拓展三：圓錐曲線面積問題知識點1圓錐曲線中三角形（四邊形）的面積(一)利用弦長與點到直線距離計算三角形面積1、弦長公式若在直線上，代入化簡，得;2、利用弦長與點到直線距離計算三角形面積公式若直線與圓錐曲線交于點A，B，點P為定點或滿足一定條件的動點，要表示△PAB的面積，一般是先利用弦長公式求出，再利用點到直線距離公式求出點P到直線AB的距離，則.(二)三角形中一個頂點到對邊上某一點的距離為定值，可把三角形分為兩個小三角形分別計算面積若過定點Q的直線與圓錐曲線交于點A，B，點P為定點或滿足一定條件的動點，要表示△PAB的面積，可先求出點A，B到直線PQ的距離之和d，則，特別的，若與y軸垂足，，利用這種方法求面積，可以避免使用弦長公式，減少運算量.(三)對角線互相垂直的四邊形面積的計算對角線互相垂直的四邊形的面積為兩對角線長度乘積的.(四)把四邊形分割成兩個三角形求面積如果四邊形的一條對角線所在直線的方程確定，通常把該四邊形分割為以這條對角線為底邊的兩個三角形，分別表示出這兩個三角形的面積再相加知識點2面積比值通過兩個三角形面積的作比，尋找等底或等高情況，將面積問題轉(zhuǎn)化為底邊長度或高度的比值，進行坐標或向量進行求解.知識點3圓錐曲線面積的最值問題(一)利用函數(shù)性質(zhì)求面積最值或范圍如果能把三角形或四邊形的面積用某一個變量來表示，此時可把面積看作關于該變量的函數(shù)，若函數(shù)的單調(diào)性容易確定，可利用函數(shù)單調(diào)性求面積最值或范圍.(二)利用均值不等式求面積最值或范圍如果能把三角形或四邊形的面積轉(zhuǎn)化為某些變量的代數(shù)式，若對代數(shù)式進行恒等變形后能出現(xiàn)和為定值或乘積為定值的式子，可考慮利用均值不等式求最值或范圍.類型一圓錐曲線中三角形（四邊形）的面積利用弦長和點到直線的距離求三角形的面積1．已知橢圓的離心率為，右焦點到上頂點的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)斜率為2的直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓相交于兩點，求的面積.2．已知橢圓，左右焦點分別為，直線與橢圓相交于兩點．(1)求橢圓的焦點坐標及離心率；(2)求的面積．3．已知橢圓的離心率為，左焦點為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為3．(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓交于兩點，求的面積．4．橢圓的左?右焦點分別為，短軸的一個端點到的距離為，且橢圓過點過且不與兩坐標軸平行的直線交橢圓于兩點，點與點關于軸對稱.(1)求橢圓的方程(2)當直線的斜率為1時，求的面積；(3)若點，求證：三點共線.由水平寬鉛錘高求三角形面積5．已知橢圓，的左焦點，且離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若，過橢圓的左焦點F的直線交橢圓于、兩點，且直線傾斜角為，求的面積．6．如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，，設是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點，的延長線分別交橢圓C于點．當時，的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)分別記和的面積為和，求的最大值．對角線互相垂直的四邊形面積7．在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.把四邊形分割成兩個三角形的面積8．設橢圓的左焦點為F，上頂點為B，離心率為，O是坐標原點，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點為P，，直線BF與直線l的交點為Q，求的面積．9．已知A、B分別為橢圓：）的上、下頂點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，C是橢圓上異于A、B的點，點D在坐標平面內(nèi)．(1)若，求橢圓的標準方程；(2)若，且，，求四邊形CADB面積S的最大值．類型二面積定值10．在平面直角坐標系xOy中，已知點，直線，點M滿足到點F的距離與它到直線l的距離之比為，記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)過點M且與C相切的直線交橢圓于A，B兩點，射線MO交橢圓E于點N，試問的面積是否為定值?請說明理由．11．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線的右頂點在圓上，且．(1)求雙曲線的方程；(2)動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，設為坐標原點．求證：的面積為定值．12．已知橢圓的離心率為，短半軸長為．(1)求C的標準方程；(2)若不過坐標原點O的直線l與C交于A，B兩點，延長線段AO，BO與C分別交于點M，N，若直線AM，BN的斜率之積為，證明：四邊形ABMN的面積為定值．13．已知橢圓E：的離心率，且右焦點到直線的距離為.(1)求橢圓的標準方程；(2)四邊形的頂點在橢圓上，且對角線，過原點，若，證明：四邊形的面積為定值.14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為8．(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖，，是橢圓C的短軸端點，P是橢圓C上異于點，的動點，點Q滿足，，求證與的面積之比為定值．類型三面積比值15．如圖，已知橢圓的左頂點，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，當直線軸時，.(1)求橢圓的方程；(2)記,的面積分別為，求的取值范圍；(3)若的重心在圓上，求直線的斜率.16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，實軸長為，且斜率為的直線與橢圓C交于A，B兩點，且AB的中點為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左、右頂點分別為，，點P，Q為橢圓上異于，的兩點，且以P，Q為直徑的圓過點，設，的面積分別為，，計算的值.17．設O為坐標原點，動點P在圓上，過點P作軸的垂線，垂足為Q且.(1)求動點D的軌跡E的方程；(2)直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點A、B，T為線段AB的中點.線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點，記的面積分別為，求的取值范圍.18．已知橢圓：（）的焦距為，且經(jīng)過點，過點的直線與橢圓交于點.(1)求橢圓的標準方程；(2)設為線段的中點，為原點，所在的直線與橢圓交于，兩點（點在軸上方），問是否存在直線使得的面積是面積的倍？若存在，求直線的方程，并求此時四邊形的面積，若不存在，請說明理由.19．已知圓，圓，動圓與圓外切，且與圓內(nèi)切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程，并說明軌跡是何種曲線；(2)設過點的直線與直線交于兩點，且滿足的面積是面積的一半，求的面積．20．設橢圓C：的左頂點為A，上頂點為B，，分別是左右焦點，N是C上一點且與x軸垂直，直線的斜率為.(1)求橢圓C的離心率；(2)若拋物線的焦點恰好是點B，設直線l：與橢圓C交于P，Q兩點，l與直線AB交于點M，且點P，M均在第一象限，若（S表示面積），求k的值類型四已知面積求參21．已知橢圓的一個焦點坐標為，離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)O為坐標原點，點P在橢圓C上，若的面積為，求點P的坐標．22．已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于B，C兩點，若面積為，求m．23．已知橢圓，由C的上、下頂點，左、右焦點構(gòu)成一個邊長為的正方形．(1)求C的方程；(2)直線l過C的右焦點F，且和C交于點A，B，設O是坐標原點，若三角形OAB的面積是，求l的方程．24．已知為橢圓上任一點，，為橢圓的焦點，，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與橢圓的兩交點為A，，線段的中點在直線上，為坐標原點，當?shù)拿娣e等于時，求直線的方程．25．已知橢圓C：的離心率為，且短軸長為2，A，B是C的左、右頂點，G是C上異于A，B的任意一點，軸于H，延長線段HG到點Q，使得，直線AQ與直線l：交于點M，點N為線段MB的中點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設，平行四邊形OQNR（點O為坐標原點）的面積為5，當時，求的取值范圍類型五圓錐曲線面積的最值問題利用函數(shù)性質(zhì)求面積最值26．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.27．已知橢圓的焦點為，且長軸長是焦距的倍．(1)求橢圓的標準方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點，已知點，求面積的最大值．28．已知橢圓?與?軸的正半軸交于點?，且離心率?.(1)求橢圓?的方程;(2)若直線?過點?與橢圓?交于?兩點，求?面積的最大值并求此時的直線方程.29．如圖所示：已知橢圓：的長軸長為4，離心率．是橢圓的右頂點，直線過點交橢圓于，兩點，記的面積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)求的最大值．30．已知橢圓，離心率為，它的短軸長等于雙曲線的虛軸長(1)求橢圓C的方程(2)已知是橢圓上的兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值②當A，B運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值？請說明理由．31．已知橢圓的一個焦點為，經(jīng)過點，過焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB中點為D，O為坐標原點，過O，D的直線交橢圓于M，N兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)四邊形AMBN面積是否有最大值，若有求最大值，若沒有請說明理由.利用基本不等式求面積最值32．已知橢圓：（）經(jīng)過點，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)如圖所示，過橢圓上的點，（）的直線與，軸的交點分別為和，且，過原點的直線與平行，且與橢圓交于、兩點，求面積的最大值.33．設橢圓的左、右焦點分別為、，點P，Q為橢圓C上任意兩點，且，若的周長為8，面積的最大值為2．(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C