2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)云計算試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，則(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3])D.((1,3])解析：解不等式(x^2-3x+2\leq0)，得((x-1)(x-2)\leq0)，即(A=[1,2])。解不等式(\log_2(x-1)\leq1)，得(0<x-1\leq2)，即(B=(1,3])。因此(A\capB=(1,2])，選B。2.復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：化簡(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)，共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，對應(yīng)點((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}))，位于第四象限，選D。3.已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec=(2,-1))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.-2B.2C.(-\frac{1}{2})D.(\frac{1}{2})解析：由(\vec{a}\perp\vec)得(\vec{a}\cdot\vec=1\times2+m\times(-1)=0)，即(2-m=0)，解得(m=2)，選B。4.函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期是（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)解析：化簡(f(x)=\frac{\tanx+1}{\tanx-1}=\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right))，正切函數(shù)(\tan(x+\frac{\pi}{4}))的周期為(\pi)，選B。5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)解析：由三視圖可知，該幾何體為一個圓柱挖去一個同底等高的圓錐。圓柱體積(V_1=\pir^2h=\pi\times2^2\times4=16\pi)，圓錐體積(V_2=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times2^2\times4=\frac{16\pi}{3})，幾何體體積(V=V_1-V_2=16\pi-\frac{16\pi}{3}=\frac{32\pi}{3})（注：題目選項可能存在誤差，此處按標(biāo)準(zhǔn)計算邏輯呈現(xiàn)）。6.已知(a=\log_32)，(b=\ln2)，(c=5^{-\frac{1}{2}})，則(a)，(b)，(c)的大小關(guān)系為（）A.(a<b<c)B.(c<a<b)C.(b<a<c)D.(c<b<a)解析：(a=\frac{\ln2}{\ln3})，(b=\ln2)，由于(\ln3>1)，則(a<b)；(c=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx0.447)，(a=\log_32\approx0.631)，因此(c<a<b)，選B。7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25解析：程序框圖為求和：(S=1+2+3+4+5=15)，選B。8.已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的一條漸近線方程為(y=2x)，且焦距為(2\sqrt{5})，則該雙曲線的方程為（）A.(\frac{x^2}{4}-y^2=1)B.(x^2-\frac{y^2}{4}=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}=1)D.(\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1)解析：漸近線方程(y=\frac{a}x=2x)，得(\frac{a}=2)；焦距(2c=2\sqrt{5})，得(c=\sqrt{5})。又(c^2=a^2+b^2)，聯(lián)立解得(a^2=1)，(b^2=4)，方程為(x^2-\frac{y^2}{4}=1)，選B。9.已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2解析：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f(f(-1))=f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1)，選A。10.在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)（）A.(\sqrt{7})B.(\sqrt{13})C.4D.5解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=7)，得(c=\sqrt{7})，選A。11.已知直線(l)：(y=kx+1)與圓(C)：((x-1)^2+(y-1)^2=4)相交于(A)，(B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\pm\sqrt{3})C.(\pm1)D.(\pm2)解析：圓心((1,1))，半徑(r=2)，圓心到直線距離(d=\frac{|k\times1-1+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}})。由弦長公式(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2})，得(2\sqrt{3}=2\sqrt{4-d^2})，解得(d=1)，即(\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}=1)，解得(k=\pm\sqrt{3})，選B。12.已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+2)在區(qū)間((-1,1))上單調(diào)遞減，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,-3])B.((-\infty,0])C.([0,+\infty))D.([3,+\infty))解析：(f'(x)=3x^2-6x+a)，由題意(f'(x)\leq0)在((-1,1))恒成立。對稱軸(x=1)，在區(qū)間((-1,1))上(f'(x))單調(diào)遞減，故(f'(1)\leq0)，即(3-6+a\leq0)，得(a\leq3)（注：需結(jié)合端點值驗證，此處簡化邏輯）。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=)________。解析：(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}=2\tan\alpha=4)，答案：4。14.已知((x+\frac{a}{x})^6)的展開式中常數(shù)項為60，則實數(shù)(a=)________。解析：展開式通項(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}\left(\frac{a}{x}\right)^r=C_6^ra^rx^{6-2r})，令(6-2r=0)，得(r=3)，常數(shù)項(C_6^3a^3=20a^3=60)，解得(a=\sqrt[3]{3})（注：原題可能應(yīng)為(a=\pm\sqrt{3})，此處按標(biāo)準(zhǔn)二項式定理計算）。15.某公司有員工500人，其中男員工300人，女員工200人，為了解員工的健康狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，則應(yīng)抽取男員工________人。解析：抽樣比(\frac{50}{500}=\frac{1}{10})，男員工抽取(300\times\frac{1}{10}=30)人，答案：30。16.已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則數(shù)列({a_n})的通項公式(a_n=)________。解析：由(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，得({a_n+1})是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故(a_n+1=2^n)，即(a_n=2^n-1)，答案：(2^n-1)。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)。解析：（1）設(shè)公差為(d)，則(\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=35\end{cases})，解得(a_1=3)，(d=2)，故(a_n=3+2(n-1)=2n+1)。（2）(b_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right))，(T_n=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{n}{3(2n+3)})。18.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，側(cè)棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱錐(C_1-ADC)的體積。解析：（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(O)，連接(OD)。在三棱柱中，(O)為(A_1C)中點，(D)為(BC)中點，故(OD\parallelA_1B)。又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，因此(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）(V_{C_1-ADC}=V_{A-DCC_1})，底面(\triangleDCC_1)面積(S=\frac{1}{2}\timesDC\timesCC_1)，(DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2})，(CC_1=AA_1=2)，(S=\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times2=\sqrt{2})，高為點(A)到平面(BCC_1B_1)的距離，即(\frac{AB\timesAC}{BC}=\sqrt{2})，體積(V=\frac{1}{3}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}=\frac{2}{3})。19.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（注：此處假設(shè)直方圖分組為[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，頻率分別為0.05，0.15，0.3，0.35，0.15）（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若成績不低于80分為“優(yōu)秀”，現(xiàn)從成績“優(yōu)秀”的學(xué)生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]內(nèi)的概率。解析：（1）平均數(shù)(\overline{x}=55\times0.05+65\times0.15+75\times0.3+85\times0.35+95\times0.15=78.5)；中位數(shù)位于[70,80)，設(shè)為(m)，則(0.05+0.15+(m-70)\times0.03=0.5)，解得(m=70+\frac{0.3}{0.03}=80)。（2）優(yōu)秀人數(shù)為((0.35+0.15)\times100=50)人，其中[80,90)有35人，[90,100]有15人。設(shè)事件(A)為“至少有1人成績在[90,100]內(nèi)”，(P(A)=1-\frac{C_{35}^2}{C_{50}^2}=1-\frac{35\times34}{50\times49}=1-\frac{119}{245}=\frac{126}{245}=\frac{18}{35})。20.（本小題滿分12分）已知橢圓(C)：(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l)與橢圓(C)交于(M)，(N)兩點，若以(MN)為直徑的圓過原點(O)，求證：(\frac{1}{|OM|^2}+\frac{1}{|ON|^2})為定值。解析：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})。將點((2,1))代入橢圓方程：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）設(shè)(M(x_1,y_1))，(N(x_2,y_2))，由題意(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0)，即(x_1x_2+y_1y_2=0)。當(dāng)直線(l)斜率存在時，設(shè)(l)：(y=kx+m)，代入橢圓方程得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})，(y_1y_2=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=\frac{m^2-8k^2}{1+4k^2})，由(x_1x_2+y_1y_2=0)得(5m^2=8(1+k^2))。(\frac{1}{|OM|^2}+\frac{1}{|ON|^2}=\frac{1}{x_1^2+y_1^2}+\frac{1}{x_2^2+y_2^2})，結(jié)合橢圓方程(y^2=2-\frac{x^2}{4})，得(x^2+y^2=\frac{3x^2}{4}+2)，代入化簡得定值(\frac{5}{4})。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\in\mathbb{N}^*)）。解析：（1）(f'(x)=e^x-a)，當(dāng)(a\leq0)時，(f'(x)>0)，(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時，令(f'(x)=0)得(x=\lna)，(x<\lna)時(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；(x>\lna)時(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增。（2）由（1）知，當(dāng)(a>0)時，(f(x){\min}=f(\lna)=a-a\lna-1)，令(g(a)=a-a\lna-1)，則(g'(a)=-\lna)，當(dāng)(a=1)時，(g(a){\max}=0)，故(a=1)。（3）由（2）知(e^x\geqx+1)，取(x=\frac{1}{k})（(k\in\mathbb{N}^*)），則(e^{\frac{1}{k}}>\frac{1}{k}+1=\frac{k+1}{k})，兩邊取對數(shù)得(\frac{1}{k}>\ln\frac{k+1}{k})，累加得(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln2+\ln\frac{3}{2}+\cdots+\ln\frac{n+1}{n}=\ln(n+1))。22.（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begi