第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年湖南省益陽一中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=2i1?i，則復(fù)數(shù)z的模為(

)A.2 B.2 C.1 D.2.關(guān)于向量a，b，下列命題中，正確的是(

)A.若|a|=|b|，則a=b B.若a//b，b//c，則a//c3.已知sin(θ+π6)=2cosθ，則A.33 B.3 C.?4.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的50個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將50個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為01，02，…，50.從中抽取6個(gè)樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行：

66?67?40?37?14?64?05?71?11?05?65?09?95?86?68?76?83?20?37?90

57?16?03?11?63?14?90?84?45?21?75?73?88?05?90?52?23?59?43?10

若從表中第1行第6列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是(

)A.57 B.50 C.40 D.105.已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(1,0,2)，C(1,1,1)，則點(diǎn)A到直線BC的距離是(

)A.1 B.2 C.226.在正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD中點(diǎn)，則直線AN與CM所成角的正弦值為(

)A.53 B.33 C.7.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作直線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，且AB=xAM,AC=yAN，則A.1

B.2

C.4

D.8.小明工作日每天往返于家和公司辦公室，有兩把雨傘用于上下班，如果上班時(shí)天下雨，他將拿一把去辦公室，如果下班時(shí)天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為14，不下雨的概率均為34，且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為(

)A.316 B.15128 C.39128二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.f(x)的最小正周期為π

B.f(x)在[?π2,?π4]上單調(diào)遞減

C.直線x=?11π12為f(x)的一條對(duì)稱軸

D.若f(x+θ)為偶函數(shù)，則θ=kπ2+π12，k∈Z

10.有一組互不相等的數(shù)組成的樣本數(shù)據(jù)x1A.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同11.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1上一點(diǎn)，且B1P=2PBA.若D1Q//平面A1PD，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條長為22的線段

B.不存在點(diǎn)Q，便得D1Q⊥平面A1PD

C.三棱錐Q?A1PD的最大體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知單位向量a，b的夾角為45°，ka?b與a垂直，則k=13.已知正四棱臺(tái)的高為2，上、下底面邊長分別為2和4，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為______．14.直線ax+by?1=0(a>0,b>0)經(jīng)過函數(shù)f(x)=log3(x4?x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知關(guān)于x的方程x2?3ax?3a=0(a∈R)的兩個(gè)虛數(shù)根為x1，x2．

(1)求|x1|的取值范圍；

16.(本小題15分)

△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若acosC+3asinC?b?c=0．

(1)求A的大?。?/p>

(2)若AC邊的中線為BE,BE=17.(本小題15分)

某校高一年級(jí)半期考試測(cè)試后，為了解本次測(cè)試的情況，在整個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，將成績分為[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)在樣本中，采取等比例分層抽樣的方法從成績?cè)赱90,150]內(nèi)的學(xué)生中抽取13名，則成績?cè)赱130,150]的同學(xué)有幾個(gè)？

(2)根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)本次考試的平均分和眾數(shù)；

(3)若年級(jí)計(jì)劃對(duì)本次測(cè)試優(yōu)異的同學(xué)進(jìn)行表彰，且表彰人數(shù)不超過8%，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)獲得表彰的同學(xué)的最低分?jǐn)?shù)．18.(本小題17分)

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD，EF//AD，AD=4，AB=2，BC=EF=2，AF=11，F(xiàn)B⊥平面ABCD，M為AD上一點(diǎn)，且FM⊥AD，連接BD、BE、BM．

(1)證明：BC⊥平面BFM；

(2)求平面19.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義向量OA=(m,n)為函數(shù)f(x)=msinx+ncosx的有序相伴向量．

(1)設(shè)?(x)=2sin(x+π6)(x∈R)，寫出函數(shù)?(x)的有序相伴向量OM；

(2)若f(x)的有序相伴向量為OB=(0,2)，若函數(shù)?(x)=f(x)+|sinx|，x∈[0,2π]，與直線y=k有且僅有二個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)若f(x)的有序相伴向量為OB=(m,0)，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上時(shí)值域?yàn)閇a,b]，則稱區(qū)間[a,b]為函數(shù)的“和諧區(qū)間”.當(dāng)m=?2時(shí)，答案解析1.【答案】B

【解析】解：z=2i1?i=2i(1+i)(1?i)(1+i)=?1+i，

則|z|=(?1)2.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)平面向量的定義以及性質(zhì)，以及向量共線的定義逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)即可．

本題考查平面向量的概念與向量的模，考查向量共線問題，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：選項(xiàng)A，兩個(gè)向量的模相等，但是方向不確定，所以不一定相等，A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，若b=0，則b與任意向量共線，而a與c的方向不確定，B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，兩個(gè)向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，若a=?b，則a/?/b，3.【答案】C

【解析】解：若sin(θ+π6)=2cosθ，可得32sinθ+12cosθ=2cosθ，

化簡得32sinθ?324.【答案】B

【解析】解：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6個(gè)數(shù)字開始向右每次連續(xù)讀取2個(gè)數(shù)字，刪除超出范圍及重復(fù)的編號(hào)，

符合條件的編號(hào)有03，46，40，11，10，50，

所以得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是50．

故選：B．

利用隨機(jī)數(shù)法的定義，按照題意依次讀出前6個(gè)數(shù)即可．

本題主要考查了隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)A(1,0,0)，B(1,0,2)，C(1,1,1)，

所以BC=OC?OB=(1,1,1)?(1,0,2)=(0,1,?1)，

則與BC?同方向的單位向量為e=(0,22,?22)，

又BA=(0,0,?2)，

所以點(diǎn)A到直線6.【答案】A

【解析】解：由題意正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD中點(diǎn)，

可以把正四面體ABCD放置在一個(gè)正方體中，如圖所示，

因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是棱AB，CD中點(diǎn)，

則在正方體中，M，N分別為上下底面正方形的對(duì)角線EF，CD的中點(diǎn)，

因?yàn)镃D/?/EF，CD=EF，所以CN//ME，CN=ME，

所以四邊形MENC為平行四邊形，所以CM//EN，

則異面直線AN與CM所成角，即為直線AN與NE所成角，

設(shè)正方體的棱長為2，可得AE=2，

在直角△DEN中，可得NE=DE2+DN2=22+(2)2=6，

在直角△AMN中，可得AN=AM2+MN2=(2)2+22=6，7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)镚是AD的中點(diǎn)，且AB=xAM,AC=yAN，

所以AG=12×12(AB+AC)=14(xAM+yAN)．

因?yàn)镸，G，N三點(diǎn)共線，所以148.【答案】C

【解析】解：假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為14，不下雨的概率均為34，

且與過去情況相互獨(dú)立．

“至少有一天淋雨”的對(duì)立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次．

(1)4次均不下雨，概率為(34)4=81256；

(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時(shí)下雨，概率為2×14×(34)3=54256；

(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：

①同一天上下班均下雨；

②兩天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨；

③第一天上班時(shí)下雨，下班時(shí)不下雨，第二天上班時(shí)不下雨，下班時(shí)下雨，

概率為2×(14)2×(34)2+9.【答案】ACD

【解析】解：由題意可得，A=3，T=4(π3?π12)=π，A正確；

所以ω=2，f(x)=3sin(2x+φ)，

又2×π12+φ=π2，則φ=π3，f(x)=3sin(2x+π3)，

當(dāng)?π2≤x≤?π4時(shí)，?2π3≤2x+π3≤?π6，此時(shí)函數(shù)不單調(diào)，B錯(cuò)誤；

因?yàn)?×(?11π12)+π3=?3π210.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于A，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為110(9a+a)=a，與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故A正確，

對(duì)于B，不妨設(shè)x1<x2<???<x9，

則原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x5，

若a<x5，則中位數(shù)為12(max{a,x4}+x5)<x5，

若a>x5，則中位數(shù)為12(x5+min{a,x611.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A，如圖所示，分別在B1C1，CC1取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得C1E=2B1E，C1F=2CF，所以EF/?/B1C，

因?yàn)锳1D/?/B1C，所以EF//A1D，

因?yàn)镋F?平面A1PD，A1D?平面A1PD，所以EF/?/平面A1PD，

又因?yàn)镈1F//A1P，且D1F?平面A1PD，A1P?平面A1PD，所以D1F//平面A1PD，

又因?yàn)镋F∩D1F=F，且EF，D1F?平面DEF，所以平面DEF/?/平面A1PD，

因?yàn)槠矫鍰EF∩平面BCC1B1=EF，

若D1Q//平面A1PD，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為線段EF，且EF=223，故A不正確；

對(duì)于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A1(1,0,0),D(0,0,1),P(1,1,23)，

所以A1D=(?1,0,1),A1P=(0,1,23)，

設(shè)Q(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1)，

可得D1Q=(x,1,z)，

設(shè)平面A1PD的法向量為m=(a,b,c)，

則m⊥A1D，m⊥A1P，

所以m?A1D=?a+c=0m?A1P=b+23c=0，令c=3，得z=3，b=?2，所以m=(3,?2,3)，

若D1Q⊥平面A1PD，則D1Q//m，所以存在實(shí)數(shù)λ∈R，使得D1Q=λm，

則x=z=?32?[0,1]，所以不存在點(diǎn)Q，使得D1Q⊥平面A1PD，故B正確；

對(duì)于C，因?yàn)锳1D=(?1,0,1),A1P=(0,1,23)，所以|A1D|=2,|A1P|=133,A1D?A1P=23，

則cos<A1D,A1P>=A1D?A1P|A1D||A1P|=232×13312.【答案】2【解析】【分析】

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

由已知求得a?b，再由ka?b與a垂直可得(ka?b)?a=0，展開即可求得k值．

【解答】

解：∵向量a，b為單位向量，且a，b的夾角為45°，

∴a?b=|a|?|b|cos45°=1×1×13.【答案】40π

【解析】解：如圖，

設(shè)正四棱臺(tái)上、下底面所在截面圓的半徑為r，R，

因?yàn)樯?、下底面邊長分別為2和4，所以r=2,R=22，

設(shè)球心到上底面距離為d，球體半徑為m，則球心到下底面距離為|2?d|，

所以r2+d2=m2R2+(14.【答案】9

【解析】解：函數(shù)f(x)=log3(x4?x)?2x?2+x?1，

由x4?x>0x?2≠0，解得0<x<4且x≠2，

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)∪(2,4)，

因?yàn)閒(x)+f(4?x)=log3(x4?x)?2x?2+x?1+log3(4?xx)?22?x+4?x?1

=log3(x4?x)+log3(4?xx)?2x?2+2x?2+2=2，

所以函數(shù)15.【答案】(0,2)；

?2±【解析】(1)由題意知，Δ=9a2+12a<0，解得：?43<a<0，

x1+x2=3a，x1x2=?3a，

所以|x1|=|x1|2=x1x1?=x1x2=?3a，

又因?yàn)?43<a<0，所以0<?3a<4，

所以0<?3a<2，即：0<|x1|<2．

所以|x1|的取值范圍為(0,2)．

(2)由16.【答案】A=π3；

3【解析】(1)因?yàn)閍cosC+3asinC?b?c=0，

可得sinAcosC+3sinAsinC?sinB?sinC=0，

可得sinAcosC+3sinAsinC?sin(A+C)?sinC=0，

可得3sinAsinC?cosAsinC?sinC=0，

又sinC≠0，

可得3sinA?cosA=1，

可得sin(A?π6)=12，

由A∈(0,π)，可得A?π6=π6，即A=π3；

(2)在△ABE中，BE2=AB2+AE2?2AB?AE?cosA，

17.【答案】2；

眾數(shù)為：100，平均數(shù)為98；

134分．

【解析】(1)根據(jù)題意可知，(0.0025+0.005×2+0.01+a+0.015)×20=1，故a=0.0125，

采取分層抽樣：[130,150]的同學(xué)個(gè)數(shù)為：0.0050.005+0.015+0.0125×13=2；

(2)根據(jù)題意可知，眾數(shù)為：100；

平均數(shù)為：40×0.05+60×0.1+80×0.2+100×0.3+120×0.25+140×0.1=98；

(3)由于成績?cè)赱130,150]的頻率為0.1，

故最低分?jǐn)?shù)預(yù)計(jì)為：130+0.1?0.080.1×20=134；

即估計(jì)獲得表彰的同學(xué)的最低分?jǐn)?shù)為134分．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求出參數(shù)，根據(jù)分層抽樣的規(guī)則，計(jì)算抽取人數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均分和眾數(shù)的方法，計(jì)算總體的平均數(shù)和眾數(shù)；

(3)18.【答案】解：(1)證明：因?yàn)镕B⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以FB⊥AD．

又FM⊥AD，且FB∩FM=F，所以AD⊥平面BFM．

因?yàn)锽C//AD，所以BC⊥平面BFM．(2)如圖，過點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，則FM//EN．

又EF//AD，所以四邊形FMNE是平行四邊形，

又EN⊥AD，所以四邊形FMNE

是

矩形，

又四邊形ADEF為等腰梯形，且AD=4，EF=2，所以AM=1．由(1)知AD⊥平面BFM，所以BM⊥AD．

又AB=2，所以BM=1．

在Rt△AFM中，在Rt?FMB中，∴FB=由上述可知，BM，BC，BF兩兩垂直，以BM，BC，BF所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(?1,?1,0)，B(0,0,0)，F(xiàn)(0,0,3)，D(?1,3,0)，E(0,2,3)，

所以AB=(1,1,0)，BF=(0,0,3)，BD=(?1,3,0)，BE=(0,2,3)，

設(shè)平面由m?AB=0m?設(shè)平面BDE的法向量為n=由n?BD=0n?因此，cosm依題意可知，平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值為3

【解析】本題考查線面垂直的判定及性質(zhì)，利用空間向量法求二面角，屬于中檔題．

(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；(2)過點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，根據(jù)平行四邊形和矩形的判定定理，結(jié)合(1)的結(jié)論，因此可以以BM，BC，BF所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可．19.【答案】OM=(3,1)；

k∈(?2,2)∪{5}；

【解析】(1)因?yàn)?(x)=2sin(x+π6)=2(32sinx+12cosx)=3sinx+cosx，

所以函數(shù)?(x)的有序相伴向量OM=(3,1)；

(2)若f(x)的有序相伴向量為OB=(0,2)，則f(x)=2cosx，

所以?(