2025二輪復習專項訓練27最值、范圍問題[考情分析]解析幾何是數(shù)形結合的典范，是高中數(shù)學的主要知識模塊，最值、范圍問題是高考考查的重點知識，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等，試題難度較大，多次以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、最值問題圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法一是幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為關于某個(些)變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解．二、范圍問題范圍問題的求解策略解決有關范圍問題時，先要恰當?shù)匾胱兞?如點的坐標、角、斜率等)，其方法有：(1)利用判別式來構造不等式；(2)利用已知參數(shù)的取值范圍；(3)利用隱含的不等關系；(4)利用已知不等關系構造不等式；(5)利用函數(shù)值域的求法．一、單選題1．（22-23高三上·廣西桂林·階段練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線的右半支上，點，則的最小值為（

）A． B．4 C．6 D．2．（2023·全國·模擬預測）已知直線與橢圓交于兩點，是橢圓上異于的一點．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·山東煙臺·二模）已知雙曲線C經(jīng)過點，且與橢圓有公共的焦點，點M為橢圓的上頂點，點P為C上一動點，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．C．當P為C與的交點時， D．的最小值為14．（24-25高二上·重慶渝中·階段練習）已知點是左、右焦點為，的橢圓：上的動點，則（

）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點有6個C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和三、填空題5．（23-24高二上·重慶沙坪壩·階段練習）過橢圓上一動點分別向圓：和圓：作切線，切點分別為，，則的取值范圍為.6．（22-23高三上·安徽阜陽·期末）已知橢圓C的焦點為為C上一點滿足，則C的離心率取值范圍是．四、解答題7．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率為12．左頂點為，下頂點為是線段的中點（O為原點），的面積為．(1)求橢圓的方程．(2)過點C的動直線與橢圓相交于兩點．在軸上是否存在點，使得恒成立．若存在，求出點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）設拋物線，過焦點的直線與拋物線交于點，.當直線垂直于軸時，.

(1)求拋物線的標準方程.(2)已知點，直線，分別與拋物線交于點，.①求證：直線過定點；②求與面積之和的最小值.參考答案：題號1234答案DDACDBCD1．D【分析】首先利用雙曲線的定義轉化，再結合圖象，求的最小值，再聯(lián)立方程求交點坐標.【詳解】由題意并結合雙曲線的定義可得，當且僅當，，三點共線時等號成立.而直線的方程為，由可得，所以，所以點的坐標為32,所以當且僅當點的坐標為32,12時，的最小值為故選：D.2．D【分析】先設點的坐標，然后將的坐標代入方程中，相減，構造出直線，的斜率，相乘轉化只含有的表達式，再根據(jù)的關系以及橢圓的離心率的取值范圍是建立不等式，求出直線，斜率之積的取值范圍即可.【詳解】設，由直線與橢圓交于兩點可知兩點關于原點對稱，所以且，由題意知：，兩式相減得：，即，又，由橢圓的離心率的取值范圍是，即，所以，即，故選：D.3．ACD【分析】根據(jù)題意中的點求出雙曲線方程，結合離心率的定義即可判斷A；根據(jù)雙曲線的漸近線，結合圖形即可判斷B；根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，結合余弦定理計算即可判斷C；由兩點距離公式，結合二次函數(shù)的性質即可判斷D.【詳解】A：由題意，，設雙曲線的標準方程為，將點代入得，所以雙曲線方程為，得其離心率為，故A正確；B：由A選項的分析知，雙曲線的漸近線方程為，如圖，，所以，得，故B錯誤；C：當P為雙曲線和橢圓在第一象限的交點時，由橢圓和雙曲線的定義知，，解得，又，在中，由余弦定理得，故C正確；D：設，則，所以，當時，，故D正確.故選：ACD.4．BCD【分析】根據(jù)焦點三角形面積的相關結論即可判斷A；結合橢圓性質可判斷B；結合橢圓定義可求線段和差的最值，判斷CD.【詳解】A選項：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項：當或時為直角三角形，這樣的點有4個，設橢圓的上下頂點分別為，，則,同理，知，所以當位于橢圓的上、下頂點時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點有6個，故B正確；C選項：由于，所以當最小即時，取得最大值，故C正確；D選項：因為，又，則的最大、最小值分別為和，當點位于直線與橢圓的交點時取等號，故D正確.故選：BCD5．【分析】易知兩圓的圓心為橢圓的兩焦點，由勾股定理可得，，由橢圓的定義可得，設，利用二次函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】，，，易知、為橢圓的兩個焦點，，

根據(jù)橢圓定義，設，則，即，則，當時，取到最小值．當時，取到最大值．故的取值范圍為：.故答案為：.6．【分析】設，，利用余弦定理可得，再結合基本不等式推出，即可求得答案.【詳解】設橢圓C的方程為，設，，則，在中，，有,得，即，故，因為，即，當且僅當時取等號，故，即，故，解得，由，所以C的離心率取值范圍是，故答案為：7．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標準方程.（2）設該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結合韋達定理和向量數(shù)量積的坐標運算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過點的動直線的斜率存在，則可設該直線方程為：，設，由可得，故且而，故，因為恒成立，故，解得.若過點的動直線的斜率不存在，則或，此時需，兩者結合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達定理，此時注意直線方程的合理假設.8．(1)(2)①證明見解析；②.【分析】（1）利用弦長求解p，即可求解拋物線方程；（2）（i）設直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達定理找到坐標關系，表示出直線方程，即可求出定點；（ii）利用面積分割法求出兩個三角形面積表達式，然后利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由題意，當直線垂直于軸時，，代入拋物線方程得，則，所以，即，所以拋物線.（2）（i）設，，直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，.設直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，，則.同理可得.所以.因此直線，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以直線過定點.（ii）因為，，所以，當且僅當時取到最小值.【基礎保分訓練】一、單選題1．（2024·江蘇泰州·模擬預測）已知F為橢圓的右焦點，P為C上一點，Q為圓上一點，則的最大值為（

）A．5 B． C． D．62．（21-22高二上·陜西西安·期末）已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．63．（2023·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，為坐標原點，記與的面積分別為和，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（23-24高二上·江西·階段練習）已知橢圓的左焦點為，點是上任意一點，則的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．85．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）設拋物線的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．26．（21-22高二·江蘇·假期作業(yè)）已知雙曲線：，下列結論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的焦點到漸近線的距離為C．與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線一定沒有交點D．若直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍為三、填空題7．（23-24高二上·重慶沙坪壩·期中）若P是橢圓上一動點，，則的最大值為．8．（2024·全國·模擬預測）已知點是拋物線：上的動點，過點作圓：的切線，切點為，則的最小值為.9．（2023·浙江·一模）已知，分別是雙曲線的左右焦點，且C上存在點P使得，則a的取值范圍是．四、解答題10．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標．11．（2022·江蘇鹽城·三模）已知雙曲線：過點，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)設點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．12．（2023·全國·模擬預測）已知拋物線的焦點為，直線與交于兩點，且當，時，．(1)求拋物線的方程；(2)若，求面積的最小值．參考答案：題號123456答案BABBCBCABD1．B【分析】由題意設橢圓的左焦點為，作出圖形，結合圖形和橢圓的定義可知當三點共線時取到最大值.【詳解】由題意知，，設橢圓的左焦點為，如圖，P為C上一點，Q為圓上一點，，半徑為1，，當且僅當三點共線時，等號成立，所以的最大值為.故選：B2．A【分析】由雙曲線方程求出，再根據(jù)點在雙曲線的兩支之間，結合可求得答案【詳解】由，得，則，所以左焦點為，右焦點，則由雙曲線的定義得，因為點在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為9，故選：A3．B【分析】設出直線，聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，得，，，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】由題意得：，設直線，聯(lián)立得：，設，不妨令，則，故，，則，當且僅當，即時，等號成立.故選：B4．BC【分析】根據(jù)到焦點距離的范圍求解即可.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：BC.5．BC【分析】設直線方程，并與拋物線聯(lián)立方程，再用根的判別式來處理，即可求得斜率范圍.【詳解】拋物線的準線與x軸交于點Q，

準線為，Q點的坐標，又直線l過點Q，且斜率必存在，可設l：，聯(lián)立，可得，當時，得，即交點為，當時，由得，即，解得，或，綜上，k的取值范圍是．故選：BC.6．ABD【分析】A選項，利用焦點在軸上的雙曲線方程為進行求解；B選項，利用點到直線距離公式進行求解；C選項，與漸近線平行的直線與雙曲線有一個焦點；D選項，直線的斜率與漸近線斜率相比較，得到的取值范圍．【詳解】解：對于，由雙曲線：，則，，所以其漸近線方程為，故A正確；對于B，由雙曲線：，則，，，其焦點坐標為，其漸近線方程為，所以一個焦點到漸近線的距離為，故B正確；對于C，與漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個交點，故C不正確；對于D，若直線與雙曲線沒有交點，則的斜率應該和雙曲線漸近線斜率比較，則或，故D正確．故選：ABD．7．4【分析】令，應用兩點距離公式有，結合橢圓的有界性求最大值.【詳解】令，則，又，所以，又，當時，的最大值為4.故答案為：48．【分析】設，求出到圓的圓心的距離的最小值，然后根據(jù)勾股定理求解MA的最小值．【詳解】設，則，故當時，取最小值.又由圓的切線性質可得此時.故答案為：9．【分析】根據(jù)雙曲線的定義結合條件可得，，進而可得，即得.【詳解】因為，雙曲線，又，所以，，又，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.10．(1)；(2)證明見解析；定點.【分析】（1）根據(jù)直線，均與橢圓相交，聯(lián)立方程利用求解；（2）利用韋達定理分別求M，N的坐標，進而求出直線的方程判斷定點．【詳解】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得因此直線經(jīng)過一個定點．11．(1)(2)2【分析】（1）由漸近線可得，再把點代入方程即可解得；（2）點M到y(tǒng)軸的距離的即為點M的橫坐標為，聯(lián)立方程利用韋達定理可求，分析求解即可，但要注意討論直線的斜率是否存在．【詳解】（1）由題設可知，解得則：．（2）設點M的橫坐標為當直線斜率不存在時，則直線：易知點到軸的距離為﹔當直線斜率存在時，設：，，，聯(lián)立，整理得，，整理得聯(lián)立，整理得，則，則，即則，即∴此時點到軸的距離大于2；綜上所述，點到軸的最小距離為2．12．(1)(2)【分析】（1）已知條件直線的解析式為，設Ax1,y1，B（2）利用得到m，n的關系，利用面積公式將的面積表示為關于n的函數(shù)，結合二次函數(shù)的性質可得答案．【詳解】（1）當，時，直線的解析式為．設Ax1,y1，Bx2，，，解得．，，整理得，解得（舍負），拋物線的方程為．（2）由（1）知，，設Ax1,y1消去并整理得，，，，．，，即，整理得．將，，代入上式得．又，，且，解得或．點到直線的距離，，的面積．又或，當時，的面積最小，且最小面積為．【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關的最值問題的兩種解法（1）數(shù)形結合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質求解；（2）構建函數(shù)法：先引入變量，構建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或導數(shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．【能力提升訓練】一、單選題1．（22-23高三上·山西·階段練習）已知點F為拋物線C：的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則的最小值為（

）A．64 B．54 C．50 D．482．（2023·河北邯鄲·三模）在平面直角坐標系內(nèi)，已知，，動點滿足，則（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．163．（2023·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點到點的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·河北唐山·二模）雙曲線具有如下光學性質：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，下列結論正確的是（

）A．若，則B．當n過時，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則5．（23-24高二上·廣西南寧·期中）已知橢圓，、分別為它的左右焦點，、分別為它的左、右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．點到右焦點的距離的最大值為3，最小值為1B．的最小值為C．若為直角三角形，則的面積為D．的范圍為6．（23-24高二上·江蘇揚州·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線的右支上一點，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，則（）A．的最小值為8B．為定值C．若直線與雙曲線相切，則點的縱坐標之積為；D．若直線經(jīng)過，且與雙曲線交于另一點，則的最小值為.三、填空題7．（2023·遼寧·一模）已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，點、在橢圓C上，滿足，，若橢圓C的離心率，則實數(shù)λ取值范圍為.8．（21-22高二上·江西撫州·階段練習）橢圓與雙曲線有公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是.9．（2022高二上·全國·專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線左支于，兩點，則的最小值為．四、解答題10．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率為12．左頂點為，下頂點為是線段的中點（O為原點），的面積為．(1)求橢圓的方程．(2)過點C的動直線與橢圓相交于兩點．在軸上是否存在點，使得恒成立．若存在，求出點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．11．（2023·廣西柳州·二模）已知拋物線經(jīng)過點，過點的直線與拋物線有兩個不同交點，且直線交軸于，直線交軸于.(1)求直線斜率的取值范圍；(2)證明：存在定點，使得，且.12．（23-24高三下·江西撫州·階段練習）在平面直角坐標系中，已知雙曲線經(jīng)過點，點與點關于原點對稱，為上一動點，且異于兩點.(1)求的離心率；(2)若△的重心為，點，求的最小值；(3)若△的垂心為，求動點的軌跡方程.13．（2022·全國·高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．14．（2024·山東濟寧·一模）已知橢圓，直線與橢圓交于A、B兩點，為坐標原點，且，，垂足為點．(1)求點的軌跡方程；(2)求面積的取值范圍．參考答案：題號123456答案CCBCDACDAB1．C【分析】利用韋達定理表示出弦長和，利用基本不等式可求最小值.【詳解】拋物線：的焦點，因為，所以直線，斜率存在，且均不為0.設直線的方程為，，，由得，所以，所以，因為，所以將中的替換為可得，所以，當且僅當，即時取等號.故的最小值是50.故選:C.2．C【分析】由題意求出點P的軌跡方程，則可以看成圓上動點與定直線上動點的距離，求得其最小值，即可求得答案.【詳解】因為，，動點滿足，則，整理得，可以看成圓上動點與定直線上動點的距離，其最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑2，即，因此，的最小值是，故選：C.3．B【分析】利用點差法可得直線AB的斜率，從而可得AB垂直平分線直線方程，由點P在AB垂直平分線上，結合AB的中點在橢圓內(nèi)可解.【詳解】記中點為，則，由題意點在線段的中垂線上，將坐標代入橢圓方程得兩式相減可得，所以，得，所以的中垂線的方程為，令得，由題意，，故，所以所以故選：B.4．CD【分析】對于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對于B：利用雙曲線的定義直接求得；對于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對于D：設直線PT的方程為.利用相切解得，進而求出.即可求出.【詳解】對于A：若，則.因為P在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯誤；對于B：光由所經(jīng)過的路程為.故B錯誤；對于C：雙曲線的方程為.設左、右頂點分別為A、B.如圖示：當與同向共線時，的方向為，此時k=0，最小.因為P在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對于D：設直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD5．ACD【分析】對于A,利用焦半徑的范圍求解即可；對于B，利用位于橢圓上頂點時最大求解即可；對于C，利用點坐標求的面積即可；對于D，設利用二次函數(shù)求的范圍即可.【詳解】對A，易知，則，故A正確；對B，位于橢圓上頂點時最大，此時最小，且故此時為等邊三角形，，故B錯誤；對C，若為直角三角形，由B知，，所以或，不妨設，則此時點橫坐標，代入，得，故的面積為：，故C正確；對D，,設則，由得：，故，故，故D正確.故選：ACD6．AB【分析】設，由，可判定A正確；化簡，可判定B正確；設直線的方程為，聯(lián)立方程組，結合，得到，在化簡，可判定C不正確；根據(jù)通經(jīng)長和實軸長，可判定D錯誤.【詳解】由題意，雙曲線，可得，則，所以焦點，且，設，則，且，即，雙曲線的兩條漸近線的方程為，對于A中，由，所以A正確；對于B中，（定值），所以B正確；對于C中，不妨設，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，若直線與雙曲線相切，則，整理得，聯(lián)立方程組，解得，即點的縱坐標為，聯(lián)立方程組，解得，即點的縱坐標為，則點的縱坐標之積為所以C不正確；對于D中，若點在雙曲線的右支上，則通經(jīng)最短，其中通經(jīng)長為，若點在雙曲線的左支上，則實軸最短，實軸長為，所以D錯誤.故選：AB.7．【分析】先寫出點、的坐標，再利用求得點的坐標，將點的坐標代入橢圓C方程即可化簡出實數(shù)λ與離心率的關系，從而得到實數(shù)λ取值范圍.【詳解】根據(jù)題意知，由得，不妨設點在第一象限，則點的坐標為.由知，且，從而得到點的坐標為.將點的坐標代入橢圓C方程得，整理得，即，所以.又因為，所以，即實數(shù)λ取值范圍為.故答案為：.8．【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.9．22【分析】由雙曲線的定義可得，，據(jù)此，再由兩點的位置特征可得是雙曲線的通徑時，最小，從而可得答案.【詳解】根據(jù)雙曲線，得，，由雙曲線的定義可得：①，②，①+②可得：，由于過雙曲線的左焦點的直線交雙曲線的左支于，兩點，可得，即有．則，當是雙曲線的通徑時最小，故.故答案為：2210．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標準方程.（2）設該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結合韋達定理和向量數(shù)量積的坐標運算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過點的動直線的斜率存在，則可設該直線方程為：，設，由可得，故且而，故，因為恒成立，故，解得.若過點的動直線的斜率不存在，則或，此時需，兩者結合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達定理，此時注意直線方程的合理假設.11．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線過可求得拋物線方程，設，與拋物線方程聯(lián)立，由可得的范圍，并確定韋達定理結論；根據(jù)可求得且，由此可確定的范圍；（2）易知在軸上，設，利用向量數(shù)乘的坐標運算可得，，求得方程后，令可推導得到，同理得到，代入中，整理后代入韋達定理的結論可構造方程求得的值，從而確定定點.【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點，，解得：，拋物線；由題意知：直線斜率存在，設，，，由y=kx+1x2，解得：或；，x1x2=-4k，，又直線與軸相交于兩點，，即，解得：且；綜上所述：直線斜率的取值范圍為.（2）設點，，由，，知：共線，即在軸上，則可設，，，，，，同理可得：，，直線，令得：，同理可得：，，，由（1）知：，x1x，解得：，存在定點滿足題意.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線綜合應用中存在定點滿足某條件的問題，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出所求量，將所求量轉化為關于變量的函數(shù)的形式或構造方程；④化簡所得函數(shù)式或方程，整理可得定點坐標.12．(1)(2)(3)（去除點）.【分析】（1）將點代入雙曲線的方程求出值，即可求得的離心率；（2）根據(jù)三角形的重心公式求得動點的軌跡方程，根據(jù)兩點間距離公式求出的最小值；（3）根據(jù)求動點的軌跡方程.【詳解】（1）因為雙曲線經(jīng)過點，所以，解得，所以的離心率，（2）易知.設.因為△的重心為，所以,解得,因為，所以，即.因為不共線，所以且，所以的軌跡不含兩點.故，當且僅當時，等號成立，即的最小值為.（3）因為為△的垂心，所以，設，當直線或的斜率為0時，點的坐標為或，此時點與點重合，不合題意，舍.當直線或的斜率不為0時，直線與的斜率存在，則，由（2）知，則，則.因為，所以，，則，得，則，因為構成三角形，故不能在軌跡上，綜上，動點的軌跡方程為（去除點）.13．(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設點的坐標及直線，由韋達定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設直線，結合韋達定理可解.【詳解】（1）拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為