第六節(jié)差分方程一、差分的概念與性質(zhì)二差分方程的概念

三一階常系數(shù)線性差分方程

1一、差分的概念與性質(zhì)一般地，在連續(xù)變化的時(shí)間的范圍內(nèi)，變量y關(guān)于時(shí)間t的變化率是用來刻畫的.對(duì)離散型的變量y,我們常用在規(guī)定時(shí)間區(qū)間上的差商

來刻畫變量的變化率.，則可以近似表示變量的變化率.由此我們給出差分的定義.如果取2定義1

設(shè)函數(shù)，稱改變量為函數(shù)的差分，也稱為函數(shù)的一階差分，記為，即

或一階差分的差分稱為二階差分，即類似地可定義三階差分，四階差分，等等.3例1.

設(shè)，求解:4二、差分方程的概念定義2

含有未知函數(shù)的差分的方程稱為差分方程.或

差分方程中所含未知函數(shù)差分的最高階數(shù)稱為該差分方程的階.差分方程的一般形式：例，3階5階5定義3

滿足差分方程的函數(shù)稱為該差分方程的解.例如，對(duì)于差分方程將代入方程有故是該方程的解，都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱這個(gè)解是差分方程的通解.易見對(duì)任意的常數(shù)6若差分方程中所含未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階差分均為一次，則稱該差分方程為線性差分方程.其特點(diǎn)是都是一次的.定義4其一般形式為7

三、一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)差分方程的一般方程形式為其中為非零常數(shù)，為已知函數(shù).如果方程變?yōu)榉Q為一階常系數(shù)線性齊次差分方程，時(shí)方程為一階常系數(shù)線性非齊次差分方程.81．一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解代入方程中，得則為方程的解.故方程的通解為

一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解可用迭代法求得.已知，將設(shè)容易驗(yàn)證，對(duì)任意常數(shù)都是方程的解，9例2.

求差分方程的通解.解：利用公式得，題設(shè)方程的通解為一階常系數(shù)線性齊次差分方程通解為102．一階常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解為齊次方程的通解，為非齊次方程的一個(gè)特解，定理設(shè)為非齊次方程的通解.則11（1）為非零常數(shù)方程通解為12例3

求差分方程的通解.，故原方程的通解為解：由于13練習(xí)求差分方程的通解.，故原方程的通解為解：由于14（2）（為非零常數(shù)且）.方程通解為15例4

求差分方程在初始條件時(shí)的特解.利用公式，所求通解為將初始條件代入上式，得故所求題設(shè)方程的特解為解：這里16練習(xí)求差分方程在初始條件時(shí)的特解.利用公式，所求通解為將初始條件代入上式，得故所求題設(shè)方程的特解為解：這里17（3）（為非零常數(shù)且為正整數(shù)）.為特解，設(shè)特解為時(shí)，設(shè)當(dāng)將其代入方程,其中為待定系數(shù).求出待定系數(shù)的值就得到方程的特解.當(dāng)時(shí)，18例5

求差分方程的通解.利用公式，對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為解:

這里因，且故特解為將它代入方程得故原方程通解為19練習(xí)求差分方程的通解.利用公式，對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為解:

這里因，且故特解為將它代