】函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分析函數(shù)在時的單調性及值域即可得解.【詳解】由可知，當時，單調遞減，且，故選：C【例3-2】已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像經(jīng)過（

）．A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限C．第二、四象限 D．第一、二象限【答案】B【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二象限，又的圖象是由的圖象沿y軸向下平移2個單位得到，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，如圖，故選：B【例3-3】函數(shù)（且）恒過一定點________.【答案】【分析】令，求出的值后，再代入函數(shù)解析式，即可得解.【詳解】令可得，則，因此，函數(shù)的圖象恒過定點.故答案為：.【變式訓練3-1】函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)改寫成分段函數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質判斷即可.【詳解】解：函數(shù)，當時，是增函數(shù)，當時，的減函數(shù)，且時，，即圖象過點；符合條件的圖象是．故選：A．【變式訓練3-2】函數(shù)與的圖象如圖所示，則實數(shù)a的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用排除法，結合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象特征分析判斷即可.【詳解】顯然．由，知①是函數(shù)的圖象，②是函數(shù)的圖象．由函數(shù)的圖象可知，排除A，B．由②知，函數(shù)在時有意義，排除C，故選：D．【變式訓練3-3】函數(shù)（，且）的圖像經(jīng)過第二?三?四象限，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象以及平移法則即可判斷．【詳解】若，則函數(shù)的圖象必經(jīng)過第一象限，而函數(shù)（，且）的圖像經(jīng)過第二?三?四象限，所以，此時函數(shù)必過第一、二象限，且經(jīng)過定點，若，圖象往上平移，則必過第一、二象限，若，圖象往下平移且經(jīng)過第二?三?四象限，所以．故選：A．【變式訓練3-4】若且，則函數(shù)的圖像恒過的定點的坐標為______．【答案】【分析】任意指數(shù)函數(shù)一定過定點，根據(jù)該性質求解.【詳解】令，得，所以，所以函數(shù)的圖像恒過定點．故答案為：知識點4指數(shù)函數(shù)的性質及其應用（重難點）1.比較冪值大小的3種類型及處理方法2.(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習慣，若底數(shù)不確定，就需進行分類討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．3.(1)求復合函數(shù)的單調區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調性，利用同增異減原則，求出y＝f(φ(x))的單調性．(2)關于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調性，它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復合而成．【例4-1】若，則a?b?c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小【詳解】因為在上單調遞增，且，所以，即，因為在上單調遞減，且，所以，即，所以，即故選：A【例4-2】已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)解不等式【解】(1)由題可知解得(2)由（1）得∵在上單調遞增，∴，解得，故原不等式的解集為【例4-3】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】令，（），則，所以是奇函數(shù)；又都是上增函數(shù)，所以在上單調遞增.所以可化為，進而有，所以，解得或.故選：B.【變式訓練4-1】已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，，，所以．故選：B．【變式訓練4-2】已知函數(shù)，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，，即，所以，又，所以，而遞增，故故選：D【變式訓練4-3】若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則a的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分與兩種情況，結合函數(shù)單調性表達出最值，列出方程，求出a的值.【詳解】當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得：，當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，解得：．綜上，或．故選：D【變式訓練4-4】（多選）若，則下列關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】由，得，令，則．因為，在上都是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以，故A正確；因為在和上都單調遞減，所以當時，，故B錯誤；當，時，，無意義，故C錯誤；因為在上是減函數(shù)，且，所以，即，故D正確．故選：AD．【變式訓練4-5】已知函數(shù)且在上最大值和最小值的和為12，令．(1)求實數(shù)的值.(2)并探究是否為定值，若是定值，寫出證明過程；若不是定值，請說明理由；(3)解不等式：．【解】（1）因為函數(shù)且在上為單調函數(shù)，所以，解得或．因為且，所以；（2）由（1）得，，所以；（3）由（2）得，，且，所以，所以，所以，整理得，，解得，所以原不等式的解集為．名師導練A組-[應知應會]1．下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征即可求解.【詳解】對于A,是冪函數(shù)，對于B，系數(shù)不為1，不是指數(shù)函數(shù)，對于C,是底數(shù)為的指數(shù)函數(shù)，對于D,底數(shù)不滿足大于0且不為1，故不是指數(shù)函數(shù)，故選：C2．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分析函數(shù)在時的單調性及值域即可得解.【詳解】由可知，當時，單調遞減，且，故選：C3．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的取值集合，再利用指數(shù)函數(shù)的單調性求解作答.【詳解】函數(shù)定義域為R，，又函數(shù)在R上單調遞減，則，所以函數(shù)的值域為.故選：A4．設，，則是（

）A．奇函數(shù)且在上單調遞減 B．偶函數(shù)且在上單調遞減C．奇函數(shù)且在上單調遞減 D．偶函數(shù)且在上單調遞減【答案】D【分析】由，可知是偶函數(shù)，當時，，則在上單調遞減，由此即可選出答案.【詳解】依題意，得，且，所以是偶函數(shù)．當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增．故選：D.5．下列各組不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性即可比較B,C,D,由中間值法可求解A.【詳解】對于A,由于，，故,故正確，對于B,由于為單調遞減函數(shù)，所以，故錯誤，對于C，由于為單調遞增函數(shù)，所以，故錯誤，對于D，由于為單調遞增函數(shù)，所以，故錯誤,故選：A6．我們知道比較適合生活的安靜環(huán)境的聲強級（噪音級）為，聲強（單位：）與聲強級（單位：）的函數(shù)關系式為（，為常數(shù)）．某型號高鐵行駛在無村莊區(qū)域的聲強為，聲強級為，駛進市區(qū)附近降低速度后的聲強為，聲強級為，若要使該高鐵駛入市區(qū)時的聲強級達到安靜環(huán)境要求，則聲強的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用題意得到，解出的值，代回得到，通過單調性可以得到最大值【詳解】由題意可知，解得，，所以，易得當越大時，越大，所以當時，達到安靜環(huán)境要求下的取得最大值．故選：B．7．若實數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質可知是上的增函數(shù)；根據(jù)題意可知，即，再根據(jù)函數(shù)的單調性，可得，由此即可得到結果．【詳解】令，由于，均為上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)．因為，所以，即，所以，所以．故選：C．8．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知奇函數(shù)的性質可求時函數(shù)的解析式，然后結合指數(shù)函數(shù)的單調性即可求解．【詳解】因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，所以，又當時，，當時，，則，所以時，，則由可得，或或，解得或或，綜上可得，不等式的解集為．故選：C．9．（多選）函數(shù)在下列哪些區(qū)間內單調遞減（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在上單調遞減，由此可得到正確選項.【詳解】由題意，函數(shù)在上單調遞減，又由函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，由復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞減，結合選項，可得選項符合題意.故選：ACD.10．（多選）對于函數(shù)的定義域中任意的，有如下結論：當時，下述結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用指數(shù)冪的運算和指數(shù)函數(shù)的性質判斷.【詳解】解：對于A，，，，正確；對于B，，，錯誤；對于C，∵在定義域中單調遞增，，正確；對于D，，又，則，錯誤；故選：AC．11．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是________【答案】或，【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可求解.【詳解】為指數(shù)函數(shù)，則或，解得：或，故答案為：或，12．函數(shù)的值域為____.【答案】【分析】函數(shù)是復合二次函數(shù)，換元轉化為二次函數(shù)值域問題.【詳解】解：令，函數(shù)化為，即函數(shù)的值域為．故答案為：13．函數(shù)且的圖象恒過定點，則點坐標為__________．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，令，解得，代入求解即可.【詳解】令，即，則，所以定點為，故答案為：14．已知則a，b，c的大小關系是________.【答案】或【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小即可【詳解】因為是R上的減函數(shù)，且，所以，所以，因為是R上的增函數(shù)，且，所以，所以，所以故答案為：或15．已知函數(shù)f(x)＝(a＞0，a≠1)是偶函數(shù)，則a＝_________，則f(x)的最大值為________.【答案】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)f(－x)＝f(x)即可求a的值；分離常數(shù)，根據(jù)單調性即可求最大值，或利用基本不等式求最值.【詳解】是偶函數(shù)，，則，則，即，則，則，則，當且僅當，即，則時取等號，即的最大值為，故答案為：，．16．已知函數(shù)．(1)求的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)證明：當時，．【解】（1）由，則，解得，所以函數(shù)的定義域為；（2）定義域關于原點對稱，由，得，所以為奇函數(shù)；（3）當時，，則，所以.17．已知函數(shù)，．(1)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若，且的最小值為，求實數(shù)k的值．【解】（1）由，得恒成立，所以對于任意的，恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以，即實數(shù)k的取值范圍為（2），令，當且僅當，即時取等號，則，當時，為減函數(shù)，則無最小值，舍去，當時，最小值不是，舍去，當時，為增函數(shù)，則，最小值為，解得，綜上，B組-[素養(yǎng)提升]1．設函數(shù)則滿足的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論：①當時和②當時，由單調性解不等式即可.【詳解】①當時，，此時，不合題意；②當時，，可化為，所以，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：B．2．對于函數(shù)和實數(shù)m、n．下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】先分析函數(shù)的奇偶性和單調性，再逐項判斷即可.【詳解】解：函數(shù)，所以故函數(shù)為偶函數(shù)，又因為為增函數(shù)，且時，當，為增函數(shù)，且，所以在上為增函數(shù)又為偶函數(shù)，故在上為減函數(shù)，若，則