專題05函數(shù)與方程真題特點分析：【2022年中科大3】已知，求素因子個數(shù)的最小值?！?021年北大13】方程的整數(shù)解的組數(shù)為________．3.【2020年清華29】已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（）A． B． C． D．4.【2020年北大4.】設(shè)是方程的4個復根,則數(shù)的值為（）(A)-4(B)-3(C)3(D)前三個答案都不對二、知識要點拓展一元二次方程有關(guān)公式1.一元二次方程的根：2.根與系數(shù)的關(guān)系：，（韋達定理）3.判別式：．二．函數(shù)不等式恒成立、能成立、恰成立問題1.函數(shù)不等式的恒成立問題：（1）不等式在集合上恒成立在集合上．（2）不等式在集合上恒成立在集合上．2.函數(shù)不等式的能成立問題：（1）在集合上存在實數(shù)使不等式成立在集合上．（2）在集合上存在實數(shù)使不等式成立在集合上．3.函數(shù)不等式的恰成立問題：不等式在集合上恰成立該不等式的解集為．三．幾個常見的函數(shù)方程1.正比例函數(shù),具有性質(zhì)：.2.指數(shù)函數(shù),具有性質(zhì)：.3.對數(shù)函數(shù),具有性質(zhì)：.方程的根與函數(shù)的零點：對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．2.方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點3.零點存在定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使。?函數(shù)零點的理解：（1）函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標，實質(zhì)是同一個問題的三種不同表達形式，方程根的個數(shù)就是函數(shù)的零點的個數(shù)，亦即函數(shù)的圖像與x軸交點的個數(shù)（2）函數(shù)的零點不是點，而是函數(shù)函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標，即零點是一個實數(shù)。（3）若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，則是在區(qū)間內(nèi)有零點的充分不必要條件。四．高次方程韋達定理①三次方程韋達定理設(shè)三次方程的三個根為,那么②如果一元次多項式的根為,那么以上定理稱為韋達定理。它確定了根與系數(shù)的關(guān)系。利用韋達定理，一元n次方程可直接求方程的根。③整系數(shù)多項式設(shè)，若，則稱為的根（或零點）；又若是的重因式，則稱為的k重根，當時，稱為的單根。代數(shù)基本定理：任意一個次數(shù)不小于1的多項式至少有一個復數(shù)根。根的個數(shù)定理：任意一個次多項式的復數(shù)根的個數(shù)（依重數(shù)累加）恰有個，依次定理可知任何一個可以分解為，其中，為兩兩不同的復數(shù)，，且。這是多項式在復數(shù)范圍內(nèi)的標準分解式。虛根成對定理：設(shè)為的復根，即，則，于是也是的根。也就是說實系數(shù)多項式的虛根成對出現(xiàn)。實系數(shù)多項式分解定理：設(shè),則可分解為，其中且。整系數(shù)多項式的有理根：設(shè)是的有理根，則，并且可寫，其中。依上述定理可知，若，的首項系數(shù)為1，則的有理根都是整數(shù)根。三、典例精講例1．（復旦）設(shè)三次方程的3個根互異，且可成等比數(shù)列，則它們的公比是。（B）（C）（D）例2．（北大）求的實數(shù)根的個數(shù)。例3．（復旦）設(shè)，，是三次方程的3個根，則總以為根的三次方程是（）（B）（C）（D）例4．（清華）請證明：方程在為偶數(shù)的時候沒有實數(shù)根，在為奇數(shù)的時候，有且僅有一個實數(shù)根。例5．（復旦）方程的實根是（）不存在（B）有一個（C）有兩個（D）有三個練習1：函數(shù)與它的反函數(shù)的交點個數(shù)為（）1個（B）2個（C）3個（D）4個練習2：關(guān)于的方程，給出下列四個命題：①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根其中假命題的個數(shù)是（）A0B1C2D3例6．（交大）設(shè)，試證明對任意實數(shù)：方程總有相同的實根；存在，恒有。例7．（復旦）在實數(shù)范圍內(nèi)求方程的實數(shù)根。例8．（交大）已知函數(shù)，且沒有實數(shù)根。問：是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論。四、重點總結(jié)掌握判斷函數(shù)零點的常用方法：方程法，圖像法，定理法。注意在給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)零點個數(shù)可能大于1個。對于解無理方程，需要注意利用配方法，換元法，倒數(shù)法以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去解方程。關(guān)于三次方程或者高次方程，巧妙利用韋達定理，不同方程可以利用換元將根轉(zhuǎn)化，便于解方程。五、強化訓練(A組)1.方程的實數(shù)解為2.方程組共有組實數(shù)解。3.已知方程，其中兩個滿足條件，則此方程的根為。4.求一切實數(shù)P，使得三次方程的三個根均為自然數(shù)。5.解方程：6.試求多項式①的有理根7.已知為方程的根，則的值為。8.解方程：。（B組）1.已知多項式的四個根中，有兩個根的絕對值相等，符號相反，試求的有理數(shù)根。2.在平面直角坐標系內(nèi)，將適合且使關(guān)于t的方程沒有實數(shù)根的點所成的集合記為N，則由點集N所成區(qū)域的面積為。A81/4B83/4C81/5D83/53.已知實數(shù)滿足：，，。求實數(shù)的取值范圍。4.設(shè)方程的根都是正數(shù)。當時，試求的最大值。六、高考真題訓練1．(2022高考北京卷·第7題)在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是 () ()A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)2．(2022高考北京卷·第4題)己知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有 ()A． B．C． D．3．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(理)·第5題)函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為 ()A． B．C． D．4．(2022年浙江省高考數(shù)學試題·第7題)已知，則 ()A．25 B．5 C． D．5．(2022新高考全國II卷·第8題)已知函數(shù)的定義域為R，且，則 ()A． B． C．0 D．16．(2022新高考全國I卷·第7題)設(shè)，則 ()A． B． C． D．7．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)·第12題)已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則 ()A． B． C． D．8．(2021年高考浙江卷·第7題)已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是 () ()A． B．C． D．9．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第8題)已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則 ()A． B． C． D．10．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第7題)已知，，，則下列判斷正確的是 ()A． B． C． D．11．(2021年高考全國乙卷理科·第12題)設(shè)，，．則 ()A． B． C． D．12．(2021年高考全國乙卷理科·第4題)設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()A． B． C． D．13．(2021年高考全國甲卷理科·第12題)設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則 ()A． B． C． D．14．(2021年高考全國甲卷理科·第4題)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4．9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為 ()()A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．615．(2021高考天津·第9題)設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是 ()A． B．C．16．(2021高考天津·第7題)若，則 ()A． B． C．1 D．17．(2021高考天津·第5題)設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為 ()A． B． C． D．18．(2021高考天津·第3題)函數(shù)的圖像大致為 ()A． B．C． D．19．(2020年高考課標Ⅰ卷理科·第12題)若，則 ()A． B． C． D．20．(2020年高考課標Ⅰ卷理科·第5題)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：°C)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是 ()AB．C．D．21．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第11題)若，則 ()A． B． C． D．22．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第9題)設(shè)函數(shù)，則f(x) ()A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減23．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第3題)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0．05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0．95，則至少需要志愿者 ()A．10名 B．18名 C．24名 D．32名24．(2020年高考課標Ⅲ卷理科·第12題)已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則 ()Aa<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b25．(2020年高考課標Ⅲ卷理科·第4題)Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應(yīng)用于流行病學領(lǐng)城．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0．95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為 ()(ln19≈3)A．60 B．63 C．66 D．6926．(2020年新高考全國Ⅰ卷(山東)·第8題)若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是 ()A． B．C． D．27．(2020年新高考全國Ⅰ卷(山東)·第6題)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT．有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3．28，T=6．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0．69) ()A．1．2天 B．1．8天C．2．5天 D．3．5天28．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(海南)·第8題)若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是 ()A． B．C． D．29．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(海