2025年今年立體幾何真題及答案

一、單項選擇題1.一個正方體的棱長為\(a\)，則該正方體的體對角線長為（）A.\(\sqrt{2}a\)B.\(\sqrt{3}a\)C.\(2a\)D.\(3a\)答案：B2.若一個圓錐的底面半徑為\(r=3\)，高為\(h=4\)，則該圓錐的側面積為（）A.\(15\pi\)B.\(12\pi\)C.\(20\pi\)D.\(30\pi\)答案：A3.已知直線\(l\)垂直于平面\(\alpha\)，直線\(m\subset\alpha\)，則直線\(l\)與\(m\)的位置關系是（）A.平行B.相交C.異面D.垂直答案：D4.兩個平行平面間的距離處處（）A.不相等B.相等C.不確定D.以上都不對答案：B5.一個圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱與球的體積之比為（）A.\(3:2\)B.\(2:3\)C.\(1:1\)D.\(4:3\)答案：A6.若空間中三條直線\(a\)，\(b\)，\(c\)滿足\(a\parallelb\)，\(b\perpc\)，則直線\(a\)與\(c\)的位置關系是（）A.平行B.相交C.垂直D.異面答案：C7.三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，側棱\(AA_{1}\perp\)底面\(ABC\)，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC=AA_{1}=1\)，則異面直線\(BC_{1}\)與\(AC\)所成角的余弦值為（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)D.\(\frac{\sqrt{6}}{6}\)答案：C8.已知一個正四棱錐的底面邊長為\(2\)，側棱長為\(\sqrt{5}\)，則該正四棱錐的高為（）A.\(1\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\)答案：A9.平面\(\alpha\)與平面\(\beta\)相交，直線\(a\subset\alpha\)，則直線\(a\)與平面\(\beta\)的位置關系是（）A.平行B.相交C.直線\(a\)在平面\(\beta\)內D.直線\(a\)與平面\(\beta\)相交或直線\(a\)在平面\(\beta\)內答案：D10.一個球的表面積為\(16\pi\)，則該球的體積為（）A.\(\frac{32\pi}{3}\)B.\(\frac{16\pi}{3}\)C.\(\frac{4\pi}{3}\)D.\(\frac{8\pi}{3}\)答案：A二、多項選擇題1.下列說法正確的是（）A.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形B.棱錐的側面都是三角形C.棱臺的上下底面是相似多邊形D.圓柱的任意兩條母線互相平行答案：BCD2.以下關于空間中直線與平面的位置關系描述正確的是（）A.直線\(l\)平行于平面\(\alpha\)內的無數條直線，則\(l\parallel\alpha\)B.直線\(l\)在平面\(\alpha\)外，則\(l\parallel\alpha\)C.直線\(l\)與平面\(\alpha\)平行，則\(l\)與平面\(\alpha\)內的任意一條直線都沒有公共點D.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)相交，則平面\(\alpha\)內存在無數條直線與直線\(l\)垂直答案：CD3.正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，下列說法正確的是（）A.\(A_{1}C_{1}\parallel\)平面\(ABCD\)B.\(BD_{1}\perp\)平面\(A_{1}C_{1}B\)C.直線\(A_{1}B\)與平面\(ABCD\)所成角為\(45^{\circ}\)D.平面\(A_{1}BD\parallel\)平面\(CB_{1}D_{1}\)答案：ABCD4.下列幾何體中，其正視圖、側視圖、俯視圖相同的是（）A.球B.正方體C.圓錐D.圓柱答案：AB5.已知圓錐的底面半徑為\(r\)，母線長為\(l\)，則圓錐的（）A.側面積為\(\pirl\)B.全面積為\(\pirl+\pir^{2}\)C.體積為\(\frac{1}{3}\pir^{2}h\)（\(h\)為圓錐的高）D.高\(h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}\)答案：ABCD6.對于兩條異面直線\(a\)，\(b\)，下列說法正確的是（）A.存在平面\(\alpha\)，使得\(a\subset\alpha\)，\(b\parallel\alpha\)B.存在平面\(\alpha\)，使得\(a\perp\alpha\)，\(b\perp\alpha\)C.存在直線\(c\)，使得\(a\parallelc\)，\(b\parallelc\)D.存在直線\(c\)，使得\(a\perpc\)，\(b\perpc\)答案：AD7.一個正方體的內切球和外接球的半徑之比為（）A.\(1:\sqrt{3}\)B.\(\sqrt{3}:3\)C.\(1:\sqrt{2}\)D.\(\sqrt{2}:2\)答案：AB8.下列命題中正確的是（）A.如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合B.若直線\(l\)上有無數個點不在平面\(\alpha\)內，則\(l\parallel\alpha\)C.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)平行，則\(l\)與平面\(\alpha\)內的任意一條直線都沒有公共點D.若兩個平面平行，則其中一個平面內的直線與另一個平面平行答案：CD9.三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，則三棱錐\(P-ABC\)的四個面中直角三角形的個數為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：D10.以下哪些是判斷直線與平面垂直的方法（）A.如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個平面垂直B.如果一條直線與一個平面內的任意一條直線都垂直，則這條直線與這個平面垂直C.如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面D.如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則它也垂直于另一個平面答案：ABCD三、判斷題1.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱。（×）2.圓錐的軸截面是等腰三角形。（√）3.若直線\(a\)平行于平面\(\alpha\)內的一條直線，則\(a\parallel\alpha\)。（×）4.兩個平面垂直，過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面。（√）5.球的體積公式是\(V=\frac{4}{3}\piR^{3}\)（\(R\)為球的半徑）。（√）6.一條直線與一個平面所成角的范圍是\([0^{\circ},90^{\circ}]\)。（√）7.正方體的體對角線與面對角線一定不垂直。（×）8.若兩個平面平行，則其中一個平面內的直線與另一個平面內的直線一定平行。（×）9.正三棱柱的底面是正三角形，側面都是正方形。（×）10.棱臺的側棱延長后必交于一點。（√）四、簡答題1.簡述棱柱的定義及分類。答案：棱柱是有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的多面體。按底面多邊形的邊數分類，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等；按側棱與底面是否垂直，可分為直棱柱和斜棱柱，直棱柱中底面是正多邊形的又稱為正棱柱。2.求異面直線所成角的一般步驟是什么？答案：首先，通過平移其中一條直線或兩條直線，使其相交，將異面直線所成角轉化為相交直線所成角；其次，在相交直線所構成的三角形中，利用已知條件，通過解三角形的方法求出該角的大?。蛔詈?，若求出的角是鈍角，則異面直線所成角應為其補角，因為異面直線所成角的范圍是\((0^{\circ},90^{\circ}]\)。3.如何判斷兩個平面平行？答案：判斷兩個平面平行的方法有：一是如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；二是如果兩個平面都垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行；三是如果兩個平面與第三個平面相交，所得的兩條交線平行，那么這兩個平面平行。4.簡述圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式推導過程。答案：圓柱側面積推導：將圓柱側面沿母線展開得矩形，矩形一邊長為底面圓周長\(2\pir\)，另一邊長為母線長\(l\)，所以側面積\(S_{圓柱側}=2\pirl\)。圓錐側面積推導：把圓錐側面展開是扇形，扇形弧長為底面圓周長\(2\pir\)，半徑為母線長\(l\)，根據扇形面積公式得\(S_{圓錐側}=\pirl\)。圓臺側面積推導：可看作大圓錐側面積減去小圓錐側面積，展開圖是扇環(huán)，經計算得\(S_{圓臺側}=\pi(r+R)l\)，其中\(zhòng)(r\)、\(R\)分別為上下底面半徑，\(l\)為母線長。五、討論題1.在正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，探討直線\(A_{1}C\)與平面\(BDC_{1}\)的位置關系，并說明理由。答案：直線\(A_{1}C\perp\)平面\(BDC_{1}\)。理由如下：連接\(AC\)，因為正方體中\(zhòng)(AC\perpBD\)，\(CC_{1}\perp\)平面\(ABCD\)，\(BD\subset\)平面\(ABCD\)，所以\(CC_{1}\perpBD\)，又\(AC\capCC_{1}=C\)，則\(BD\perp\)平面\(ACC_{1}A_{1}\)，\(A_{1}C\subset\)平面\(ACC_{1}A_{1}\)，所以\(BD\perpA_{1}C\)。同理可證\(BC_{1}\perpA_{1}C\)，\(BD\capBC_{1}=B\)，所以\(A_{1}C\perp\)平面\(BDC_{1}\)。2.已知一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且長度分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，討論如何求該三棱錐的外接球半徑。答案：把三棱錐補成長方體，長方體的外接球就是三棱錐的外接球。因為長方體的體對角線就是外接球的直徑\(2R\)。根據長方體體對角線公式，體對角線長\(l=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)，即\(2R=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)，所以外接球半徑\(R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}\)。通過這種補形的方法，可以將復雜的三棱錐外接球問題轉化為熟悉的長方體的外接球問題求解。3.討論如何利用空間向量求二面角的大小。答案：首先建立合適的空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量\(\overrightarrow{n_{1}}\)，\(\overrightarrow{n_{2}}\)。設二面角為\(\theta\)，二面角大小與兩平面法向量夾角相等或互補。通過計算法向量夾角的余弦值\(\cos\langle\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\rangle=\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}|\times|\overrightarrow{n_{2}}|}\)。然后根據圖形判斷二面角是銳角還是鈍角，若二面角為銳角，則\(\theta=\langle\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\rangle\)；若為鈍角，則\(\theta=\pi-\langle\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\rangle\)。4.在圓柱中，底面半徑為\(r\)，高為\(h\)，討論圓柱內接正三棱柱體積的最大值情況。答案：設圓柱內接正三棱柱底面正三角形邊長為\(a\)。底面正三角形外接圓半徑\(R\)與邊長關系為\(R=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)，又圓柱底面半徑\(r\)等于正三角形外接圓半徑\(R\