2025年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08概率與統(tǒng)計(jì)一、單選題1．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）樣本數(shù)據(jù)2，8，14，16，20的平均數(shù)為（

）A．8 B．9 C．12 D．18【答案】C【分析】由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選：C.2．（2025·上?！じ呖颊骖}）己知事件A、B相互獨(dú)立，事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可求.【詳解】因?yàn)橄嗷オ?dú)立，故，故選：B.3．（2025·天津·高考真題）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，，則C．越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)D．越接近0，相關(guān)性越弱【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，，A說法正確；對(duì)于B，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，，B說法錯(cuò)誤；對(duì)于C和D，相關(guān)系數(shù)越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.故選：B二、填空題4．（2025·上海·高考真題）已知隨機(jī)變量X的分布為，則期望．【答案】【分析】根據(jù)分布列結(jié)合期望公式可求期望.【詳解】由題設(shè)有.故答案為：.5．（2025·天津·高考真題）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：6．（2025·上?！じ呖颊骖}）在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為．【答案】【分析】利用通項(xiàng)公式求解可得.【詳解】由通項(xiàng)公式，令，得，可得項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.7．（2025·上?！じ呖颊骖}）4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則不同的排列個(gè)數(shù)有種．【答案】288【分析】先選家長(zhǎng)作隊(duì)尾和隊(duì)首，再排中間四人即可.【詳解】先選兩位家長(zhǎng)排在首尾有種排法；再排對(duì)中的四人有種排法，故有種排法.故答案為：2888．（2025·北京·高考真題）已知，則；．【答案】【分析】利用賦值法可求，利用換元法結(jié)合賦值法可求的值.【詳解】令，則，又，故，令，則，令，則，故故答案為：.9．（2025·天津·高考真題）小桐操場(chǎng)跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動(dòng)量達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望【答案】【分析】先根據(jù)全概率公式計(jì)算求解空一，再求出概率根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算求解.【詳解】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件，設(shè)第二次跑5圈為事件，則；若至少跑11圈為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)為事件，，所以，；故答案為：；10．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）一個(gè)箱子里有5個(gè)相同的球，分別以1~5標(biāo)號(hào)，若每次取一顆，有放回地取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X，則數(shù)學(xué)期望.【答案】/【分析】法一：根據(jù)題意得到的可能取值，再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得的分布列，從而求得；法二，根據(jù)題意假設(shè)隨機(jī)變量，利用對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率公式求得，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求得.【詳解】法一：依題意，的可能取值為1、2、3，總的選取可能數(shù)為，其中：三次抽取同一球，選擇球的編號(hào)有5種方式，故，：恰好兩種不同球被取出（即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次），選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式，其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件的可能情況有種，故，：三種不同球被取出，由排列數(shù)可知事件的可能情有況種，故，所以.故答案為：.法二：依題意，假設(shè)隨機(jī)變量，其中：其中，則，由于球的對(duì)稱性，易知所有相等，則由期望的線性性質(zhì)，得，由題意可知，球在單次抽取中未被取出的概率為，由于抽取獨(dú)立，三次均未取出球的概率為，因此球至少被取出一次的概率為：，故，所以.故答案為：.三、解答題11．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病20180200未患該疾病78020800合計(jì)8002001000(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計(jì)值；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附，0.0050.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)(2)有關(guān)【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想,求出,然后與小概率值對(duì)應(yīng)的臨界值比較,即可判斷.【詳解】（1）根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的人中有人患病，所以的估計(jì)值為；（2）零假設(shè)為：超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過.12．（2025·上海·高考真題）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)獲得了男子米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運(yùn)會(huì)男子米混合泳接力項(xiàng)目冠軍成績(jī)記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；(2)從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；(3)若比賽成績(jī)y關(guān)于年份x的回歸方程為，年份x的平均數(shù)為2006，預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績(jī)（精確到0.01秒）．【答案】(1)；；(2)(3)【分析】（1）由最長(zhǎng)與最短用時(shí)可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；（2）由古典概型概率公式可得；（3）先求成績(jī)平均數(shù)，再由在回歸直線上，代入方程可得，再代入年份預(yù)測(cè)可得.【詳解】（1）由題意，數(shù)據(jù)的最大值為，最小值為，則極差為；數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為與，則中位數(shù)為.故極差為，中位數(shù)為；（2）由題意，數(shù)據(jù)共個(gè)，以上數(shù)據(jù)共有個(gè)，故設(shè)事件“恰有個(gè)數(shù)據(jù)在以上”，則，故恰有個(gè)數(shù)據(jù)在以上的概率為；（3）由題意，成績(jī)的平均數(shù)，由直線過，則，故回歸直線方程為.當(dāng)時(shí),.故預(yù)測(cè)年冠軍隊(duì)的成績(jī)?yōu)槊?13．（2025·北京·高考真題）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)的概率及X的數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)：如果沒有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為，，判斷與的大小（結(jié)論不要求證明）.【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）用頻率估計(jì)概率即可求解；（2）利用獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做對(duì)的概率及的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系.【詳解】（1）估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率.（2）設(shè)為“從甲校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“從乙校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“恰有1人做對(duì)”，故依題可知，可取，，，，故的分布列如下表：故.（3）設(shè)為“甲校掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生做該題”，因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，故，即，故，同理有，，故，故.14．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得0分．設(shè)每個(gè)球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立，對(duì)正整數(shù)，記為打完k個(gè)球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個(gè)球后乙比甲至少多得2分的概率．(1)求（用p表示）．(2)若，求p．(3)證明：對(duì)任意正整數(shù)m，．【答案】(1)，(2)(3)證明過程見解析【分析】（1）直接由二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式即可求解；（2）由題意，聯(lián)立，即可求解；（3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得證.【詳解】（1）為打完3個(gè)球后甲比乙至少多得兩分的概率，故只能甲勝三場(chǎng)，故所求為，為打完4個(gè)球后甲比乙至少多得兩分的概率，故甲勝三場(chǎng)或四場(chǎng)，故所求為；（2）由（1）得，，同理，若，，則，由于，所以，解得；（3）我們有.以及.至此我們得到，，同理有，.故，即.另一方面，由于且同理有.故結(jié)合，就能得到，即，證畢.一、單選題1．（2025·福建莆田·三模）小明所在的學(xué)校每周都要進(jìn)行數(shù)學(xué)周測(cè)，他將近8周的周測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：112，101，93，99，106，105，114，119，則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是（

）A．99 B．100 C．101 D．113【答案】B【分析】把給定的數(shù)據(jù)由小到大排列，利用第25百分位數(shù)的定義求解.【詳解】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為93，99，101，105，106，112，114，119，由，得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是.故選：B2．（2025·安徽蚌埠·三模）醫(yī)療研究者會(huì)創(chuàng)建散點(diǎn)圖來顯示少女的體重指數(shù)（BMI）和身體脂肪百分比之間的相關(guān)關(guān)系，如圖，下列說法正確的是（

）A．BMI越大，脂肪百分比越大B．BMI越大，脂肪百分比越小C．BMI與脂肪百分比正相關(guān)D．BMI與脂肪百分比負(fù)相關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的特征可得正確的選項(xiàng).【詳解】由散點(diǎn)圖可得BMI增大時(shí)，脂肪百分比或變大或變小，故AB錯(cuò)誤；根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得：BMI于脂肪百分正相關(guān)，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：C．3．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．252 B．-252 C．210 D．-210【答案】C【分析】求出展開式的通項(xiàng)，從而可得第5項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，第5項(xiàng)系數(shù)為210．故選：C.4．（2025·廣東深圳·二模）下列各組數(shù)據(jù)中方差最大的一組是（

）A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越大；數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，方差越小.通過觀察數(shù)據(jù)的離散程度以及計(jì)算平均值和方差來得出答案.【詳解】對(duì)于A：數(shù)據(jù)全部為6，相等，沒有波動(dòng)，所以方差為0.對(duì)于B：平均數(shù)為，方差為.對(duì)于C：平均數(shù)為，方差為.對(duì)于D：平均數(shù)為，方差為.通過比較可知，選項(xiàng)D的方差最大.故選：D.5．（2025·廣東茂名·二模）隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可求解.【詳解】因?yàn)?，所以隨機(jī)變量的正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，故，則.故選：C.6．（2025·天津·二模）某地組織全體中學(xué)生參加了主題為“強(qiáng)國(guó)之路”的知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了2000名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（

）A．在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有750人B．直方圖中的值為0.020C．估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為87D．估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為90【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算區(qū)間的頻率，即可判斷A，根據(jù)頻率和為1，計(jì)算的值，判斷B，根據(jù)中位數(shù)和百分位數(shù)公式，判斷CD.【詳解】A.由圖可知，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的頻率為，人，故A錯(cuò)誤；B.由圖可知，，得，故B錯(cuò)誤；C.前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以中位數(shù)在第4組，所以，得，故C正確；D.樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在第5組，，得，故D錯(cuò)誤.故選：C7．（2025·浙江·二模）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B．120 C．240 D．360【答案】B【分析】根據(jù)展開式中每一項(xiàng)的生成過程，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】要得到這一項(xiàng)，相當(dāng)于從6個(gè)含有三項(xiàng)的因式中的3個(gè)因式取，1個(gè)因式取，2個(gè)因式取，即這一項(xiàng)為.故的系數(shù)為.故選：B8．（2025·湖南·三模）若甲?乙?丙?丁?戊隨機(jī)站成一排，則甲?乙不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出所有排列情況，再求出甲乙相鄰的排列情況，用總排列情況減去甲乙相鄰的排列情況得到甲乙不相鄰的情況，最后根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算概率.【詳解】5個(gè)人隨機(jī)排成一排的總排列數(shù)為：種.將甲乙看成一個(gè)整體（捆綁法），此時(shí)相當(dāng)于有4個(gè)人隨機(jī)排列，排列數(shù)為，而甲乙兩人之間又有種排列順序.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，甲乙相鄰的排列數(shù)為：種.所以，甲乙不相鄰的排列數(shù)為種.根據(jù)古典概型概率公式可得，甲乙不相鄰的概率為：.故選：A.9．（2025·北京昌平·二模）若，則（

）．A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】利用賦值法即可求解.【詳解】令得：，令得：，所以，故選：D.10．（2025·廣西河池·二模）一家銀行有VIP客戶和普通客戶，VIP客戶占客戶總數(shù)的，普通客戶占客戶總數(shù)的.已知VIP客戶的信用卡欺詐概率為，而普通客戶的信用卡欺詐概率為.現(xiàn)在隨機(jī)抽取一個(gè)發(fā)生信用卡欺詐的客戶，請(qǐng)問這個(gè)客戶是VIP客戶的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)事件E為“客戶發(fā)生信用卡欺詐”，由全概率公式得，再由條件概率公式即可求解.【詳解】記事件A為“客戶是VIP客戶”，事件B為“客戶是普通客戶”，事件E為“客戶發(fā)生信用卡欺詐”，則，，，，由全概率計(jì)算公式得，由條件概率公式得，故選：A.11．（2025·山東·三模）某班成立了A、B兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，A組10人，B組30人，經(jīng)過一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn)行了一次測(cè)試，在該測(cè)試中，A組平均成績(jī)?yōu)?30分，方差115，B組平均成績(jī)?yōu)?10分，方差為215，則在這次測(cè)試中，全班學(xué)生的平均成績(jī)和方差為（

）A．115分，105 B．115分，265C．120分，105 D．120分，265【答案】B【分析】利用各層平均數(shù)、方差與總體平均數(shù)、方差之間的關(guān)系式可求全班學(xué)生的平均數(shù)和方差.【詳解】依題意，，所以全班學(xué)生的平均成績(jī)（分）；全班學(xué)生成績(jī)的方差為．故選：B12．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知某個(gè)群體中對(duì)某活動(dòng)持滿意態(tài)度的人數(shù)比例為，從該群體中隨機(jī)抽取10人，設(shè)這10人中持滿意態(tài)度的人數(shù)為，隨機(jī)變量，則（）A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.8【答案】B【分析】判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的方差公式求出.然后，根據(jù)隨機(jī)變量，依據(jù)隨機(jī)變量線性變換后的方差性質(zhì)（其中、為常數(shù)），求出.【詳解】已知從群體中隨機(jī)抽取10人，對(duì)某活動(dòng)持滿意態(tài)度的人數(shù)比例為，設(shè)這10人中持滿意態(tài)度的人數(shù)為，那么服從參數(shù)為（試驗(yàn)次數(shù)），（每次試驗(yàn)成功的概率）的二項(xiàng)分布，即.對(duì)于二項(xiàng)分布，其方差公式為.將，代入公式可得：.已知隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)變量線性變換后的方差性質(zhì)，所以.由前面已求得，則.所以.故選：B.13．（2025·湖北武漢·三模）現(xiàn)有一雙運(yùn)動(dòng)鞋和一雙涼鞋，從這四只鞋中隨機(jī)取出2只，記事件“取出的鞋不成雙”；“取出的鞋都是同一只腳”.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】A寫出事件包含的基本事件；B根據(jù)古典概型的概率公式求出；C事件是不可能事件；D利用概率的加法公式.【詳解】假設(shè)運(yùn)動(dòng)鞋的左腳為，右腳為，涼鞋的左腳為，右腳為，則選出兩只鞋包含了6種，其中事件包含了4種，事件包含了2種，事件包含了2種，故，則A錯(cuò)誤；，，，，故BC錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D14．（2025·安徽蚌埠·三模）空間中三個(gè)點(diǎn)、、滿足，在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)，使得它們與、、恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，和正四棱錐的幾何性質(zhì)，分類討論，求出不同的取法數(shù)量.【詳解】如圖所示，設(shè)任取2個(gè)不同的點(diǎn)為、，當(dāng)為正四棱錐的側(cè)面時(shí)，平面的兩側(cè)分別可以做以四邊形為底面的正四棱錐，有2種情況，同理以四邊形、四邊形為底面各有2種情況，所以共有6種情況；當(dāng)為正四棱錐的截面時(shí)，、位于兩側(cè)，四邊形為圓錐的底面，只有一種情況，同理以四邊形、四邊形為底面各有1種情況，所以共有3種情況；綜上，共有種情況．故答案為：B．15．（2025·廣東廣州·三模）一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1到8，將其隨機(jī)拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為，事件A：，事件B：，事件C：，則（

）A．A，B互斥 B．C． D．A，B，C兩兩獨(dú)立【答案】D【分析】利用互斥事件的定義即可判斷A，根據(jù)并事件的定義即可判斷B，利用獨(dú)立事件的定義即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A：，即事件同時(shí)發(fā)生，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：事件發(fā)生，不一定發(fā)生，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：根據(jù)題意，，所以，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，，所以A，B，C兩兩獨(dú)立，故D正確，故選：D.16．（2025·重慶九龍坡·三模）“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成.若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A．66 B．75 C．78 D．90【答案】B【分析】按千位數(shù)分別是5，7，8進(jìn)行分類討論即可.【詳解】若千位數(shù)字是5，則百位數(shù)字只能是7或8，故共有（個(gè)）；若千位數(shù)字是7，則共有（個(gè)）；若千位數(shù)字是8，則共有（個(gè)）．故符合條件的四位數(shù)共有（個(gè)）．故選：B.17．（2025·山東棗莊·二模）子貢曰：“夫子溫?良?恭?儉?讓以得之”，“溫?良?恭?儉?讓”指五種品德：溫和?善良?恭敬?節(jié)儉?謙讓.現(xiàn)有分別印有這5個(gè)字的卡片（顏色均不同）各2張，同學(xué)甲從中抽取4張卡片分給另外4位同學(xué)，每人一張卡片，恰有2位同學(xué)分到的卡片是相同字的分配方案有（

）A．120種 B．210種 C．1440種 D．2880種【答案】D【分析】將字相同的卡片看成—組，從5組中選出—組，再?gòu)氖Ｏ?組，選出2組，在各取一張，得到4張卡片，全排列即可.【詳解】先把字相同的卡片看成—組，第一步：從這5組中選出—組，第二步：再?gòu)挠嘞碌?組中選2組，這2組中，每組各選—張卡片，第三步：把選出的4張卡片，分給4位同學(xué)，所以不同的分配方案有種.故選：D18．（2025·四川巴中·二模）下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃∏驈纳戏降耐ǖ揽诼湎潞?，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi).若小球下落過程中向左?向右落下的機(jī)會(huì)均等，且小球需要經(jīng)過5次碰撞后落入球槽，求小球最終落入從左往右數(shù)第5號(hào)球槽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】小球落下要經(jīng)過5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均為，并且相互對(duì)立，最終落入⑤號(hào)球槽4次向右，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率公式，即可求解.【詳解】小球從起始點(diǎn)到最終落入球槽，需要經(jīng)過5次與小木塊的碰撞，每次碰撞時(shí)向左或向右的概率均為.我們可以把小球向左下落看作一次“左操作”，向右下落看作一次“右操作”.要落入從左往右數(shù)第5號(hào)球槽，從組合的角度看，經(jīng)過5次碰撞，相當(dāng)于在5次操作中，向右的次數(shù)比向左的次數(shù)多3次.設(shè)向右為正方向，向左為負(fù)方向，那么向右的次數(shù)x與向左的次數(shù)y滿足方程組，解得.也就是在5次碰撞過程中，需要有4次向右，1次向左.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，這里，所以.故選：C.19．（2025·浙江·三模）若數(shù)軸上有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于處，每次運(yùn)動(dòng)它都等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知它在第10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處，則它在運(yùn)動(dòng)過程中沒有重返過原點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把左稱記為，右稱記為，要達(dá)到處，記10次運(yùn)動(dòng)為一個(gè)有序數(shù)組，滿足首次和為6的所有可能，這里組合數(shù)來確定所有可能性，同時(shí)再研究沒有返回原點(diǎn)的所有可能性，最后利用古典概型求解即可.【詳解】設(shè)第i次向右運(yùn)動(dòng)賦值為，第i次向左運(yùn)動(dòng)賦值為.則10次運(yùn)動(dòng)路徑可以表示為有序數(shù)組，其中，.記10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處的路徑為，則，且，可得且，而故，.由得，不可能全為－1，而，恒成立，因此共有種不同路徑.記10次運(yùn)動(dòng)后首次到達(dá)處且過程中沒有重返原點(diǎn)的路徑為，同理可得共有種不同路徑.所以題中所求概率為，故選:B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：把運(yùn)動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為有序數(shù)組，再根據(jù)有序數(shù)組的和來求解各種可能性，從而利用古典概型來求概率即可.20．（2025·黑龍江大慶·三模）某商店店慶，每個(gè)在店內(nèi)消費(fèi)到一定額度的顧客都可以參與抽獎(jiǎng)活動(dòng).組織方準(zhǔn)備了個(gè)盲盒，其中有個(gè)盲盒內(nèi)有獎(jiǎng)品.抽獎(jiǎng)規(guī)則為：抽獎(jiǎng)?wù)邚倪@個(gè)盲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)盲盒，兌獎(jiǎng)后組織方會(huì)再補(bǔ)回一個(gè)相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎(jiǎng)?wù)叱楠?jiǎng).抽獎(jiǎng)?wù)呒紫饶闷鹆艘粋€(gè)盲盒，在猶豫是否打開時(shí)，組織方拿走了一個(gè)沒有獎(jiǎng)品的盲盒，最終甲選擇了另外一個(gè)盲盒打開，記甲中獎(jiǎng)的概率為.抽獎(jiǎng)?wù)咭以谶x盲盒時(shí)不小心碰掉了一個(gè)盲盒，并且發(fā)現(xiàn)摔裂的盲盒內(nèi)沒有獎(jiǎng)品，隨后乙從剩下的盲盒中選定一個(gè)盲盒打開，記乙中獎(jiǎng)的概率為，則（

）A． B． C． D．無法確定與的大小關(guān)系【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比較大小即可.【詳解】設(shè)事件為“抽獎(jiǎng)?wù)呒字歇?jiǎng)”，事件為“甲最初選中的盲盒有獎(jiǎng)”，則，在組織方拿走無獎(jiǎng)的盲盒后，若先選中的有獎(jiǎng)，則剩余個(gè)盲盒中有個(gè)獎(jiǎng)品，甲更換盲盒后，若甲先選中的盲盒無獎(jiǎng)，則剩余個(gè)盲盒中有個(gè)獎(jiǎng)品，則更換盲盒后，因此，由乙碰掉的盲盒無獎(jiǎng)，則所有個(gè)盲盒中有個(gè)獎(jiǎng)品，且每個(gè)盲盒被抽到的可能性相同，則，于是，所以.故選：A.21．（2025·浙江嘉興·三模）甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，若第一次由甲傳出，則經(jīng)過6次傳球后，球恰在乙手中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可列出球在甲手中的概率遞推關(guān)系式，構(gòu)造出等比數(shù)列，求出第次球在甲手中的概率表達(dá)式，由于乙、丙地位對(duì)稱，求出第次球在甲手中的概率由對(duì)立事件即可得到經(jīng)過次傳球后，球恰在乙手中的概率.【詳解】設(shè)事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知可知：，又，所以，構(gòu)造等比數(shù)列，因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑?，可認(rèn)為第次傳球在甲，即，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑颍蠖际堑瓤赡艿貙⑶騻鹘o另外兩個(gè)人中的任何一人，所以乙、丙地位對(duì)稱，即，所以經(jīng)過次傳球后，球恰在乙手中的概率為.故選：C.二、多選題22．（2025·重慶·三模）從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)(甲同學(xué))和(乙同學(xué))的概率分布圖分別是如圖的甲、乙:通過計(jì)算則下列說法正確的是（

）A．甲同學(xué)的平均成績(jī)高于乙同學(xué)B．乙同學(xué)擊中8環(huán)的概率高于甲同學(xué)C．甲同學(xué)擊中10環(huán)的概率高于乙同學(xué)D．乙同學(xué)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定【答案】BCD【分析】由期望和方差的概念結(jié)合圖形觀察,依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】由于，即平均水平相當(dāng)，故A錯(cuò)誤；由圖可知，甲同學(xué)擊中8環(huán)的概率小于乙同學(xué)擊中8環(huán)的概率，所以B正確；甲同學(xué)擊中10環(huán)的概率大于乙同學(xué)擊中10環(huán)的概率，所以C正確；從概率分布圖來看，乙同學(xué)的成績(jī)分布相對(duì)更集中在均值8環(huán)附近，波動(dòng)更小，所以乙同學(xué)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定，故D正確，故選：BCD.23．（2025·廣東廣州·三模）已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則（）A．這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于100B．這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定為2C．?dāng)?shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為3sD．現(xiàn)構(gòu)造新的樣本數(shù)據(jù)，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】AC【分析】根據(jù)方差的意義計(jì)算可求樣本均值，從而可判斷A；根據(jù)中位數(shù)計(jì)算方法可判斷B的正誤；根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷C的正誤，由，可知數(shù)據(jù)更集中.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榉讲睿?，所以，解得，所以這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于，故A正確.對(duì)于B，根據(jù)方差、均值無法求出中位數(shù)，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，數(shù)據(jù)，，，的方差為，故其標(biāo)準(zhǔn)差為，故C正確.對(duì)于D，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由A可得，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.24．（2025·山東·二模）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，得到，且，結(jié)合期望和方差的性質(zhì)，以及正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得，又由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得，對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B不正確；對(duì)于C中，由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，得，所以C正確；對(duì)于D中，由，又由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，所以.故選：ACD.25．（2025·重慶·三模）若隨機(jī)變量，且，隨機(jī)變量，且，則（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式計(jì)算判斷A，C；利用正態(tài)分布期望、方差的性質(zhì)計(jì)算判斷B，D作答.【詳解】對(duì)于A，隨機(jī)變量，由，得，A正確；對(duì)于C，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，隨機(jī)變量，則，，B正確；對(duì)于D，，D正確．故選：ABD26．（2025·湖北武漢·三模）為保護(hù)學(xué)生視力、促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組從該校學(xué)生中按男、女生比例，采用分層隨機(jī)抽樣的方法選取了100名學(xué)生（其中男生60人，女生40人），調(diào)查他們每日使用手機(jī)的時(shí)間.若每日使用手機(jī)時(shí)間超過40分鐘，則認(rèn)為該生手機(jī)成癮.根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如圖所示的等高堆積條形圖，用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，下列說法正確的有（

）

A．該校男生和女生人數(shù)之比為B．如果從男生和女生各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么男生手機(jī)成癮的概率小于女生手機(jī)成癮的概率C．從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，則該生手機(jī)成癮的概率為D．從該校學(xué)生中抽到一名手機(jī)成癮的學(xué)生，則該生是男生的概率為【答案】ABC【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)判斷A；結(jié)合題意判斷B；先求出樣本中學(xué)生手機(jī)成癮的頻率，再利用頻率估計(jì)概率即可判斷C；根據(jù)條件概率求出從樣本中抽樣到一名手機(jī)成癮的學(xué)生，該生是男生的概率，再用頻率估計(jì)概率即可判斷D.【詳解】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的抽樣比可知，樣本中男生和女生人數(shù)之比為，用樣本估計(jì)總體可知全校男生和女生人數(shù)之比為，故A正確；樣本中男生有手機(jī)成癮，女生有手機(jī)成癮，比例關(guān)系差異很大，男生手機(jī)成癮的概率小于女生手機(jī)成癮的概率，故B正確；結(jié)合樣本數(shù)據(jù)以及等高堆積條形圖可知，男生中有人手機(jī)成癮，女生中有人手機(jī)成癮，即樣本的100人中有28人手機(jī)成癮，所以樣本中學(xué)生手機(jī)成癮的頻率為，用頻率估計(jì)概率可知，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生手機(jī)成癮的概率為，故C正確；根據(jù)條件概率可知，在樣本中抽樣到一名手機(jī)成癮的學(xué)生，該生是男生的概率為，用樣本估計(jì)總體可知該校學(xué)生中抽樣到一名手機(jī)成癮的學(xué)生，該生是男生的概率也為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.27．（2025·甘肅白銀·三模）定義：對(duì)一個(gè)三位數(shù)來說，如果其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都小，則稱它為“三位凹數(shù)”，如果其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱其為“三位凸數(shù)”，現(xiàn)從1至9共9個(gè)數(shù)中，選取3個(gè)不同的數(shù)排成三位數(shù)，則（

）A．排成的“三位凹數(shù)”共有168個(gè)B．排成的“三位凸數(shù)”和“三位凹數(shù)”的可能性相等C．從所有的中隨機(jī)抽取一個(gè)三位數(shù)，該三位數(shù)是“三位凸數(shù)”的概率為D．從所有的中隨機(jī)抽取兩個(gè)三位數(shù)，至少有一個(gè)是“三位凹數(shù)”的概率為【答案】ABC【分析】根據(jù)“三位凹數(shù)”和“三位凸數(shù)”的定義，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式，可判定A正確；求得“三位凹數(shù)”和“三位凸數(shù)”的個(gè)數(shù)，可判定B正確；由三位數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，可判定C正確；結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式和對(duì)立事件的概率公式，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，從9個(gè)數(shù)中選3個(gè)數(shù)，有種選法，將最小的數(shù)作為十位數(shù)字，剩下兩個(gè)數(shù)隨意作為百位和個(gè)位上的數(shù)字，有種，故共有（個(gè)）“三位凹數(shù)”，所以A正確；對(duì)于B中，由A知排成的“三位凸數(shù)”共有（個(gè)），所以排成的“三位凸數(shù)”和“三位凹數(shù)”的可能性相等，所以B正確；對(duì)于C中，由三位數(shù)共有個(gè)，所以“三位凸數(shù)”的概率為，所以C正確；對(duì)于D中，由三位數(shù)共有個(gè)，任取兩個(gè)三位數(shù)有種，其中不同非“三位凹數(shù)”的三位數(shù)有336個(gè)，任取兩個(gè)非“三位凹數(shù)”有種，所以至少有一個(gè)是“三位凹數(shù)”的概率為，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.28．（2025·安徽蚌埠·三模）己知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D．是增函數(shù)【答案】CD【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可得的性質(zhì)，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故A錯(cuò)誤；而，故不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；而，故，故的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；設(shè)，則即，故是上的增函數(shù)，故D正確；故選：CD.29．（2025·湖北黃岡·三模）在本場(chǎng)考試中，多選題可能有2個(gè)或3個(gè)正確的選項(xiàng).全部選對(duì)得6分，若有3個(gè)正確的選項(xiàng)則每選對(duì)一個(gè)得2分；若有2個(gè)正確的選項(xiàng)則每選對(duì)一個(gè)得3分；有選錯(cuò)或未選的得0分.若因完全不會(huì)做某道題目而必須隨機(jī)選擇項(xiàng)選項(xiàng).設(shè)該題恰有3個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，得分設(shè)為隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（

）A．若隨機(jī)選擇一項(xiàng)，則為定值B．若，則隨機(jī)選擇兩項(xiàng)比選擇一項(xiàng)更優(yōu)C．存在使隨機(jī)選擇三項(xiàng)的得分期望大于隨機(jī)選擇一項(xiàng)的得分期望D．存在使隨機(jī)選擇三項(xiàng)的得分期望大于隨機(jī)選擇兩項(xiàng)的得分期望【答案】AB【分析】利用條件概率乘法公式來計(jì)算各種條件下的概率，并列出分布列，通過求期望來判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于，隨機(jī)選一項(xiàng)，若該題恰有3個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，則該題恰有2個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，若得2分，則由條件概率乘法公式可得，，若得3分，則由條件概率乘法公式可得，，所以得0分，則，則隨機(jī)選一項(xiàng)，可得分布列為023P，故A正確；對(duì)于，隨機(jī)選兩項(xiàng)，若該題恰有3個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，則該題恰有2個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，若得4分，則由條件概率乘法公式可得，，若得6分，則由條件概率乘法公式可得，，所以得0分，則，則隨機(jī)選兩項(xiàng)，可得分布列為046P所以，當(dāng)時(shí)，由于，，故B正確；對(duì)于，隨機(jī)選三項(xiàng)，若該題恰有3個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，則該題恰有2個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，若得6分，則由條件概率乘法公式可得，，所以得0分，則，則隨機(jī)選三項(xiàng)，可得分布列為06P，由于，所以，故C錯(cuò)誤；通過比較：，所以，所以隨機(jī)選擇三項(xiàng)的得分期望小于隨機(jī)選擇兩項(xiàng)的得分期望，故D錯(cuò)誤.故選：AB.30．（2025·廣東·二模）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為.定義隨機(jī)變量為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，的分布列如下：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望稱為隨機(jī)變量的生成函數(shù)，記為.是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則（

）A．B．若服從兩點(diǎn)分布，，則C．若，則D．若實(shí)數(shù)為常數(shù)，則【答案】AD【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的生成函數(shù)定義，結(jié)合隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求法，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，隨機(jī)變量的生成函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，所以A正確；對(duì)于B，服從兩點(diǎn)分布，，則生成函數(shù)為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則生成函數(shù)為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)于線性變換的生成函數(shù)，所以D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】1、隨機(jī)變量?jī)牲c(diǎn)分布，則；2、隨機(jī)變量，則；3、.三、填空題31．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的、、.已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為、、，現(xiàn)從這批零件中任取一個(gè)零件，則它是次品的概率為.【答案】【分析】分別記事件、、表示抽取的一個(gè)零件為甲、乙、丙生產(chǎn)的，記事件抽取的一個(gè)零件為次品，利用全概率公式可求得的值.【詳解】分別記事件、、表示抽取的一個(gè)零件為甲、乙、丙生產(chǎn)的，記事件抽取的一個(gè)零件為次品，由題意可得，，，，，由全概率公式可得.故答案為：.32．（2025·山東德州·三模）已知變量與線性相關(guān)，由樣本點(diǎn)求得的回歸直線方程為，若點(diǎn)在回歸直線上，且，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，利用樣本中心在回歸直線上，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由點(diǎn)在回歸直線上，且，可得，解得，所以回歸直線方程為，又由樣本中心在回歸直線上，可得，所以.故答案為：.33．（2025·山東·三模）甲、乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2樣，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】60【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式求解.【詳解】從5種課外讀物中任取1樣為甲乙共同的，有5種方法；再?gòu)挠嘞?種中取1樣給甲，有4種方法；最后從3種中取1樣給乙，有3種方法，所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（種）.故答案為：6034．（2025·湖南岳陽·三模）的展開式中的系數(shù)為．【答案】80【分析】分第一個(gè)因式取1和兩種情況進(jìn)行討論，可求展開式中的系數(shù).【詳解】第一個(gè)因式取1，則的展開式應(yīng)取，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)為：；第一個(gè)因式取，則的展開式應(yīng)取常數(shù)項(xiàng)，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)為：.所以的展開式中的系數(shù)為：.故答案為：8035．（2025·江西·二模）甲?乙兩名乒乓球選手進(jìn)行比賽，根據(jù)賽前兩位選手勝負(fù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得在一局比賽中甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率為，且各局比賽之間互不影響，若采用“五局三勝制”，則甲最終獲勝的概率為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式列式計(jì)算得解.【詳解】甲以3：0獲勝的概率為，以3：1獲勝的概率為，以3：2獲勝的概率為，所以甲獲勝的概率為.故答案為：36．（2025·湖南邵陽·三模）若隨機(jī)變量，則當(dāng)取得最大值時(shí)，正整數(shù)的值是．【答案】5【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布，計(jì)算，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】由題可知，所以取得最大值，即最大，此時(shí).故答案為：537．（2025·上海·三模）北斗七星是夜空中的七顆亮星，它們組成的圖形象我國(guó)古代舀酒的斗，故命名為北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，也是古人判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點(diǎn)，，，，，，表示某季節(jié)的北斗七星，其中，，，看作共線，其他任何三點(diǎn)均不共線.若過這七個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)作三角形，則所作的不同三角形的個(gè)數(shù)為.【答案】31【分析】應(yīng)用間接法，7個(gè)點(diǎn)任選3個(gè)減去從4個(gè)共線的點(diǎn)任選3個(gè)的情況，即可得.【詳解】由題設(shè)，7個(gè)點(diǎn)任選3個(gè)減去從4個(gè)共線的點(diǎn)任選3個(gè)的情況，即為構(gòu)成三角形的情況，所以不同三角形的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：38．（2025·上海黃浦·三模）若隨機(jī)變量，且，，則的最小值為【答案】【分析】由正態(tài)分布性質(zhì)知正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，故，使用基本不等式可求的最小值.【詳解】由題意知正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，，則，又，故，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故答案為：.39．（2025·上海閔行·二模）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為5，則的平均數(shù)為．【答案】9【分析】由方差和平均數(shù)的計(jì)算公式結(jié)合已知計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，，所以，又，即，即，所以的平均數(shù)為9.故答案為：9.40．（2025·河北保定·三模）甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)1，2，3，4，5，6的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于10或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，則甲抽了3張卡片時(shí)，游戲恰好結(jié)束的概率為.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為抽取5張，且甲抽取的張數(shù)字之和為，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為10，再分類討論每種情況的種類數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，游戲恰好結(jié)束相當(dāng)于從6張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為10，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為10，則總的情況相當(dāng)于從6張卡片中抽取了5張并進(jìn)行排列，即共種排法，其中三張卡片數(shù)字之和為10的組合有1，3，6；1，4，5；2，3，5共3種情況，兩張卡片數(shù)字之和為10的組合有，一種情況，當(dāng)甲抽取的數(shù)字為1，3，6；1，4，5時(shí)，乙在剩余的3個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為2，3，5時(shí)，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為4，6，此時(shí)不合題意，此時(shí)共有種，所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：.41．（2025·廣東廣州·三模）某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動(dòng)，將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，則恰好甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室的情況有種（用數(shù)字作答）．【答案】42【分析】有和兩種情況，分別求出兩種情況下的分配方法，相加得到答案.【詳解】6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的辦公室，有和兩種情況，當(dāng)按照分配時(shí)，甲乙兩人（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室，先選一個(gè)辦公室給甲乙兩人，有種方法，將剩余的4人平均分配到兩個(gè)辦公室，有種方法，此時(shí)，共有種情況，當(dāng)按照分配時(shí)，先選一個(gè)辦公室給甲乙兩人，有種方法，將剩余的4人按照1,3分配到兩個(gè)辦公室，有種方法，此時(shí)，共有種情況，綜上，共有種情況.故答案為：4242．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）設(shè)是給定的正整數(shù)，現(xiàn)有個(gè)外表相同的袋子，里面均裝有個(gè)除顏色外其他無區(qū)別的小球，第個(gè)袋中有個(gè)紅球，個(gè)白球．現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個(gè)袋子，并且從中連續(xù)取出三個(gè)球（每個(gè)球取出后不放回）．則第三次取出白球的概率為．【答案】【分析】根據(jù)題意，抽到任何一個(gè)袋子的概率為，結(jié)合每個(gè)袋子中取出白球的概率，利用全概率公式列出等式，計(jì)算結(jié)果即可．【詳解】設(shè)選出的是第個(gè)袋子，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，第三次取出的是白球的三次取球顏色有如下四種情形：（白，白，白）：取法數(shù)為，（白，紅，白）：取法數(shù)為，（紅，白，白）：取法數(shù)為，（紅，紅，白）：取法數(shù)為，從而第三次取出的是白球的種數(shù)為：,則在第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，而選到第個(gè)袋子的概率為，故所求概率為.故答案為：.43．（2025·江西·三模）投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)連續(xù)三次正面朝上的情況，則停止投擲，那么投擲總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為【答案】【分析】設(shè)表示當(dāng)且連續(xù)正面的次數(shù)為，設(shè)為分別表示而到投擲的期望次數(shù)，，則可構(gòu)建遞歸關(guān)系后求出可得解.【詳解】設(shè)為當(dāng)前沒有連續(xù)正面或者最近一次是反面，為當(dāng)前連續(xù)正面的次數(shù)為1，為當(dāng)前連續(xù)正面的次數(shù)為2，為當(dāng)前連續(xù)正面的次數(shù)為3，設(shè)為分別表示而到投擲的期望次數(shù)，，由題設(shè)有，從開始，若拋出正面，則期望次數(shù)變?yōu)?，若拋反面，則期望次數(shù)變?yōu)椋始?，同理，所以，故，故，故，故答案為?44．（2025·河南許昌·三模）某商場(chǎng)進(jìn)行周年慶大型促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，活動(dòng)期間在商場(chǎng)消費(fèi)達(dá)到一定金額的人可以參加游戲．游戲規(guī)則如下：在一個(gè)盒子里放著6個(gè)大小相同的小正方體，其中有3個(gè)類小正方體，4個(gè)面印著奇數(shù)，2個(gè)面印著偶數(shù)；有2個(gè)類小正方體，6個(gè)面都印著奇數(shù)；1個(gè)類小正方體，6個(gè)面都印著偶數(shù)．游戲者蒙著眼睛隨機(jī)從盒子中抽取一個(gè)小正方體并連續(xù)投擲兩次，由工作人員告知投擲的結(jié)果，若兩次投擲向上的面都是奇數(shù)，則進(jìn)入最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)，否則游戲結(jié)束，不獲得任何禮券．最終挑戰(zhàn)的環(huán)節(jié)是進(jìn)行第三次投擲，第三次投擲不使用之前抽取的小正方體，從盒子中剩余的5個(gè)小正方體里再次隨機(jī)抽取一個(gè)進(jìn)行投鄭，若投擲后向上的面為奇數(shù)，則獲得300元禮券，若投擲后向上的面為偶數(shù)，則獲得100元禮券．則第一次投擲后向上的面為奇數(shù)的概率為；在某位顧客進(jìn)入了最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)的條件下，他最終獲得的禮券金額的數(shù)學(xué)期望為．【答案】【分析】（1）根據(jù)全概率公式，即可求解；（2）根據(jù)兩種不同的方案，結(jié)合題意，寫出不同的期望，比較后即可判斷.【詳解】記事件分別表示第一次抽到類、類、類小正方體，事件表示第次投擲后向上的面為奇數(shù)，（1）．（2）記事件表示第三次投擲后向上的面為奇數(shù)，設(shè)第三次投擲后最終獲得的禮券為元，的可能取值為300，100．①若第一次抽到的是類小正方體，記事件分別表示第二次抽到類、類、類小正方體，則；②若第一次抽到的是類小正方體，記事件分別表示第二次抽到類、類、類小正方體，則，則．故答案為：；.四、解答題45．（2025·湖南郴州·三模）某興趣小組調(diào)查了某校100名學(xué)生100米短跑成績(jī)的情況，其中有60名學(xué)生的短跑成績(jī)合格.這100名學(xué)生中有45名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)，60名短跑成績(jī)合格的學(xué)生中有35名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí).(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下表格，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以推斷學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān)？單位：人每周的鍛煉時(shí)間短跑成績(jī)合計(jì)短跑成績(jī)合格短跑成績(jī)不合格每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)合計(jì)(2)正確的跑步姿勢(shì)和起跑技巧等都可以讓跑步者更好地發(fā)揮自己的能力.現(xiàn)對(duì)短跑成績(jī)不合格的學(xué)生進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，已知每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績(jī)合格的概率為，每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績(jī)合格的概率為.用頻率代替概率，從短跑成績(jī)不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，求學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格的概率.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，有關(guān)(2).【分析】（1）分析數(shù)據(jù)，填入表格，計(jì)算出卡方，與7.879比較后得到結(jié)論；（2）設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行計(jì)算，得到答案.【詳解】（1）表格如下：?jiǎn)挝唬喝嗣恐艿腻憻挄r(shí)間短跑成績(jī)合計(jì)短跑成績(jī)合格短跑成績(jī)不合格每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)351045每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)253055合計(jì)6040100零假設(shè)為：學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績(jī)合格與每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān).（2）由（1）的列聯(lián)表可知，短跑成績(jī)不合格的學(xué)生共有40名，其每周鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的有10人，不超過5小時(shí)的有30人.從短跑成績(jī)不合格的40名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，記為甲，設(shè)事件“甲參加跑步技巧培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格”，事件“甲每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)”，“甲每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)”，用連列表中的數(shù)據(jù)計(jì)算頻率并替代概率后得又已知，由全概率公式可得，所以學(xué)生甲參加跑步技巧培訓(xùn)后短跑成績(jī)合格的概率為.46．（2025·山東煙臺(tái)·三模）近年來，新能源汽車因其動(dòng)力充沛、提速快、用車成本低等特點(diǎn)得到民眾的追捧．某機(jī)構(gòu)為研究汽油價(jià)格x（單位：元/升）與新能源汽車的月銷售量y（單位：萬輛）之間的關(guān)系，收集整理得到如下數(shù)據(jù)：x66.577.58y1.5234.56.8(1)若用模型模擬x與y之間關(guān)系，求出回歸方程；(2)根據(jù)建立的回歸方程，預(yù)測(cè)當(dāng)汽油價(jià)格上漲至9元/升時(shí)，新能源汽車的銷量；(3)假設(shè)當(dāng)汽油價(jià)格為9元/升時(shí)，實(shí)際銷量超過預(yù)測(cè)值的概率為0.6．現(xiàn)進(jìn)行5次獨(dú)立觀測(cè)，記這5次觀測(cè)中銷量超過預(yù)測(cè)值的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)和公式：．，．令，，，．對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．【答案】(1)(2)約為萬輛(3)3【分析】（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算，再根據(jù)計(jì)算即可求出；（2）將代入回歸方程中即可；（3）由題意可知，利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，又，，由得，，解得，所以回歸方程為．（2）當(dāng)時(shí)，代入回歸方程可得，價(jià)格上漲至9元/升時(shí)，新能源汽車的銷量約為萬輛．（3）由題知，，所以，即的數(shù)學(xué)期望為3．47．（2025·江蘇蘇州·三模）現(xiàn)有甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布．(1)若甲、乙在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率分別為0.1,0.2，且兩臺(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立．設(shè)一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，求的分布列；(2)若生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑小于8mm，則每件虧損2元；若內(nèi)徑大于10mm，則每件虧損8元；其余尺寸的零件，則每件獲利20元．已知每天每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出一千件零件，試比較哪一臺(tái)臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)更大．參考數(shù)據(jù)：若，則．【答案】(1)分布列見解析(2)甲臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)更大【分析】（1）需要根據(jù)獨(dú)立事件概率公式計(jì)算不同故障臺(tái)數(shù)的概率；（2）比較甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)零件的平均利潤(rùn)，要先根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出不同內(nèi)徑范圍的概率，再計(jì)算平均利潤(rùn).【詳解】（1）表示一天內(nèi)發(fā)生故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)，的可能取值為，，.：表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器都不發(fā)生故障，因?yàn)榧住⒁覂膳_(tái)機(jī)器工作狀態(tài)相互獨(dú)立，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，可得.：表示甲發(fā)生故障乙不發(fā)生故障或者甲不發(fā)生故障乙發(fā)生故障，可得.：表示甲、乙兩臺(tái)機(jī)器都發(fā)生故障，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，可得.所以的分布列為：0.720.260.02（2）甲機(jī)器：已知甲生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑，則，.；；.每臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)1000件零件，則甲機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)為：（元）.乙機(jī)器：已知乙生產(chǎn)出的零件內(nèi)徑，則，.；；.則乙機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)為：（元）.因?yàn)?，所以甲機(jī)器每天生產(chǎn)出的零件的平均利潤(rùn)更大.48．（2025·湖北武漢·三模）小華、小明、小紅三人為某比賽制定了如下規(guī)則：先確定挑戰(zhàn)權(quán)，挑戰(zhàn)權(quán)屬于某人時(shí)，該人可挑戰(zhàn)另外兩人.經(jīng)商定，小華首先獲得挑戰(zhàn)權(quán)，他挑戰(zhàn)小明、小紅的概率均為.若他挑戰(zhàn)小明，下一次的挑戰(zhàn)權(quán)即屬于小明，且小明再挑戰(zhàn)小華、小紅的概率分別為；若他挑戰(zhàn)小紅，下一次的挑戰(zhàn)權(quán)即屬于小紅，且小紅再挑戰(zhàn)小華、小明的概率分別為.(1)經(jīng)過3次挑戰(zhàn)后，小華已使用的挑戰(zhàn)權(quán)次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若經(jīng)過次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)屬于小華、小明、小紅分別記為事件.（ⅰ）證明：；（ⅱ）求事件發(fā)生的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）需要確定隨機(jī)變量的取值，再分別計(jì)算每個(gè)取值的概率，進(jìn)而得到分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）（i）通過建立與的遞推關(guān)系來證明兩者相等；（ii）通過一系列遞推關(guān)系找出的通項(xiàng)公式，從而求出.【詳解】（1）的可能取值為1和2，且；，則的分布列如下：12則的期望為.（2）（?。佗冖?②得：.又，則，即.（ⅱ）③，①+②得：.由③知又；則有，其中；則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.可得：；所以49．（2025·重慶·三模）甲、乙兩位同學(xué)一起玩數(shù)軸游戲，規(guī)則如下:游戲開始時(shí)，兩人各自的棋子均在數(shù)軸零點(diǎn)處，兩人輪流拋一枚骰子(兩人都拋完一次骰子，則稱這輪結(jié)束)，若得到的點(diǎn)數(shù)為1或2，則該同學(xué)的棋子沿正方向移動(dòng)兩個(gè)單位長(zhǎng)度;若得到的點(diǎn)數(shù)為3或4，棋子就沿正方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度;若得到的點(diǎn)數(shù)為5或6，棋子保持不動(dòng).(1)若3輪結(jié)束后，求甲同學(xué)的棋子恰好落在數(shù)字3處的概率；(2)若甲同學(xué)的棋子向正方向每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度得5分，每次移動(dòng)兩個(gè)單位長(zhǎng)度得10分，不動(dòng)則不得分，當(dāng)他完成3輪游戲后，記得分為求的數(shù)學(xué)期望;(3)經(jīng)過協(xié)商，甲先拋擲骰子，記第輪結(jié)束后，甲、乙兩人的棋子所在數(shù)字分別為和.兩人約定:在輪游戲后，對(duì)任意的均有則認(rèn)為甲獲勝.已知3輪游戲后，甲同學(xué)的棋子恰好落在數(shù)字4處，求此時(shí)甲獲勝的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件確定棋子落在3的情況，然后針對(duì)每種情況求概率值，最后將其相加就是所求概率.（2）首先確定的可能取值，然后針對(duì)每個(gè)取值求概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求的期望值.（3）首先判斷甲同學(xué)3輪游戲后棋子落在數(shù)字4處的情況，然后再判斷甲獲勝時(shí)每輪甲、乙的棋子所能前進(jìn)的單位長(zhǎng)度，最后求甲獲勝的概率.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，棋子沿正方向移動(dòng)兩個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為，棋子沿正方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為，棋子保持不動(dòng)的概率為.3輪結(jié)束后，甲同學(xué)的棋子恰好落在數(shù)字3處，即有兩種情況，一種是三次都只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，另一種情況是一次移動(dòng)兩個(gè)單位長(zhǎng)度、一次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度、一次保持不動(dòng).那么概率為：.（2）甲同學(xué)完成3輪游戲后，移動(dòng)的長(zhǎng)度取值可能為0，1，2，3，4，5，6.那么可能的得分取值.根據(jù)題意，所對(duì)應(yīng)的概率值分別計(jì)算如下：；；；；；；.那么的數(shù)學(xué)期望為.（3）根據(jù)（2）可知，3輪游戲后，甲同學(xué)的棋子恰好落在數(shù)字4處的概率為.根據(jù)題意，3輪游戲過程中，每一輪甲同學(xué)的棋子所在數(shù)字均大于已同學(xué)的棋子所在數(shù)字.所以甲想獲勝又必須保證3輪游戲后棋子落在數(shù)字4處的情況是1輪游戲移動(dòng)兩個(gè)單位長(zhǎng)度且乙移動(dòng)一個(gè)單位或不移動(dòng)；甲兩輪游戲移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度且乙不移動(dòng).此時(shí)，甲獲勝的概率為：.50．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）隨著2025年春節(jié)檔電影《哪吒》與《封神榜》的播出，中學(xué)生中掀起了一股對(duì)“中國(guó)神話故事”的討論熱潮.某校興趣小組為研究本校不同性別的學(xué)生對(duì)“中國(guó)神話故事”的喜愛情況，特進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“喜歡中國(guó)神話故事”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).(1)現(xiàn)采用分層抽樣從50名女生樣本中選出5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，設(shè)其中喜歡中國(guó)神話故事的學(xué)生人數(shù)為，求的概率分布列和期望;(2)將樣本的頻率視為概率.（i）求該校任意一名學(xué)生喜歡中國(guó)神話故事的概率；（ii）現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，設(shè)其中喜歡中國(guó)神話故事的學(xué)生人數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，求從全校學(xué)生中抽取的人數(shù).【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）或40【分析】（1）的所有可能取值為，算出對(duì)應(yīng)的概率可得分布列，進(jìn)一步得數(shù)學(xué)期望；（2）（i）由條件概率公式即可求解；（ii）由二項(xiàng)分布概率最大可列不等式求解.【詳解】（1），所以5個(gè)女生中喜歡神話故事和不喜歡神話故事的人數(shù)分別為3人和2人，故的取值范圍是，，的分布列為123P故的期望為；（2）（i）因?yàn)橐阎?，女生?0人，所以喜歡神話故事的女生人數(shù)為30人，又因?yàn)?，所以喜歡神話故事的人數(shù)為45人，可得.（ii）隨機(jī)變量，令，解得，因?yàn)?，所以?0.51．（2025·上?！と＃┠畴娕_(tái)舉辦有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)答比賽，選手答題規(guī)則相同．甲每道題自己有把握獨(dú)立答對(duì)的概率為，若甲自己沒有把握答對(duì)，則在規(guī)定時(shí)間內(nèi)連線親友團(tuán)尋求幫助，其親友團(tuán)每道題能答對(duì)的概率為，假設(shè)每道題答對(duì)與否互不影響．(1)當(dāng)時(shí)，（i）若甲答對(duì)了某道題，求該題是甲自己答對(duì)的概率；（ii）甲答了4道題，計(jì)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)乙答對(duì)每道題的概率為（含親友團(tuán)），現(xiàn)甲乙兩人各答兩個(gè)問題，若甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)比乙答對(duì)題目的個(gè)數(shù)多的概率不低于，求甲的親友團(tuán)每道題答對(duì)的概率的最小值．【答案】(1)（i）（ii）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)【分析】（1）（i）利用條件概率公式求解；（ii）求出的可能值，再利用二項(xiàng)分布的概率求出分布列及期望.（2）利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再結(jié)合已知建立不等式求解.【詳解】（1）（i）記事件為“甲答對(duì)了某道題”，事件為“甲自己答對(duì)”，則，，所以.（ii）可能取值為0，1，2，3，4，甲答對(duì)某道題的概率，則，所以的分布列為：01234數(shù)學(xué)期望.（2）記事件為“甲答對(duì)了道題”，事件為“乙答對(duì)了道題”，其中甲答對(duì)某道題的概率為，答錯(cuò)某道題的概率為，則，，，所以甲答對(duì)題數(shù)比乙多的概率為：，解得，所以甲的親友團(tuán)助力的概率的最小值為.52．（2025·江西·二模）某公司計(jì)劃舉辦周年慶活動(dòng)，其中設(shè)計(jì)了“做游戲贏獎(jiǎng)金”環(huán)節(jié)，從所有員工中選取10名業(yè)績(jī)突出的員工參加投擲游戲，每位員工只能參加一次，并制定游戲規(guī)則如下：參與者投擲一枚均勻的骰子，初始分?jǐn)?shù)為0，每次擲得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)得2分，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)得1分.連續(xù)投擲累計(jì)得分達(dá)到9分或10分時(shí)，游戲結(jié)束.(1)設(shè)員工在游戲過程中累計(jì)得分的概率為.①求；②求證數(shù)列為等比數(shù)列.(2)得9分的員工，獲得二等獎(jiǎng)，得10分的員工，獲得一等獎(jiǎng)，若一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金的兩倍，且該公司計(jì)劃作為游戲獎(jiǎng)勵(lì)的預(yù)算資金不超過1萬元，則一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金最多不能超過多少元？（精確到1元）【答案】(1)①；②證明見解析；(2)1499元.【分析】（1）①根據(jù)事件發(fā)生概率，依次分類進(jìn)行求解即可；②由題知，累計(jì)獲得分時(shí)有可能是獲得分時(shí)擲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)或獲得分時(shí)擲骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，而擲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率均為，所以，結(jié)合數(shù)列遞推關(guān)系，即可證明是公比為的等比數(shù)列.（2）由（1），運(yùn)用累加法可求得，進(jìn)而可求得員工獲得二等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng)的概率，設(shè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為元，進(jìn)而可得，解不等式即可.【詳解】（1）①由題意，員工游戲過程中累計(jì)得1分，即第一次投擲為奇數(shù)，其概率為；累計(jì)得2分，即第一次投擲為偶數(shù)或連續(xù)兩次投擲都是奇數(shù)，其概率為；累計(jì)得3分，即前兩次投擲一次為偶數(shù)，一次為偶數(shù)或連續(xù)三次投擲都是奇數(shù)，其概率為；②由題知，累計(jì)獲得分時(shí)有可能是獲得分時(shí)擲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)或獲得分時(shí)擲骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，而擲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率均為.所以，則，又故為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，將所有等式相加得，所以，所以，設(shè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為元，二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為元，由題意知元，解得，即一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金最多不超過1499元.53．（2025·北京海淀·三模）某AI大模型想象力引擎處理用戶問題分為“深度思考”模式，“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式和“兼用”模式（即同時(shí)使用“深度思考”和“聯(lián)網(wǎng)搜索”）三種模式，用戶可根據(jù)需求在提問時(shí)自由選擇．為了調(diào)查用戶對(duì)不同模式的使用頻率和使用大模型研究問題的種類，該公司調(diào)查了不同用戶最近提出的共10000個(gè)問題作為樣本，得到如下表格．問題類別模式生活類問題學(xué)習(xí)類問題其他類問題深度思考1100600300聯(lián)網(wǎng)搜索12001500300兼用150025001000假設(shè)每個(gè)用戶的每個(gè)問題的模式選擇與問題類別均相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)在樣本中隨機(jī)抽取一個(gè)問題，求該問題的處理模式是“兼用”模式的概率．(2)在使用“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式處理的所有問題中隨機(jī)選取2個(gè)，估計(jì)生活類問題個(gè)數(shù)不超過學(xué)習(xí)類問題個(gè)數(shù)的概率．(3)不同模式處理問題的時(shí)間可以大致分為三組：，，（單位：秒）．在網(wǎng)絡(luò)正常的時(shí)候，使用三種模式處理用戶問題所需時(shí)間比例統(tǒng)計(jì)如下圖所示．假設(shè)小明已經(jīng)使用該AI大模型的同一種模式解決了兩個(gè)問題，其中一個(gè)問題的處理時(shí)間，另一個(gè)問題的處理時(shí)間．若不考慮其他因素干擾，判斷小明在解決這兩個(gè)問題時(shí)最有可能使用的是哪種模式．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)；(2)；(3)小明使用兼用模式的概率最大．【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)，應(yīng)用頻率估計(jì)概率即可；（2）根據(jù)不同方法，綜合應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件加法及對(duì)立事件的概率求法求概率；（3）法一：分別求出不同模式的對(duì)應(yīng)概率，比較大小，即可得結(jié)論；法二：記事件：“小明處理兩個(gè)問題，其中一個(gè)用時(shí)在，另一個(gè)用時(shí)在”；事件分別表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用聯(lián)網(wǎng)搜索模式”，“小明使用兼用模式”，依次求出，比較大小得結(jié)論.【詳解】（1）由表，樣本數(shù)量為10000，問題處理模式是“兼用”模式的樣本數(shù)量為．在樣本中隨機(jī)抽取一個(gè)問題，設(shè)事件：“該問題的處理模式是‘兼用’”，則；（2）在使用“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式處理的所有問題中隨機(jī)選取1個(gè)，該問題是生活類問題的概率估計(jì)為，是學(xué)習(xí)類問題的概率估計(jì)為，是其他類問題的概率估計(jì)為．在使用“聯(lián)網(wǎng)搜索”模式處理的所有問題中隨機(jī)選取2個(gè)，設(shè)事件：“生活類問題的個(gè)數(shù)不超過學(xué)習(xí)類問題的個(gè)數(shù)”方法1：事件包含兩種情況：①0個(gè)生活類問題和2個(gè)非生活類問題；②1個(gè)生活類問題，1個(gè)學(xué)習(xí)類問題，0個(gè)其他類問題，所以．方法2：事件包含兩種情況：①0個(gè)生活類問題和0個(gè)學(xué)習(xí)類問題，2個(gè)其他類問題；②0個(gè)生活類問題和1個(gè)學(xué)習(xí)類問題，1個(gè)其他類問題；③0個(gè)生活類問題和2個(gè)學(xué)習(xí)類問題，0個(gè)其他類問題；④1個(gè)生活類問題，1個(gè)學(xué)習(xí)類問題，0個(gè)其他類問題，；方法3：事件包含兩種情況：①2個(gè)生活類問題和0個(gè)非生活類問題；②1個(gè)生活類問題，0個(gè)學(xué)習(xí)類問題，1個(gè)其他類問題，；（3）法一：由圖可知，用深度思考模式處理兩個(gè)問題分別用時(shí)在和的概率為；用聯(lián)網(wǎng)搜索模式處理兩個(gè)問題分別用時(shí)在和的概率為；用兼用模式處理兩個(gè)問題分別用時(shí)在和的概率為．所以用兼用模式處理兩個(gè)問題分別用時(shí)在和的概率最大，故小明最有可能使用