2.3直線的交點坐標與距離公式課程標準核心素養(yǎng)1.能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標．2.探索并掌握兩點間的距離公式.3.探索并掌握點到直線的距離公式.4.會求兩條平行直線間的距離.直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算知識點1兩直線的交點坐標1、已知兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，設這兩條直線的交點為P，則點P既在直線l1上，也在直線l2上．所以點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．2、直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關系如表所示：方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關系相交重合平行注：(1)判斷兩直線位置關系的方法，關鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等價條件是A1B2－A2B1≠0，即兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0.(2)雖然利用方程組解的個數(shù)可以判斷兩直線的位置關系，但是由于運算量較大，一般較少使用．【即學即練1】直線x＋2y－2＝0與直線2x＋y－3＝0的交點坐標是()A．(4,1) B．(1,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))【解析】由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,2x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(1,3).))即直線x＋2y－2＝0與直線2x＋y－3＝0的交點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))).【即學即練2】分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出交點坐標．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.【解析】(1)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))因此直線l1和l2相交，交點坐標為(3，－1)．(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0，①,4x－12y＋8＝0，②))①×2得4x－12y＋8＝0.①和②可以化為同一個方程，即①和②表示同一條直線，l1與l2重合．(3)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,y＝－2x＋3))無解，這表明直線l1和l2沒有公共點，故l1∥l2.知識點2兩點間的距離公式1．公式：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．文字敘述：平面內(nèi)兩點的距離等于這兩點的橫坐標之差與縱坐標之差的平方和的算術平方根．注：（1）兩點間的距離公式與兩點的先后順序無關．（2）①當直線P1P2平行于x軸時，|P1P2|＝|x2－x1|.②當直線P1P2平行于y軸時，|P1P2|＝|y2－y1|.③當點P1，P2中有一個是原點時，|P1P2|＝eq\r(x2＋y2).④當P1P2與坐標軸不平行時，如圖，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).即兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).⑤已知斜率為k的直線上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由兩點間的距離公式可得|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|，或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.【即學即練3】已知M(2,1)，N(－1,5)，則|MN|等于()A．5B.eq\r(37)C.eq\r(13)D．4【解析】|MN|＝eq\r(2＋12＋1－52)＝5.故選A【即學即練4】已知點A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，則a的值為()A．1 B．－5C．1或－5 D．－1或5【解析】∵|AB|＝eq\r(a＋22＋3＋12)＝5，∴a＝－5或a＝1.故選C知識點3直線系過定點問題1．平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．2．垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Bx－Ay＋λ＝0.3．過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)．【即學即練5】無論m為何值，直線l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒過一定點P，求點P的坐標．【解析】∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝0，,x－y－4＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3.))∴點P的坐標為(7,3)．【即學即練6】經(jīng)過直線3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為____________．【解析】設直線方程為3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.令x＝0，得y＝eq\f(7λ－6,2＋5λ)，令y＝0，得x＝eq\f(7λ－6,3＋2λ).由eq\f(7λ－6,2＋5λ)＝eq\f(7λ－6,3＋2λ)，得λ＝eq\f(1,3)或λ＝eq\f(6,7).所以直線方程為x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.知識點4點到直線的距離與兩條平行線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長度公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))注：（1）應用點到直線距離公式的前提是直線方程為一般式．（2）在使用兩平行線間距離公式時，兩直線的方程為一般式且x，y的系數(shù)分別相同．（3）若直線方程為Ax＋By＋C＝0，則當A＝0或B＝0時公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．（4）已知點P(x0，y0)及直線l上任意一點M，那么點P到直線l的距離|PQ|等于兩點間距離|PM|的最小值．（5）點到直線距離的向量表示如圖，設n為過點P且垂直于l的單位向量，eq\o(PQ,\s\up7(→))就是eq\o(PM,\s\up7(→))在n上的投影向量，點P到直線l的距離|eq\o(PQ,\s\up7(→))|＝|eq\o(PM,\s\up7(→))·n|.（6）點到直線距離公式的推導如圖，平面直角坐標系中，已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎樣求出點P到直線l的距離呢？方法一：根據(jù)定義，點P到直線l的距離是點P到直線l的垂線段的長，如圖，設點P到直線l的垂線為l′，垂足為Q，由l′⊥l可知l′的斜率為eq\f(B,A)，∴l(xiāng)′的方程為y－y0＝eq\f(B,A)(x－x0)，與l聯(lián)立方程組，解得交點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)，\f(A2y0－ABx0－BC,A2＋B2)))，∴|PQ|＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).方法二：向量是解決空間距離、角度問題的有力工具，怎樣用向量方法求點到直線的距離呢？提示eq\o(PQ,\s\up6(→))可以看作eq\o(PM,\s\up6(→))在直線l的垂線上的投影向量，直線l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率為－eq\f(A,B)，所以m＝(B，－A)是它的一個方向向量．(1)由向量的數(shù)量積運算可求得與直線l垂直的一個單位向量n＝eq\f(1,\r(A2＋B2))(A，B)．(2)在直線l上任取點M(x，y)，可得向量eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x－x0，y－y0)．(3)|PQ|＝|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n|＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).（7）怎樣求兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離？在直線Ax＋By＋C1＝0上任取一點P(x0，y0)，點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C2＝0的距離，就是這兩條平行直線間的距離即d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))，因為點P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【即學即練7】原點到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)【解析】d＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).故選D【即學即練8】點P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是()A．3 B.eq\f(5,3)C．1 D.eq\f(\r(2),2)【解析】點P(1，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|3×－1－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3)，選B.【即學即練9】已知點M(1,4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實數(shù)m＝()A．0 B.eq\f(3,4)C．3 D．0或eq\f(3,4)【解析】點M到直線l的距離d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4)，選D.【即學即練10】已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2【解析】由題意知l1，l2平行，則l1∥l2之間兩直線的距離為eq\f(|1－－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2).故選B【即學即練11】已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是()A．4B.eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5\r(13),26)D.eq\f(7\r(13),26)【解析】因為3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m，所以m＝4.直線6x＋4y＋1＝0可以轉(zhuǎn)化為3x＋2y＋eq\f(1,2)＝0，由兩條平行直線間的距離公式可得d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－－3)),\r(32＋22))＝eq\f(\f(7,2),\r(13))＝eq\f(7\r(13),26).考點一兩條直線的交點問題解題方略：1．兩條直線相交的判定方法方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交．方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等．2．過兩條直線交點的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)特殊解法(直線系法)：運用過兩直線交點的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點，則過l1與l2交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設出方程后再利用其他條件求解．【例1-1】判斷下列各對直線的位置關系．若相交，求出交點坐標：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.【解析】(1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以直線l1與l2相交，交點坐標為(－1，－1)．(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②，得1＝0，矛盾，方程組無解．所以直線l1與l2無公共點，即l1∥l2.變式1：求過直線2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交點，且斜率為3的直線方程．【解析】法一：(方程組法)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以兩直線的交點坐標為(－1,0)，又所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.法二：(直線系法)設所求直線為l，因為l過已知兩直線的交點，因此l的方程可設為2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ為常數(shù))，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0①，又直線l的斜率為3，所以－eq\f(λ＋2,λ－1)＝3，解得λ＝eq\f(1,4)，將λ＝eq\f(1,4)代入①，整理得3x－y＋3＝0.變式2：設直線l經(jīng)過2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線l的方程為________．【解析】法一：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋2＝0，,3x－4y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14，,y＝10，))所以兩直線的交點坐標為(14,10)．由題意可得所求直線的斜率為1或－1，所以所求直線的方程為y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.法二：設所求的直線方程為(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由題意，得eq\f(2＋3λ,3＋4λ)＝±1，解得λ＝－1或λ＝－eq\f(5,7)，所以所求的直線方程為x－y－4＝0或x＋y－24＝0.答案：x－y－4＝0或x＋y－24＝0【例1-2】直線3x＋my－1＝0與4x＋3y－n＝0的交點為(2，－1)，則m＋n的值為()A．12B．10C．－8D．－6【解析】∵直線3x＋my－1＝0與4x＋3y－n＝0的交點為(2，－1)．∴將點(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，將點(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，∴m＋n＝10.故選B變式1：兩直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點在y軸上，那么k的值為________．【解析】在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝eq\f(k,3)，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(k,3)))代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.答案：±6變式2：三條直線ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一點，求a的值；【解析】解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝14，,2x－3y＝14，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))所以兩條直線的交點坐標為(4，－2)．由題意知點(4，－2)在直線ax＋2y＋7＝0上，將(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－eq\f(3,4).變式3：已知直線5x＋4y＝2a＋1與直線2x＋3y＝a的交點位于第四象限，則a的取值范圍是______.【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7)，,y＝\f(a－2,7)，))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)>0，,\f(a－2,7)<0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－\f(3,2)，,a<2.))所以－eq\f(3,2)<a<2.變式4：若直線l：y＝kx－eq\r(3)與直線x＋y－3＝0相交，且交點在第一象限，則直線l的傾斜角θ的取值范圍是()A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°}C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°}【解析】由題可知k≠－1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\r(3)，,x＋y－3＝0，))解得x＝eq\f(3＋\r(3),1＋k)，y＝eq\f(3k－\r(3),1＋k)，∴兩直線的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),1＋k)，\f(3k－\r(3),1＋k))).∵兩直線的交點在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),1＋k)>0，,\f(3k－\r(3),1＋k)>0，))解得k>eq\f(\r(3),3).又直線l的傾斜角為θ，則tanθ>eq\f(\r(3),3)，∴30°<θ<90°.故選C考點二兩點間的距離公式解題方略：計算兩點間距離的方法(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．【例2-1】已知△ABC三頂點坐標A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，試判斷△ABC的形狀．求BC邊上的中線AM的長【解析】（1）法一：∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）設點M的坐標為(x，y)，因為點M為BC的中點，所以x＝eq\f(3＋1,2)＝2，y＝eq\f(－3＋7,2)＝2，即點M的坐標為(2,2)．由兩點間的距離公式得|AM|＝eq\r(－3－22＋1－22)＝eq\r(26)，所以BC邊上的中線AM的長為eq\r(26).變式1：已知點A(－3,4)，B(2，eq\r(3))，在x軸上找一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．【解析】設點P的坐標為(x,0)，則有|PA|＝eq\r(x＋32＋0－42)＝eq\r(x2＋6x＋25)，|PB|＝eq\r(x－22＋0－\r(3)2)＝eq\r(x2－4x＋7).由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－eq\f(9,5).故所求點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0)).|PA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)＋3))2＋0－42)＝eq\f(2\r(109),5).變式2：過點A(4，a)和點B(5，b)的直線與y＝x＋m平行，則|AB|的值為()A．6 B.eq\r(2)C．2 D．不能確定【解析】由kAB＝1，得eq\f(b－a,1)＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝eq\r(5－42＋b－a2)＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2).故選B變式3：已知平面上兩點A(x，eq\r(2)－x)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，則|AB|的最小值為()A．3 B.eq\f(1,3)C．2 D.eq\f(1,2)【解析】∵|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－x－0))2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3\r(2),4)))2＋\f(1,4))≥eq\f(1,2)，當且僅當x＝eq\f(3\r(2),4)時等號成立，∴|AB|min＝eq\f(1,2).故選D判斷三角形的形狀【例2-2】已知△ABC的三個頂點是A(－1,0)，B(1,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，試判斷△ABC的形狀．【解析】因為|BC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(\f(1＋3,4))＝1，|AB|＝2，|AC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(3)，有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．求三角形的周長、面積【例2-3】已知△ABC的頂點A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，則△ABC的周長是()A．2eq\r(3) B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2) D．6＋eq\r(10)【解析】由兩點間距離公式得|AB|＝eq\r(2＋12＋3－02)＝3eq\r(2)，|BC|＝eq\r(－1－22＋0－02)＝3，|CA|＝eq\r(2－22＋3－02)＝3.故△ABC的周長為6＋3eq\r(2).故選C【例2-4】已知點A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，則△ABC的面積等于()A．3 B．4C．5 D．6【解析】設AB邊上的高為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.|AB|＝eq\r(3－12＋1－32)＝2eq\r(2)，AB邊上的高h就是點C到直線AB的距離．AB邊所在的直線方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.點C到直線x＋y－4＝0的距離為eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.故選C考點三直線的恒過定點問題解題方略：解決過定點問題常用的三種方法(1)特殊值法，給方程中的參數(shù)取兩個特殊值，可得關于x，y的兩個方程，從中解出的x，y的值即為所求定點的坐標．(2)點斜式法，將含參數(shù)的直線方程寫成點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)．(3)分離參數(shù)法，將含參數(shù)的直線方程整理為過交點的直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，則該方程表示的直線必過直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點，而此交點就是定點．比較這三種方法可知，方法一計算較煩瑣，方法二變形較困難，方法三最簡便因而也最常用．【例3-1】求證：不論λ為何實數(shù)，直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒過一定點．【證明】法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直線l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直線l2：x＝－3，故l1與l2的交點為P(－3,3)．將點P(－3,3)代入方程左邊，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，∴點(－3,3)在直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．∴直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒過定點(－3,3)．法二：(分離參數(shù)法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.則直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通過直線2x＋y＋3＝0與x－y＋6＝0的交點．由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－y＋6＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3.))∴直線(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒過定點(－3,3)．變式1：已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)若使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．【解析】(1)證明：直線l的方程可化為y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，所以不論a取何值，直線l恒過定點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，又點A在第一象限，所以不論a取何值，直線l恒過第一象限．(2)令x＝0，y＝eq\f(3－a,5)，由題意，eq\f(3－a,5)≤0，解得a≥3.所以a的取值范圍為[3，＋∞).變式2：無論k為何值，直線(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都過一個定點，則該定點為()A．(1,3) B．(－1,3)C．(3,1) D．(3，－1)【解析】直線方程可化為(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直線過直線2x＋y－5＝0和直線x－y－4＝0的交點．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))因此所求定點為(3，－1)．故選D.變式3;已知實數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，則直線ax＋3y＋b＝0過定點()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6)))【解析】由a＋2b＝1，得a＝1－2b，則直線ax＋3y＋b＝0可化為(1－2b)x＋3y＋b＝0，整理得x＋3y－b(2x－1)＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝0，,2x－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\f(1,6)，))故直線過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6))).故選D變式4：兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點A，B，則|AB|的值為()A.eq\f(\r(89),5)B.eq\f(17,5)C.eq\f(13,5)D.eq\f(11,5)【解析】直線3ax－y－2＝0過定點A(0，－2)，直線(2a－1)x＋5ay－1＝0過定點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,5)))，由兩點間的距離公式，得|AB|＝eq\f(13,5).故選C考點四點到直線的距離解題方略：應用點到直線的距離公式應注意的三個問題(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式．(2)點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用．(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．【例4-1】求點P(3，－2)到下列直線的距離：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.【解析】(1)直線y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq\f(18,5).(2)因為直線y＝6與y軸垂直，所以點P到它的距離d＝|－2－6|＝8.(3)因為直線x＝4與x軸垂直，所以點P到它的距離d＝|3－4|＝1.變式1：求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點P(－1,0)的距離是eq\f(3,5)eq\r(10)的直線l的方程．【解析】設與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點到直線的距離公式知：d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3,5)eq\r(10).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.【例4-2】已知點(a,2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A.eq\r(2) B.eq\r(2)－1C.eq\r(2)＋1 D．2－eq\r(2)【解析】由點到直線的距離公式，得1＝eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))，即|a＋1|＝eq\r(2).∵a＞0，∴a＝eq\r(2)－1，故選B.變式1：已知A(－2，－4)，B(1,5)兩點到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值為________．【解析】由題意得eq\f(|－2a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|a＋5＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－3或3.變式2：已知點P在直線3x＋y－5＝0上，且點P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則點P的坐標為()A．(1,2)或(2，－1) B．(3，－4)C．(2，－1) D．(1,2)【解析】設點P的坐標為(a,5－3a)，由題意，得eq\f(|a－5－3a－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，解得a＝1或2，∴點P的坐標為(1,2)或(2，－1)．故選A【例4-3】求過點P(2，－1)且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？【解析】設原點為O，連接OP(圖略)，易知過點P且與原點距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線．由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.所以直線l的方程為y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直線2x－y－5＝0是過點P且與原點距離最大的直線，最大距離為eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).變式1：已知定點P(－2,0)和直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，則點P到直線l的距離的最大值為()A．2eq\r(3) B.eq\r(10)C.eq\r(14) D．2eq\r(15)【解析】將(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ變形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是經(jīng)過兩直線x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交點的直線系．設兩直線的交點為Q，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))得交點Q(1,1)，所以直線l恒過定點Q(1,1)，于是點P到直線l的距離d≤|PQ|＝eq\r(10)，即點P到直線l的距離的最大值為eq\r(10).變式2：已知5x＋12y＝60，則eq\r(x2＋y2)的最小值是________．【解析】eq\r(x2＋y2)表示直線5x＋12y＝60上的點到原點的距離，在所有這些點到原點距離中，過原點且垂直于直線5x＋12y＝60的垂線段的長最小，故最小值為d＝eq\f(60,\r(52＋122))＝eq\f(60,13).變式3：已知x＋y－3＝0，則eq\r(x－22＋y＋12)的最小值為________．【解析】設P(x，y)，A(2，－1)，則點P在直線x＋y－3＝0上，且eq\r(x－22＋y＋12)＝|PA|.|PA|的最小值為點A(2，－1)到直線x＋y－3＝0的距離d＝eq\f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2).考點五兩平行線間的距離解題方略：求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點到另一條直線的距離，即化線線距為點線距來求．(2)公式法：設直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【例5-1】兩直線3x＋4y－2＝0與6x＋8y－5＝0的距離等于()A．3 B．7C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,2)【解析】3x＋4y－2＝0變?yōu)?x＋8y－4＝0，則兩平行線間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4－－5)),\r(62＋82))＝eq\f(1,10).故選C【例5-2】已知直線5x＋12y－3＝0與直線10x＋my＋20＝0平行，則它們之間的距離是()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．4【解析】由兩條直線平行可得eq\f(5,10)＝eq\f(12,m)，解得m＝24.則直線10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由兩條平行直線間的距離公式得d＝eq\f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1.故選A【例5-3】求與兩條平行直線l1：2x－3y＋4＝0與l2：2x－3y－2＝0距離相等的直線l的方程．【解析】設所求直線l的方程為2x－3y＋C＝0.由直線l與兩條平行線的距離相等，得eq\f(|C－4|,\r(22＋32))＝eq\f(|C＋2|,\r(22＋32))，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直線l的方程為2x－3y＋1＝0.【例5-4】P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)【解析】易知直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即兩平行直線間的距離，故d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋12)),5)＝eq\f(29,10).故選C變式1：若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，則AB的中點M到原點的距離的最小值為________．【解析】依題意，知l1∥l2，故點M所在的直線平行于l1和l2，可設點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根據(jù)平行線間的距離公式，得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根據(jù)點到直線的距離公式，得點M到原點的距離的最小值為eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)變式2：若直線與直線之間的距離不大于，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．或【解析】直線化為，則兩直線之間的距離，即，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【例5-5】若直線m被平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2eq\r(2)，則m的傾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正確答案的序號是______．【解析】兩平行線間的距離d＝eq\f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，故m與l1或l2的夾角為30°.又l1，l2的傾斜角為45°，∴直線m的傾斜角為30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.答案：①⑤【例5-6】已知兩平行直線l1，l2分別過點P(－1,3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．[0,5]C．(0,5] D．[0，eq\r(17)]【解析】當直線l1，l2與直線PQ垂直時，它們之間的距離d達到最大，此時d＝eq\r([2－－1]2＋－1－32)＝5，∴0＜d≤5.故選C考點六距離的綜合應用解題方略：利用點到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式解綜合題時，需特別注意直線方程要化為一般式，同時要注意構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法的應用，本節(jié)中距離公式的形式為一些代數(shù)問題提供了幾何背景，可構(gòu)造幾何圖形，借助幾何圖形的直觀性去解決問題．【例6-1】已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點，正方形一邊所在的直線l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．【解析】設與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊所在的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐標為P(－1,0)，由點P到兩直線l，l1的距離相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l(xiāng)1：x＋3y＋7＝0.又正方形另兩邊所在直線與l垂直，∴設另兩邊所在直線的方程分別為3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四條邊的距離相等，∴eq\f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，同理得b＝9或b＝－3.∴另兩條邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.∴另三邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.題組A基礎過關練1、【多選】對于eq\r(x2＋2x＋5)，下列說法正確的是()A．可看作點(x,0)與點(1,2)的距離B．可看作點(x,0)與點(－1，－2)的距離C．可看作點(x,0)與點(－1,2)的距離D．可看作點(x，－1)與點(－1,1)的距離【解析】eq\r(x2＋2x＋5)＝eq\r(x＋12＋4)＝eq\r(x＋12＋0±22)＝eq\r(x＋12＋－1－12)，可看作點(x,0)與點(－1，－2)的距離，可看作點(x,0)與點(－1,2)的距離，可看作點(x，－1)與點(－1,1)的距離，故選項A不正確．故選BCD2、兩條直線l1：2x－y－1＝0與l2：x＋3y－11＝0的交點坐標為()A．(3,2) B．(2,3)C．(－2，－3) D．(－3，－2)【解析】解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))故選B3、已知點M(x，－4)與點N(2,3)間的距離為7eq\r(2)，則x＝________.【解析】由|MN|＝7eq\r(2)，得|MN|＝eq\r(x－22＋－4－32)＝7eq\r(2)，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值為9或－5.答案：9或－54、設點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P(2，－1)，則|AB|等于________．【解析】設A(x,0)，B(0，y)，∵AB中點P(2，－1)，∴eq\f(x,2)＝2，eq\f(y,2)＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).5、求過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程．【解析】過兩直線交點的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原點坐標，求得λ＝－eq\f(4,5)，故所求直線方程為x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.6、經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0垂直的直線l的方程為________．【解析】由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).))又所求直線與直線3x＋y－1＝0垂直，故k＝eq\f(1,3)，∴直線方程為y＋eq\f(7,5)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,5)))，即5x－15y－18＝0.7、傾斜角為60°，并且與原點的距離是5的直線方程為________．【解析】因為直線斜率為tan60°＝eq\r(3)，可設直線方程為y＝eq\r(3)x＋b，化為一般式得eq\r(3)x－y＋b＝0.由直線與原點距離為5，得eq\f(|0－0＋b|,\r(\r(3)2＋－12))＝5?|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直線方程為eq\r(3)x－y＋10＝0或eq\r(3)x－y－10＝0.答案：eq\r(3)x－y＋10＝0或eq\r(3)x－y－10＝08、在x軸上找一點Q，使點Q與A(5,12)間的距離為13，則Q點的坐標為________．【解析】設Q(x0,0)，則有13＝eq\r(5－x02＋122)，得x0＝0或x0＝10.答案(10,0)或(0,0)9、已知直線3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則m＝________，它們之間的距離是________．【解析】∵3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直線6x＋2y＋1＝0可以化為3x＋y＋eq\f(1,2)＝0，由兩條平行直線間的距離公式，得d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋3)),\r(32＋12))＝eq\f(7\r(10),20).答案：2eq\f(7\r(10),20)10、已知直線l與直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0間的距離相等，則直線l的方程是________．【解析】由題意可設直線l的方程為2x－y＋c＝0，于是有eq\f(|c－3|,\r(22＋－12))＝eq\f(|c＋1|,\r(22＋－12))，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直線l的方程為2x－y＋1＝0.11、不論m為何實數(shù)，直線l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒過定點()A．(－3，－1) B．(－2，－1)C．(－3,1) D．(－2,1)【解析】直線l的方程可化為m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＝0，,－x－3y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，))∴直線l恒過定點(－3,1)．故選C.12、已知直線ax＋y＋a＋2＝0恒經(jīng)過一個定點，則過這一定點和原點的直線方程是________．【解析】由直線ax＋y＋a＋2＝0，得a(x＋1)＋(y＋2)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,y＋2＝0，))解得x＝－1，y＝－2，∴直線ax＋y＋a＋2＝0恒經(jīng)過定點(－1，－2)，∴過這一定點和原點的直線方程是eq\f(y－0,－2－0)＝eq\f(x－0,－1－0)，即y＝2x.13、若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為()A.eq\r(2)B.eq\f(8\r(2),3)C.eq\r(3)D.eq\f(8\r(3),3)【解析】由題意知，直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，當a＝3時，直線l1：x＋3y＋6＝0與l2：x＋3y＋6＝0重合；當a＝－1時，直線l1：x－y＋6＝0與l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0平行，兩直線之間的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).故選B題組B能力提升練14、在坐標平面內(nèi)，與點A(1,2)距離為1，且與點B(3,1)距離為2的直線共有________條．【解析】由題可知所求直線顯然不與y軸平行，∴可設直線為y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.∴d1＝eq\f(|k－2＋b|,\r(k2＋1))＝1，d2＝eq\f(|3k－1＋b|,\r(k2＋1))＝2，兩式聯(lián)立，解得b1＝3，b2＝eq\f(5,3)，∴k1＝0，k2＝－eq\f(4,3).故所求直線共有兩條．答案：215、已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，當|AB|取最小值時，實數(shù)a的值是()A．－eq\f(7,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,2)【解析】∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，∴|AB|＝eq\r([a＋1－5]2＋[a－4－2a－1]2)＝eq\r(a－42＋a＋32)＝eq\r(2a2－2a＋25)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，∴當a＝eq\f(1,2)時，|AB|取得最小值．故選C16、已知點M(1,2)，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是()A.eq\r(10) B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\r(6) D．3eq\r(5)【解析】點M到直線2x＋y－1＝0的距離，即為|MP|的最小值，所以|MP|的最小值為eq\f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝eq\f(3\r(5),5).故選B17、直線，為直線上動點，則的最小值為___________.【解析】可看成是直線上一點到點的距離的平方，當時，距離最小.故點到直線的距離為，所以的最小值為故答案為：18、若兩條直線l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交點在第四象限，求k的取值范圍．【解析】聯(lián)立兩直線的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,x＋2y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))∵該交點落在平面直角坐標系的第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<k<\f(1,2)，,－\f(1,2)<k<－\f(1,6)，))即－eq\f(1,2)<k<－eq\f(1,6).則k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6))).19、已知直線l1：2x＋y－6＝0和點A(1，－1)，過點A作直線l2與直線l1相交于點B，且|AB|＝5，求直線l2的方程．【解析】∵點B在直線l1上，∴設B(x0,6－2x0)．∵|AB|＝5，∴eq\r(x0－12＋7－2x02)＝5，整理，得xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.∴點B的坐標為(1,4)或(5，－4)．∴直線l2的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.20、已知直線ax＋2y－1＝0和x軸、y軸分別交于A，B兩點，且線段AB的中點到原點的距離為eq\f(\r(2),4)，求a的值．【解析】由題易知a≠0，直線ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝eq\f(1,a)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，0))，令x＝0，有y＝eq\f(1,2)，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，故AB的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，\f(1,4)))，∵線段AB的中點到原點的距離為eq\f(\r(2),4)，∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－0))2)＝eq\f(\r(2),4)，解得a＝±2.21、已知直線l經(jīng)過點P(－2,5)，且斜率為－eq\f(3,4).(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程．【解析】(1)由直線方程的點斜式，得y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，整理得所求直線方程為3x＋4y－14＝0.(2)由直線m與直線l平行，可設直線m的方程為3x＋4y＋C＝0，由點到直線的距離公式得eq\f(|3×－2＋4×5＋C|,\r(32＋42))＝3，即eq\f(|14＋C|,5)＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直線方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.22、求過點P(0,2)且與點A(1,1)，B(－3,1)等距離的直線l的方程．【解析】法一：∵點A(1,1)與B(－3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等，∴直線l的斜率存在，設為k.又直線l在y軸上的截距為2，則直線l的方程為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由點A(1,1)與B(－3,1)到直線l的距離相等，得eq\f(|k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝1.∴直線l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.法二：當直線l過線段AB的中點時，直線l與點A，B的距離相等．∵AB的中點是(－1,1)，又直線l過點P(0,2)，∴直線l的方程是x－y＋2＝0；當直線l∥AB時，直線l與點A，B的距離相等．∵直線AB的斜率為0，∴直線l的斜率為0，∴直線l的方程為y＝2.綜上所述，滿足條件的直線l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.23、已知點P(2，－1)，求過點P且與原點距離為2的直線l的方程．【解析】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝2，符合題意．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，由點到直線的距離公式得eq\f(|－2k－1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，所以直線l的方程為3x－4y－10＝0.故直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.24、已知直線(a－2)y＝(3a－1)x－1，求證：無論a為何值，直線總經(jīng)過第一象限．【證明】將直線方程整理為a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.因為直線3x－y＝0與x－2y＋1＝0的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，即直線系恒過第一象限內(nèi)的定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，所以無論a為何值，直線總經(jīng)過第一象限．25、已知A(－2,4)，B(4,2)，直線l：ax－y－2＝0與線段AB恒相交，則a的取值范圍為______________．【解析】如圖所示，直線l：ax－y－2＝0經(jīng)過定點D(0，－2)，a表示直線l的斜率，設線段AB與y軸交于點C，由圖形知，當直線l：ax－y－2＝0與線段AB的交點在線段CB上時，a大于或等于DB的斜率，即a≥eq\f(2＋2,4－0)＝1，即a≥1.當直線l：ax－y－2＝0與線段AB的交點在線段AC上時，a小于或等于DA的斜率，即a≤eq\f(4＋2,－2－0)＝－3，即a≤－3.綜上，a的取值范圍為(－∞，－3]∪[1，＋∞)．26、如圖，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB邊上的中線CE所在直線的方程為x＋2y－5＝0，AC邊上的中線BD所在直線的方程為2x－5y＋8＝0，求直線BC的方程．【解析】設B(x0，y0)，則AB的中點E的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－8,2)，\f(y0＋2,2)))，由條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0，,\f(x0－8,2)＋\f(2y0＋2,2)－5＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0，,x