山東省煙臺市牟平第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月限時訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．平行于同一個平面的向量叫做共面向量B．直線可以由其上一點和它的方向向量確定C．空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底D．任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量2．已知直線的方向向量與平面的法向量分別為，，則（

）A．∥ B．C．∥或 D．，相交但不垂直3．如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則（

）A． B．C． D．4．若向量則（

）A． B．3 C． D．5．在空間直角坐標(biāo)系中，向量，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若為鈍角，則 D．若在上的投影向量為，則6．如圖，在正四棱柱中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，已知在一個的二面角的棱上，有兩個點，分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于的線段，且，，，則的長為（

）A． B． C． D．8．教材44頁第17題：在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點，點．（1）若直線l經(jīng)過點，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點，求證：；（2）若平面經(jīng)過點，且以為法向量，P是平面內(nèi)的任意一點，求證：．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若構(gòu)成空間的一個基底，則，，必共面B．若空間中任意一點，有，則P，A，B，C四點共面C．若空間向量、滿足，則與夾角為鈍角D．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是10．在三棱錐中，，則（

）A．B．向量與夾角的余弦值為C．向量是平面的一個法向量D．與平面所成角的正弦值為11．如圖，點是棱長為1的正方體的側(cè)面上的一個動點（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)時，點一定在線段上B．當(dāng)為的中點時，三棱錐的外接球的表面積為C．當(dāng)點在棱上運動時，的最小值為D．線段上存在點，使異面直線與所成角的正切值為三、填空題12．已知點，，，，若A，B，C，D四點共面，則.13．已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為.若，則實數(shù)λ的值為.14．已知矩形，，，沿對角線將折起，使得，則二面角的余弦值是四、解答題15．如圖，在平行六面體中，，，，點為的中點，.(1)求的值；(2)求與所成的角的余弦值.16．如圖，在三棱柱中，平面，，，，點、分別在棱和棱上，且，，為棱的中點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；17．如圖，在棱長為2的正方體中，P為棱的中點，Q為棱所在直線上一點，且（）.(1)若，求直線與所成角的余弦值；(2)若直線與平面所成角為45°，求實數(shù)的值.18．如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，，．

(1)證明：平面平面；(2)若為棱中點，求直線與平面所成角的余弦值．19．在梯形中，，，，P為的中點，線段與交于O點（如圖1）將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。?3)線段上是否存在點Q，使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.《山東省煙臺市牟平第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月限時訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案CCADDBAAABDACD題號11答案ABD1．C【詳解】A：平行于平面m的向量，均可平移至一個平行于m的平面，故它們?yōu)楣裁嫦蛄?，正確；B：直線的方向向量是直線任取一點，向其兩個方向的任意方向作出一個向量即可得，故一點和方向向量確定直線，正確；C：空間任意三個向量都共面時，則不能構(gòu)成空間的基底，錯誤；D：由向量的位置的任意性，將空間兩個向量某一端點移至重合位置，它們即可構(gòu)成一個平面，即可為同一平面的向量，正確.故選：C2．C【詳解】因為，所以，所以∥或故選：C.3．A【詳解】在平行六面體中，因為，，，點在上，且，所以.故選：A4．D【詳解】由于向量，，所以.故故選：D5．D【詳解】對于選項A:若，則，解得,故選項A錯誤；對于選項B:若，則，解得，故選項B錯誤；對于選項C:若為鈍角，則且，解得且，故選項C錯誤；對于選項D:在上的投影向量為，則，解得，故選項D正確．故選：D.6．B【詳解】構(gòu)建如下圖的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，若是面的一個法向量，則，取，則，所以，則直線與平面所成角的正弦值為.故選：B7．A【詳解】∵，，∴，∵，∴．∵，∴．∴．故選：A．8．A【詳解】平面的方程為，平面的一個法向量，同理，可得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，則，取，則設(shè)直線與平面所成角為，則故選：A9．ABD【詳解】對于A，構(gòu)成空間的一個基底，則，，不共面，因為，則，，必共面，故A正確；對于B，在中，所以P，A，B，C四點共面，故B正確；對于C，當(dāng)時，則是鈍角或，故C錯誤；對于D，關(guān)于平面對稱的點，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，所以點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，故D正確．故選：ABD．10．ACD【詳解】，，故A正確；，，，故B錯誤；，,，是平面的一個法向量，故C正確；與平面所成角的正弦值為：，故D正確．故選：ACD.11．ABD【詳解】對于A，若，又因為平面，平面，所以，又平面，可得平面，所以，又因為是正方形，所以，所以點一定在線段上，故A正確；

，對于C，如圖，旋轉(zhuǎn)平面，使之與平面共面，連接交于，此時最短為，大小為，故C錯誤，對于B，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)為的中點時，則，，，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則，即，解得，∴三棱錐的外接球半徑，∴三棱錐的外接球表面積為，則B正確；

設(shè)線段上存在點，設(shè)，則可得，又，，，則，設(shè)異面直線與所成角為，若正切值為，則，即，化簡得，解得，故線段上存在點，使異面直線與所成角的正切值為，故D正確.故選：ABD.12．【詳解】由題可知，，，因為A，B，C，D四點共面，所以（m，），，即，解得，，所以.故答案為：.13．/2.5【詳解】由題意可得：，即，解得：，故答案為：14．【詳解】過和分別作，，，，，，，則，即，，，，，二面角的余弦值為，故答案為：.15．【詳解】（1）因為點為的中點所以所以所以，所以（2）因為；所以；因為；又。所以；所以直線與所成的角的余弦值為.16．【詳解】（1）在三棱柱中，平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則點、、、、、，，，則，因此，；（2），，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，，所以，，易知平面的一個法向量為，.由圖形可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.17．【詳解】（1）建立空間直角坐標(biāo)系并求點的坐標(biāo)：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系.已知正方體棱長為，則，，.因為為棱的中點，，，所以點坐標(biāo)為；又因為，，所以點坐標(biāo)為.所以，.根據(jù)向量的夾角公式，，，所以.因為異面直線所成角的范圍是，所以與所成角的余弦值為.（2）因為，，所以點坐標(biāo)為.那么，，.

設(shè)平面的法向量為，有，即.令，得，解得；把，代入得，解得.所以.

已知直線與平面所成角為，根據(jù)線面角向量關(guān)系（為線面角），則.等式兩邊同時平方得.化簡：，即.展開得.移項整理得，又因為，所以，解得.

18．【詳解】（1）取中點，連結(jié)，，，由題意，在中，，，所以為等邊三角形，所以，因為底面是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，所以，為二面角的平面角，在中，，，，所以，可得，所以，所以，平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，由于為棱中點，故，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以，直線與平面所成角的余弦值為．

19．【詳解】（1）在梯形中，，，，P為的中點，可得為等邊三角