函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力的關(guān)鍵載體。然而，由于其抽象性和概括性，函數(shù)概念的教學(xué)往往是教學(xué)的難點(diǎn)。傳統(tǒng)教學(xué)中，過(guò)于強(qiáng)調(diào)定義的記憶和符號(hào)的運(yùn)算，容易使學(xué)生陷入機(jī)械學(xué)習(xí)的困境，難以真正理解函數(shù)的本質(zhì)。本文旨在通過(guò)一個(gè)具體的教學(xué)案例，并輔以精心設(shè)計(jì)的學(xué)生活動(dòng)，探討如何引導(dǎo)學(xué)生從具體情境出發(fā)，逐步抽象概括，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)概念的深度理解和靈活應(yīng)用。一、函數(shù)概念教學(xué)案例：從“變化”中感知“對(duì)應(yīng)”（一）情境創(chuàng)設(shè)與問(wèn)題提出師：同學(xué)們，我們生活在一個(gè)不斷變化的世界中。比如，每天的氣溫會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化；我們騎自行車(chē)上學(xué)，行駛的路程會(huì)隨著時(shí)間的增加而變長(zhǎng)；再比如，我們?nèi)ド痰曩I(mǎi)東西，所付的錢(qián)數(shù)會(huì)隨著購(gòu)買(mǎi)商品的數(shù)量而變化。大家還能舉出一些生活中類(lèi)似的“一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化”的例子嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考，舉例，如身高與年齡、電費(fèi)與用電量等）師：非常好！這些例子都反映了生活中普遍存在的“變化”現(xiàn)象。在這些變化的現(xiàn)象中，我們常常關(guān)注兩個(gè)量之間的關(guān)系。例如，在“路程隨著時(shí)間變化”這個(gè)例子中，我們關(guān)注的是“路程”和“時(shí)間”這兩個(gè)量。如果我們用字母來(lái)表示這些變化的量，比如用\(t\)表示時(shí)間，用\(s\)表示路程，那么當(dāng)\(t\)取不同的值時(shí)，\(s\)是否也會(huì)相應(yīng)地取不同的值呢？設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的生活實(shí)例入手，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，初步建立“變量”的感知，為后續(xù)引入函數(shù)概念鋪墊。通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系。（二）概念的初步生成與辨析活動(dòng)1：分析具體實(shí)例，抽象共同屬性呈現(xiàn)如下三個(gè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生填表并思考：1.汽車(chē)行駛：一輛汽車(chē)以60千米/小時(shí)的速度勻速行駛，行駛的路程\(s\)（千米）與行駛時(shí)間\(t\)（小時(shí)）之間的關(guān)系。*填寫(xiě)表格：時(shí)間\(t\)(小時(shí))123...\(t\)----------------------------------------路程\(s\)(千米)...*思考：對(duì)于給定的一個(gè)時(shí)間\(t\)，路程\(s\)能確定嗎？有幾個(gè)值？2.票房收入：某電影票價(jià)為每張30元，設(shè)一場(chǎng)電影售出\(x\)張票，票房收入為\(y\)元。*填寫(xiě)表格：售票張數(shù)\(x\)(張)100200300...\(x\)------------------------------------------------票房收入\(y\)(元)...*思考：對(duì)于給定的售票張數(shù)\(x\)，票房收入\(y\)能確定嗎？有幾個(gè)值？3.氣溫變化：下表是某一天某城市的氣溫變化情況：時(shí)間(時(shí))04812162024-----------------------------------氣溫(℃)538151276*思考：對(duì)于表中的每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，氣溫有幾個(gè)確定的值？學(xué)生活動(dòng)與討論：學(xué)生獨(dú)立完成表格，然后小組討論思考題。教師巡視指導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生是否能準(zhǔn)確識(shí)別兩個(gè)變量，并感知到一個(gè)變量的值確定后，另一個(gè)變量的值也隨之確定。師：通過(guò)對(duì)以上三個(gè)例子的分析，大家發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)嗎？（引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：都有兩個(gè)變化的量；一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨著變化；當(dāng)其中一個(gè)量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不同類(lèi)型的具體實(shí)例（代數(shù)關(guān)系、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)），讓學(xué)生充分感知“兩個(gè)變量”以及它們之間“單值對(duì)應(yīng)”的核心特征，為抽象出函數(shù)定義積累豐富的感性材料。（三）函數(shù)概念的抽象與表述師：像這樣的例子，在數(shù)學(xué)中我們稱(chēng)之為“函數(shù)關(guān)系”。我們把在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量。如果對(duì)于變量\(x\)的每一個(gè)確定的值，變量\(y\)都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)\(y\)是\(x\)的函數(shù)（function），其中\(zhòng)(x\)叫做自變量，\(y\)叫做因變量。（板書(shū)函數(shù)的描述性定義，強(qiáng)調(diào)“兩個(gè)變量”、“唯一確定”、“對(duì)應(yīng)”等關(guān)鍵詞。）師：在第一個(gè)例子中，路程\(s\)是時(shí)間\(t\)的函數(shù)，時(shí)間\(t\)是自變量。誰(shuí)能仿照老師的說(shuō)法，描述一下其他兩個(gè)例子中的函數(shù)關(guān)系？（學(xué)生回答，教師糾正表述中的不準(zhǔn)確之處。）師：我們?nèi)绾魏?jiǎn)潔地表示“\(y\)是\(x\)的函數(shù)”呢？數(shù)學(xué)上通常記作：\(y=f(x)\)。這里的\(f\)表示的是\(y\)與\(x\)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不是一個(gè)具體的數(shù)。例如，在票房收入的例子中，對(duì)應(yīng)關(guān)系\(f\)就是“單價(jià)乘以數(shù)量”，所以我們可以具體寫(xiě)成\(y=30x\)，這里\(f(x)=30x\)。辨析與深化：1.問(wèn)題：圓的面積\(S\)與半徑\(r\)之間的關(guān)系\(S=\pir^2\)，是函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？（引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別自變量\(r\)和因變量\(S\)，強(qiáng)調(diào)對(duì)于每一個(gè)確定的\(r\)（\(r>0\)），\(S\)有唯一確定的值。）2.問(wèn)題：對(duì)于關(guān)系式\(y=\pmx\)，當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y\)有幾個(gè)值？這是函數(shù)關(guān)系嗎？（通過(guò)反例，強(qiáng)化“唯一確定”是函數(shù)概念的核心。）3.問(wèn)題：在氣溫變化的例子中，我們能說(shuō)“時(shí)間是氣溫的函數(shù)”嗎？為什么？（引導(dǎo)學(xué)生理解自變量和因變量的相對(duì)性，以及函數(shù)定義中“對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，因變量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)”，反之則不一定成立。）設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生充分感知的基礎(chǔ)上，適時(shí)給出函數(shù)的描述性定義，并引入符號(hào)表示。通過(guò)正反例辨析和關(guān)鍵性問(wèn)題的討論，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，特別是對(duì)“唯一確定”和“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的理解。（四）函數(shù)的表示方法師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了函數(shù)，那么函數(shù)通常有哪些表示方法呢？回顧我們剛才接觸的例子。（引導(dǎo)學(xué)生回顧并總結(jié)：）1.解析法（關(guān)系式法）：如\(s=60t\)，\(y=30x\)，\(S=\pir^2\)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。2.列表法：如氣溫變化的例子。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀、具體，能直接看出部分對(duì)應(yīng)值。3.圖像法：（可簡(jiǎn)單提及，后續(xù)會(huì)詳細(xì)學(xué)習(xí)）比如用平面直角坐標(biāo)系中的曲線(xiàn)來(lái)表示氣溫隨時(shí)間的變化。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)。師：這三種表示方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)需要選擇合適的方法，有時(shí)也會(huì)將它們結(jié)合起來(lái)使用。設(shè)計(jì)意圖：自然過(guò)渡到函數(shù)的表示方法，使學(xué)生了解函數(shù)表示的多樣性，并初步感知各種方法的特點(diǎn)。二、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)：在體驗(yàn)與探究中深化理解為了幫助學(xué)生鞏固和深化對(duì)函數(shù)概念的理解，設(shè)計(jì)以下系列學(xué)生活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)參與和合作探究。活動(dòng)一：“函數(shù)關(guān)系”大家找——生活中的函數(shù)實(shí)例搜集與分析*活動(dòng)目標(biāo)：1.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中處處存在的函數(shù)關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系。2.進(jìn)一步鞏固函數(shù)概念的核心要素：兩個(gè)變量、唯一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。*活動(dòng)準(zhǔn)備：1.課前布置任務(wù)，讓學(xué)生留意生活中的變化現(xiàn)象，搜集存在兩個(gè)變量關(guān)系的實(shí)例。2.學(xué)生準(zhǔn)備一張A4紙，用于記錄和展示。*活動(dòng)過(guò)程：1.小組分享（5-7分鐘）：學(xué)生以4-5人為一小組，分享自己搜集到的實(shí)例。小組成員共同討論，判斷所搜集的實(shí)例是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，并說(shuō)明理由（重點(diǎn)闡述兩個(gè)變量是什么，以及如何體現(xiàn)“唯一確定”）。2.班級(jí)展示與點(diǎn)評(píng)（10-15分鐘）：各小組推選1-2個(gè)有代表性的實(shí)例進(jìn)行班級(jí)分享（可以口頭描述，也可以畫(huà)圖或列表）。其他同學(xué)可以提問(wèn)或補(bǔ)充。教師對(duì)學(xué)生的分享進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，重點(diǎn)關(guān)注變量的識(shí)別、對(duì)應(yīng)關(guān)系的描述以及是否滿(mǎn)足“唯一確定”。*預(yù)期成果：學(xué)生可能會(huì)舉出如：電費(fèi)與用電量、手機(jī)話(huà)費(fèi)與通話(huà)時(shí)間、正方形面積與邊長(zhǎng)、身高與年齡（此處需引導(dǎo)學(xué)生辨析，年齡確定時(shí)身高是否唯一確定？通常不是，因?yàn)橥g人身高有差異，所以身高與年齡一般不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，除非有特定的個(gè)體）、郵寄包裹的費(fèi)用與重量等。3.分類(lèi)整理（5分鐘）：教師引導(dǎo)學(xué)生將所舉的函數(shù)實(shí)例按照其對(duì)應(yīng)關(guān)系的類(lèi)型進(jìn)行簡(jiǎn)單分類(lèi)（如正比例關(guān)系、一次關(guān)系、非線(xiàn)性關(guān)系等，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊），或按照表示方法分類(lèi)。*活動(dòng)說(shuō)明：此活動(dòng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中主動(dòng)建構(gòu)對(duì)函數(shù)概念的理解，避免了枯燥的理論說(shuō)教。教師在點(diǎn)評(píng)時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生的積極性，對(duì)不準(zhǔn)確的表述要委婉地指出并引導(dǎo)修正?；顒?dòng)二：“函數(shù)機(jī)器”——對(duì)應(yīng)關(guān)系的可視化體驗(yàn)*活動(dòng)目標(biāo)：1.幫助學(xué)生形象化地理解函數(shù)中“輸入”、“對(duì)應(yīng)規(guī)則”、“輸出”的過(guò)程。2.加深對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系\(f\)”的理解，它可以是算式、圖形變換或其他明確的規(guī)則。*活動(dòng)準(zhǔn)備：1.教師準(zhǔn)備一個(gè)“函數(shù)機(jī)器”模型（可以是一個(gè)盒子，側(cè)面開(kāi)兩個(gè)口，一個(gè)作為“輸入口”，一個(gè)作為“輸出口”）。2.每組準(zhǔn)備一些寫(xiě)有數(shù)字的卡片作為“輸入值”，以及記錄“輸出值”的表格。3.預(yù)先設(shè)定幾個(gè)簡(jiǎn)單的“對(duì)應(yīng)規(guī)則”，如“輸入\(x\)，輸出\(2x+1\)”、“輸入\(x\)，輸出\(x^2\)”、“輸入一個(gè)數(shù)，如果是偶數(shù)輸出它的一半，如果是奇數(shù)輸出它加1”等（寫(xiě)在卡片上，不公開(kāi)，由“機(jī)器”操作者掌握）。*活動(dòng)過(guò)程：1.教師演示（3-5分鐘）：教師扮演“函數(shù)機(jī)器”的操作者。*教師公布機(jī)器當(dāng)前的“對(duì)應(yīng)規(guī)則”（例如：\(f(x)=2x+1\)）。*請(qǐng)學(xué)生隨機(jī)抽取“輸入值”卡片，從“輸入口”投入，教師根據(jù)規(guī)則計(jì)算后，從“輸出口”送出寫(xiě)有“輸出值”的卡片。*引導(dǎo)學(xué)生觀察輸入和輸出的關(guān)系，驗(yàn)證規(guī)則。2.小組操作與猜測(cè)（10-15分鐘）：*將學(xué)生分為若干小組，每組選一名同學(xué)作為“函數(shù)機(jī)器”的“內(nèi)核”（掌握一個(gè)預(yù)設(shè)的或自創(chuàng)的簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)規(guī)則，但不告訴其他人），其余同學(xué)為“操作者”和“觀察者”。*“操作者”向“函數(shù)機(jī)器”輸入不同的數(shù)值，“內(nèi)核”根據(jù)規(guī)則給出輸出值。小組成員記錄輸入和輸出，并共同猜測(cè)“函數(shù)機(jī)器”的對(duì)應(yīng)規(guī)則是什么。*規(guī)則可以多樣化，不一定局限于代數(shù)運(yùn)算，例如：“輸入一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)，輸出(x+1,y-2)”（圖形平移），“輸入一個(gè)單詞，輸出它的字母?jìng)€(gè)數(shù)”等。3.規(guī)則揭秘與交流（5-7分鐘）：各小組揭秘自己的“對(duì)應(yīng)規(guī)則”，并分享猜測(cè)過(guò)程。教師引導(dǎo)學(xué)生比較不同的對(duì)應(yīng)規(guī)則，體會(huì)“規(guī)則”的多樣性和明確性。*活動(dòng)說(shuō)明：此活動(dòng)趣味性強(qiáng)，能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與熱情。通過(guò)“輸入-輸出”的模擬過(guò)程，將抽象的“對(duì)應(yīng)關(guān)系\(f\)”具象化，幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)是一種特殊的對(duì)應(yīng)。鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造非代數(shù)運(yùn)算的規(guī)則，拓展對(duì)函數(shù)概念的理解?；顒?dòng)三：“我是小老師”——函數(shù)概念的辨析與鞏固*活動(dòng)目標(biāo)：1.通過(guò)學(xué)生自主編題、解題、講題，深化對(duì)函數(shù)概念核心要素的理解和應(yīng)用能力。2.培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和語(yǔ)言表達(dá)能力。*活動(dòng)準(zhǔn)備：1.學(xué)生每人準(zhǔn)備2-3個(gè)關(guān)于函數(shù)概念辨析的小問(wèn)題，可以是判斷題、選擇題或簡(jiǎn)答題。題目?jī)?nèi)容圍繞函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞，如“變量”、“唯一確定”、“自變量”、“因變量”等。2.例如：“判斷：小明的考試成績(jī)是他學(xué)習(xí)時(shí)間的函數(shù)。”“選擇：下列圖像中，表示函數(shù)關(guān)系的是（）”（給出幾個(gè)圖像選項(xiàng)，包含滿(mǎn)足和不滿(mǎn)足函數(shù)定義的）。*活動(dòng)過(guò)程：1.題目收集與篩選（課前完成）：教師提前收集學(xué)生編擬的題目，篩選出質(zhì)量較高、有代表性的題目，制作成辨析題卡。2.“你問(wèn)我答”（10分鐘）：將辨析題卡分發(fā)給各小組，小組間進(jìn)行“你問(wèn)我答”。一組提出問(wèn)題，另一組回答并解釋理由。3.“小老師”講堂（10-15分鐘）：邀請(qǐng)幾位學(xué)生（可以是題目編得好的，或回答問(wèn)題思路清晰的）上臺(tái)，扮演“小老師”，講解自己編的題目或?qū)δ硞€(gè)典型問(wèn)題的理解。臺(tái)下學(xué)生可以提問(wèn)互動(dòng)。4.教師總結(jié)（5分鐘）：教師對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，對(duì)共性的問(wèn)題進(jìn)行梳理和強(qiáng)調(diào)，進(jìn)一步鞏固函數(shù)概念的理解。*活動(dòng)說(shuō)明：編題的過(guò)程本身就是一個(gè)深度思考和主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。學(xué)生在準(zhǔn)備題目時(shí)，會(huì)不自覺(jué)地回顧和梳理函數(shù)概念的要點(diǎn)?！靶±蠋煛钡慕巧芗ぐl(fā)學(xué)生的責(zé)任感和表現(xiàn)欲，提升學(xué)習(xí)興趣和自信心。三、教學(xué)反思與展望函數(shù)概念的教學(xué)不應(yīng)止步于定義的背誦和簡(jiǎn)單的模仿應(yīng)用。通過(guò)上述教學(xué)案例和學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)，我們?cè)噲D將函數(shù)概念的學(xué)習(xí)置于具體的、有意義的情境中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從觀察、分析、抽象、概括到應(yīng)用的完整過(guò)程。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.注重概念的形成過(guò)程：給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓他們充分感知、體驗(yàn)和思考，從具體實(shí)例中自主“生長(zhǎng)”出函數(shù)的概念，而不是簡(jiǎn)單灌輸