高考數(shù)學(xué)函數(shù)專題全套復(fù)習(xí)資料一、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)（一）函數(shù)的定義函數(shù)是數(shù)學(xué)中刻畫變量之間依賴關(guān)系的基本概念。設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x稱為自變量，x的取值范圍A稱為函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值稱為函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}稱為函數(shù)的值域。理解函數(shù)的定義，關(guān)鍵在于把握“兩個(gè)非空”（A、B為非空數(shù)集）、“一個(gè)對(duì)應(yīng)”（確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f）和“三個(gè)特性”（非空性、確定性、唯一性）。這里的“唯一性”尤為重要，即對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，這是判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的核心標(biāo)準(zhǔn)。（二）函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。在這三者中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是起決定性作用的，因?yàn)橹涤蛴啥x域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同確定。兩個(gè)函數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致。1.定義域的求解：定義域是函數(shù)的“靈魂”，研究函數(shù)必須首先考慮定義域。常見(jiàn)的限制條件有：分式的分母不為零；偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；零次冪的底數(shù)不為零；實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值要符合實(shí)際意義等。求解時(shí)需列不等式（組）求解，并注意各條件的交集。2.對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示：函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系常用解析式、圖像、表格三種形式表示。解析式是最常用的形式，理解解析式的結(jié)構(gòu)特征是解決函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)。3.值域的求解：值域是函數(shù)值的集合。求值域的方法靈活多樣，常見(jiàn)的有：觀察法（適用于簡(jiǎn)單函數(shù)）、配方法（適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)）、換元法（代數(shù)換元或三角換元）、單調(diào)性法（利用函數(shù)的單調(diào)性）、基本不等式法（注意“一正二定三相等”）、判別式法（適用于可化為關(guān)于x的二次方程的分式函數(shù)或無(wú)理函數(shù)）、圖像法（結(jié)合函數(shù)圖像直觀得出）等。（三）函數(shù)的基本性質(zhì)1.單調(diào)性：*定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。*判定方法：定義法（取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論）；導(dǎo)數(shù)法（若f'(x)>0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；若f'(x)<0，則為減函數(shù)）；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則（同增異減）；圖像法。*幾何意義：函數(shù)圖像在單調(diào)遞增區(qū)間上從左到右是上升的，在單調(diào)遞減區(qū)間上從左到右是下降的。2.奇偶性：*定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。*判定方法：首先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（這是前提，若不對(duì)稱，則函數(shù)非奇非偶），然后驗(yàn)證f(-x)與f(x)的關(guān)系。*幾何意義：偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。*性質(zhì)：奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義時(shí)，f(0)=0；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。3.周期性：*定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。*常見(jiàn)結(jié)論：若f(x+T)=f(x)，則kT（k∈Z，k≠0）也是周期；若f(x+a)=f(x+b)，則|a-b|是周期；若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1/f(x)（f(x)≠0），則2|a|是周期。4.對(duì)稱性：除了奇偶性所反映的對(duì)稱性，函數(shù)還可能關(guān)于某條直線x=a對(duì)稱（f(2a-x)=f(x)）或關(guān)于某點(diǎn)(a,b)對(duì)稱（f(2a-x)+f(x)=2b）。這些對(duì)稱性在解題中常用來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算或判斷函數(shù)圖像特征。二、基本初等函數(shù)（一）一次函數(shù)與二次函數(shù)1.一次函數(shù)：y=kx+b（k≠0）。圖像是一條直線，k為斜率，b為縱截距。當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。2.二次函數(shù)：*解析式：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）；頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a≠0），其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)；零點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x?)(x-x?)（a≠0），其中x?,x?是函數(shù)的零點(diǎn)。*圖像與性質(zhì)：圖像是拋物線，開(kāi)口方向由a決定（a>0開(kāi)口向上，a<0開(kāi)口向下）。對(duì)稱軸為x=-b/(2a)（頂點(diǎn)式中為x=h）。頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在(-∞,-b/(2a)]上單調(diào)遞減，在[-b/(2a),+∞)上單調(diào)遞增，有最小值(4ac-b2)/(4a)；當(dāng)a<0時(shí)，單調(diào)性相反，有最大值。*根的分布：結(jié)合二次函數(shù)圖像，利用判別式、韋達(dá)定理以及端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)來(lái)討論一元二次方程根的位置問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)。（二）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)：y=a?（a>0且a≠1）。*圖像與性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+∞)。圖像恒過(guò)點(diǎn)(0,1)。當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減。*運(yùn)算性質(zhì)：a?·a?=a???；a?/a?=a???；(a?)?=a??；(ab)?=a?b?。2.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=log?x（a>0且a≠1），是指數(shù)函數(shù)y=a?的反函數(shù)。*圖像與性質(zhì)：定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽。圖像恒過(guò)點(diǎn)(1,0)。當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。*運(yùn)算性質(zhì)：log?(MN)=log?M+log?N；log?(M/N)=log?M-log?N；log?M?=nlog?M；換底公式log?b=log_cb/log_ca（c>0且c≠1）。常用結(jié)論：log?b·log_ba=1；log??b?=(m/n)log?b。（三）冪函數(shù)冪函數(shù)：y=x?（α為常數(shù)）。*圖像與性質(zhì)：常見(jiàn)的冪函數(shù)有y=x，y=x2，y=x3，y=x^(1/2)，y=x?1等。要掌握它們?cè)诘谝幌笙薜膱D像特征和性質(zhì)（定義域、奇偶性、單調(diào)性）。冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)與指數(shù)α的取值密切相關(guān)，應(yīng)注意分類討論。（四）三角函數(shù)1.任意角的三角函數(shù)：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（除原點(diǎn)外）的坐標(biāo)為(x,y)，它與原點(diǎn)的距離為r(r>0)，則sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（x≠0）。2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系：sin2α+cos2α=1；tanα=sinα/cosα。3.誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限。主要用于將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值。4.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：*正弦函數(shù)y=sinx：定義域R，值域[-1,1]，周期2π，奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-π/2,2kπ+π/2]，單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]（k∈Z）。*余弦函數(shù)y=cosx：定義域R，值域[-1,1]，周期2π，偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-π,2kπ]，單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ,2kπ+π]（k∈Z）。*正切函數(shù)y=tanx：定義域{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域R，周期π，奇函數(shù)，在每個(gè)區(qū)間(kπ-π/2,kπ+π/2)（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞增。5.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B（A>0,ω>0）的圖像與性質(zhì)：*圖像變換：由y=sinx通過(guò)平移、伸縮變換得到。*性質(zhì)：振幅A，周期T=2π/ω，頻率f=1/T=ω/(2π)，相位ωx+φ，初相φ。值域[B-A,B+A]。單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心可通過(guò)整體代換法求解。6.三角恒等變換：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，降冪公式，輔助角公式（asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+φ)）等，是解決三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、證明問(wèn)題的基礎(chǔ)。7.解三角形：正弦定理（a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R）、余弦定理（a2=b2+c2-2bccosA等）及其應(yīng)用，用于解決三角形中的邊、角關(guān)系問(wèn)題。三、函數(shù)的圖像函數(shù)圖像是函數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問(wèn)題的重要思想方法。（一）作圖1.描點(diǎn)法：列表、描點(diǎn)、連線。適用于簡(jiǎn)單函數(shù)或需要精確繪制的函數(shù)。2.圖像變換法：*平移變換：y=f(x)→y=f(x+a)（左加右減）；y=f(x)→y=f(x)+b（上加下減）。*伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx)（ω>0，橫坐標(biāo)伸縮為原來(lái)的1/ω倍）；y=f(x)→y=Af(x)（A>0，縱坐標(biāo)伸縮為原來(lái)的A倍）。*對(duì)稱變換：y=f(x)→y=-f(x)（關(guān)于x軸對(duì)稱）；y=f(x)→y=f(-x)（關(guān)于y軸對(duì)稱）；y=f(x)→y=-f(-x)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；y=f(x)→y=f(|x|)（保留y軸右側(cè)圖像，左側(cè)為右側(cè)關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像）；y=f(x)→y=|f(x)|（保留x軸上方圖像，下方圖像翻折到x軸上方）。（二）識(shí)圖與用圖1.識(shí)圖：能從函數(shù)圖像中讀取函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、特殊點(diǎn)（零點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)等）等信息。2.用圖：利用函數(shù)圖像解決方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、不等式的解集問(wèn)題、比較大小問(wèn)題、求參數(shù)取值范圍問(wèn)題等。四、函數(shù)與方程、不等式（一）函數(shù)的零點(diǎn)1.定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2.零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。3.二分法：一種求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法，基于零點(diǎn)存在性定理。（二）方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)方程f(x)=g(x)的根即為函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)，也即函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。利用函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以判斷方程根的個(gè)數(shù)。（三）函數(shù)與不等式1.利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，且f(a)<f(b)，則a<b；若單調(diào)遞減，則a>b。2.構(gòu)造函數(shù)證明不等式：將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來(lái)證明不等式成立。五、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（一）導(dǎo)數(shù)的概念1.平均變化率：函數(shù)y=f(x)從x?到x?的平均變化率為[f(x?)-f(x?)]/(x?-x?)。2.導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)y=f(x)在x=x?處的瞬時(shí)變化率，即lim(Δx→0)[f(x?+Δx)-f(x?)]/Δx，記作f'(x?)或y'|?=??。3.導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說(shuō)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為f(x)在I內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作f'(x)或y'。（二）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(C)'=0（C為常數(shù)）；(x?)'=nx??1；(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；(e?)'=e?；(a?)'=a?lna；(lnx)'=1/x；(log?x)'=1/(xlna)。2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)；[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]2（g(x)≠0）。3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=f(g(x))，則y'=f'(g(x))·g'(x)（鏈?zhǔn)椒▌t）。（三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x?處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x?,f(x?))處的切線的斜率。相應(yīng)的切線方程為y-f(x?)=f'(x?)(x-