題目：化歸思想在含參函數(shù)零點問題中的應(yīng)用緒論化歸不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維邏輯，加強學(xué)生常規(guī)思維訓(xùn)練，而且有助于學(xué)生形成相對完整的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣。在宏觀層面，化歸思想維系著人類的生產(chǎn)水平和文化的積累傳承，對科學(xué)發(fā)展和社會生產(chǎn)力的進步起到了促進作用?；瘹w思想在高考函數(shù)壓軸題熱點問題之一——函數(shù)零點問題中的應(yīng)用值得探索?；瘹w思想化歸是一種用已有概念來定義新的概念，用已有的真命題來證明新的命題，將未知的、新出現(xiàn)的問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決的方法。數(shù)學(xué)具有化歸特征，化歸思想在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)方面應(yīng)用甚廣。1.1.1化歸思想的涵義轉(zhuǎn)化公式表示了化歸的涵義。其中代表需要解決的問題，代表問題鏈中的已解決的問題，代表化歸過程中采取的方法[1]。化歸過程即將新的問題通過某種方法轉(zhuǎn)化為已知的可解問題?；瘹w具有以下三個特點：轉(zhuǎn)化的目標(biāo)明確、采取一定策略向轉(zhuǎn)化目標(biāo)靠攏、化歸成功意味著問題的解決[2]?；瘹w對數(shù)學(xué)的良好影響在于：化歸是一種重要的解題策略，其發(fā)展可以促進數(shù)學(xué)模型化，即將問題發(fā)展為可以解決一個類型的題目的數(shù)學(xué)模型，進而優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，幫助我們形成規(guī)律性的數(shù)學(xué)思維。1.1.2化歸思想的教學(xué)意義高中數(shù)學(xué)主要的思想方法有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想、或然與必然思想[3]。其中，化歸思想在求解不易直接或正面找到解決途徑的問題時，往往可以轉(zhuǎn)化問題的形式，從側(cè)面或反面尋找突破口，直到最終把它化歸成一個或若干個熟知的或已能解決的問題?；瘹w思想具有靈活性、多樣性，無統(tǒng)一模式，利用動態(tài)思維尋找有利于問題解決的變換途徑與方法。高考重視的常用變換方法有：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化等[4]?；瘹w思想方法是源于一般數(shù)學(xué)知識，但又高于一般數(shù)學(xué)知識的。學(xué)生對某一個數(shù)學(xué)思想方法的認識，理解是有一個過程的，他們對化歸思維方法的認識和體會要在親自參與教學(xué)活動的過程中進行。教師需在在此過程中做出正確的引導(dǎo)。函數(shù)的零點問題函數(shù)零點的概念是在新課標(biāo)必修一第三章第一節(jié)函數(shù)與方程中提出來的：對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。函數(shù)零點根據(jù)零點左右兩側(cè)函數(shù)值的正負性分為兩類：“變號零點”和“不變號零點”；也可以根據(jù)能否求出精確數(shù)值分為“顯零點”和“隱零點”。對于連續(xù)函數(shù)，變號零點存在性的判斷方法一般是零點存在性定理，在一定精度要求下，求解函數(shù)零點的通用方法是二分法。在近年來的高考或模擬考中，函數(shù)零點試題的難度、深度、廣度都在不斷加大，且背景、結(jié)構(gòu)、交匯更加豐富、更加活潑、更加新穎，并常常位于客觀題或解答題靠后的位置，成為逐步升級的高考亮點。這類問題備受命題專家青睞，無外乎兩個原因——其既考察了學(xué)生需要掌握的基礎(chǔ)知識與能力：零點存在性定理、導(dǎo)數(shù)的計算與應(yīng)用、二次函數(shù)的實根分布、三次函數(shù)的圖象等，也考察了學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等。因此，這類題目綜合性較強，難度一般較高，通常是學(xué)生的失分點所在。函數(shù)的零點問題中，含有參數(shù)的函數(shù)零點問題更加棘手。其難點通常在于：大部分超越方程由于其根的無理性難以解出；分段點含參的分段函數(shù)需分類討論確定其函數(shù)大致圖像及單調(diào)性才能進行下一步處理；部分函數(shù)因為含有參數(shù)難以找到某區(qū)間內(nèi)兩個函數(shù)值異號的自變量，因此難以應(yīng)用零點存在性定理等等。解決函數(shù)零點問題需要的數(shù)學(xué)思想方法很多：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等等。其中化歸思想占核心地位，尤其是它在含有參數(shù)的函數(shù)零點問題中的應(yīng)用值得重視。研究零點問題對于培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等多種數(shù)學(xué)思想方法，對于培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題，提高學(xué)生綜合能力，提高學(xué)生綜合素養(yǎng)有重要意義；研究化歸思想在含參函數(shù)零點問題中的應(yīng)用的意義在于給出每類問題的解題思路的同時完整地體現(xiàn)出其中應(yīng)用到的化歸思想，從而優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生訓(xùn)練思維水平和綜合能力。文獻綜述國內(nèi)已有許多研究者對零點問題進行了分類。林日紅老師在《高考中函數(shù)零點問題的呈現(xiàn)方式及解題分析》一文中對某年高考試卷中函數(shù)零點問題的題型做出了歸納：以函數(shù)為背景，討論根（零點）的個數(shù)問題；證明函數(shù)零點在給定區(qū)間問題；以三角為背景，給定零點個數(shù)，求解參數(shù)問題；以函數(shù)為背景，函數(shù)零點意義拓展（新定義）問題[5]；李昭平老師在《活躍在高考中的函數(shù)零點問題》中介紹了2019年高考試題中的函數(shù)零點問題：證明原函數(shù)有零點；證明導(dǎo)函數(shù)有零點；由已知零點確定函數(shù)的極值；涉及到零點的不等式證明[6]。本文與參考文獻的區(qū)別在于專注于含參函數(shù)的零點問題。此外，分類依據(jù)不僅著眼于題型出現(xiàn)的頻率，還有題型的規(guī)律性、技巧性強弱。學(xué)界對于化歸思想方法的培養(yǎng)策略研究也層出不窮。朱成杰教授在實驗教學(xué)中提煉三個教學(xué)原則：化隱為顯、循序漸進、學(xué)生參與[7]；沈文選教授提出了展開概念、延遲判斷、激活推理、及時小結(jié)的教學(xué)途徑[8]；殷玉波老師認為應(yīng)該解讀教材并歸納教材中的數(shù)學(xué)思想方法，通過分解訓(xùn)練達到高考題目的綜合能力要求[9]。

2含參函數(shù)零點問題的題型分類本文以2015—2019年的全國高考數(shù)學(xué)試題和2020年部分?？荚囶}中的含參函數(shù)零點為研究對象，做出含參函數(shù)零點問題題型的基本歸類，針對每一類考法，擷取典例分析其解題思路，探討化歸思想在其中起到的作用和應(yīng)用的必要性。2.1題型一：零點的存在與判斷此類題型一般有兩種提問方式：求解含參函數(shù)的零點個數(shù)或證明含參函數(shù)有若干個零點。引例1（2020年深圳一模第21題）已知函數(shù)(2)討論零點的個數(shù).思路：首先要觀察出函數(shù)已知的一個零點，通過因式分解提出，即為的一個零點。這樣做的好處是方便求導(dǎo)之后的分類討論。接著將問題轉(zhuǎn)化為求解另一個因式構(gòu)造出的新函數(shù)的零點。根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點討論原函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷原函數(shù)的零點。解析：，令，.此處開始對參數(shù)進行分類討論：當(dāng)，，單調(diào)遞增.，，故存在零點，而，故此零點非1，存在兩個零點；當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，這時開始第二層討論：當(dāng)極大值，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)極大值，函數(shù)沒有零點.其中，第一種情況還要討論的情況，因為此時有二重零點?；瘹w思想在此類題目中的應(yīng)用體現(xiàn)在將原函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點問題，即討論原函數(shù)的單調(diào)性。結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和零點存在性定理即可求解出零點個數(shù)。2.2題型二：給出函數(shù)零點信息，求參數(shù)取值范圍此類題型是含參函數(shù)零點問題中最常見的一類。題目條件給出的方式主要有這樣幾種：含參函數(shù)存在零點、含參函數(shù)存在若干個零點、含參函數(shù)與常函數(shù)存在若干個交點、兩個含參函數(shù)存在若干個交點，其中后兩個條件皆可以化歸為一個含參函數(shù)的零點信息。2.2.1含參函數(shù)存在零點，求參數(shù)取值范圍此類題目的已知條件中，只要求函數(shù)有零點，不討論零點個數(shù)或位置，考察參數(shù)取值范圍。參數(shù)位于函數(shù)解析式中。引例2（2015秋安慶月考第14題）：若函數(shù)，，有零點，求實數(shù)的取值范圍.思路一（分離參數(shù)法）：，換元，令，則，記，，問題轉(zhuǎn)化為求解使得有解的實數(shù)的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，常函數(shù)與一元二次函數(shù)，有交點時，.思路二（涉及高等數(shù)學(xué)中的概念）：參數(shù)可以看作另一個變量，則有隱式方程，將隱函數(shù)顯化，解得，，.求解實數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為求解，時的值域.在轉(zhuǎn)化與化歸思想的透視下，此類已知含參函數(shù)有零點，求參數(shù)取值范圍的題目本質(zhì)為求函數(shù)的值域，其中分離參數(shù)（隱函數(shù)顯化）起到關(guān)鍵作用。若含參函數(shù)的形式為二元一次函數(shù)，也可以用判別式和根的分布來求解[10]。2.2.2含參函數(shù)存在已知個零點，求參數(shù)取值范圍此類題目的已知條件中，給定了函數(shù)的零點個數(shù)，考察參數(shù)的取值范圍。參數(shù)位于在解析式中。引例3（2020年廈門模擬第16題）：函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是？解析：定義域為，函數(shù)與函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個交點.在恒正，在恒增.在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，兩函數(shù)在原點處相交，因此問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)在第一象限有一個交點.而，即在下凸.若原點處導(dǎo)函數(shù)大于導(dǎo)函數(shù)，則兩圖象必相交.故.此類題型如果分參后形式復(fù)雜，宜將其化歸為兩個函數(shù)圖象的交點問題。其中可能需要應(yīng)用到切線、函數(shù)凹凸性等性質(zhì)。只要能夠準(zhǔn)確判斷臨界情況，參數(shù)的范圍就容易得解。2.3題型三：證明零點在給定的區(qū)間此類題型為證明題，一般證明零點在給定區(qū)間、給定區(qū)間有若干個零點、關(guān)于零點的不等式。引例4（2019年天津高考第20題第2問第一小問）：設(shè)函數(shù)，其中.(=2\*ROMANII)若.(=1\*romani)證明恰有兩個零點.解析：,因為定義域為，故可以將判斷的正負轉(zhuǎn)化為判斷分子的正負.令，，單調(diào)遞減，，，，故存在，使得.故先增后減，在處取得極大值.已有,故問題轉(zhuǎn)化為證明在存在的另一個零點，此時需要找到此區(qū)間內(nèi)函數(shù)值為負的一個自變量.設(shè)，.即，取，，在存在一個零點，故函數(shù)在有兩個零點.此類題目中化歸思想的應(yīng)用體現(xiàn)在將證明零點存在的問題化歸為尋找函數(shù)值異號的兩個自變量，思路簡單。而難點在于取點的具體操作，可以采用的方法有：合并同類項、執(zhí)果索因[11]、放縮法。2.4題型四：奇函數(shù)零點求和問題.此類題型一般兼具三個特點：函數(shù)為R上的奇函數(shù)、函數(shù)為分段函數(shù)、函數(shù)在局部定義域上具有對稱性。題目會構(gòu)造一個新函數(shù)，例如，而就具有上述的三個特點，條件有兩種：給出新函數(shù)的零點個數(shù)或給出參數(shù)的取值范圍，求解的對象是零點之和。引例5（2018天津模擬第8題）：定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的所有零點之和為？解析：的圖象如（圖2-1）所示。圖2-1將問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的方程的實數(shù)根之和.此方程共有5個實數(shù)根，從左到右分別為：.其中，則，由得.即所求零點之和為.此類題目的解題策略分為三步：=1\*GB3①應(yīng)用單調(diào)性、極值點、極限、奇偶性等函數(shù)性質(zhì)做出函數(shù)圖象。=2\*GB3②利用新構(gòu)造出的函數(shù)的局部對稱性，將幾對軸對稱的點進行橫坐標(biāo)求和，結(jié)果一般為0。=3\*GB3③求離原點最近的一個零點，結(jié)果即為所有零點之和。2.5題型五：復(fù)合函數(shù)含參零點問題此類題型以函數(shù)的嵌套和復(fù)合為背景，討論對象多為關(guān)于的方程的實數(shù)根個數(shù)或參數(shù)范圍。此類問題較為抽象，能夠很好地考察學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力，多出現(xiàn)在選擇題或是填空題的壓軸位置[12]。引例6（2015年上海模擬）設(shè)定義域為R的函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的整數(shù)解，則等于？解析：令，做出函數(shù)圖象如（圖2-2）所示.圖2-2方程的根的個數(shù)有3種情況：0個，1個，2個.的實數(shù)根的個數(shù)有兩種情況，2個或3個.因為此方程有三個不同的整數(shù)解，故方程只有一個零點，而有三個實數(shù)根，因此，.由于討論對象不再是函數(shù)或者導(dǎo)函數(shù)，而是函數(shù)的復(fù)合，化歸思想在此類題型中的應(yīng)用可謂四兩撥千斤。解決此類問題的策略在于，由外而內(nèi)處理，利用換元思想將內(nèi)層的函數(shù)看作中間變量或參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為討論的實數(shù)根的問題。這樣一來解題思路會清晰得多，可謂撥云見日。2.6題型六：給出零點信息，求雙參線性組合的取值范圍此類題型中的函數(shù)形式較為簡單，多為二次函數(shù)，解析式含有兩個參數(shù)，給出零點個數(shù)求兩參數(shù)之和或其他線性組合的取值范圍。引例7（2018溫州期末第17題）：已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則的取值范圍是？思路一（線性規(guī)劃）：，求出可行域如圖2-3所示.目標(biāo)函數(shù)在過點取得最大值，在過點取得最小值。故的取值范圍為.圖2-3思路二（以值代參）：，故.函數(shù)可用零點式表示為，其中為兩個零點..由，，，，故.求解這類題型的方法一般是將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間根的分布問題，然后用線性規(guī)劃求取值范圍。如果題目條件特殊也可以試試以值代參。3應(yīng)用化歸思想解決含參零點問題的方法3.1分類討論法分類討論要求學(xué)生邏輯思維縝密，可以正確分辨討論的依據(jù)。它的優(yōu)點是比較直觀，思路清晰，缺點是討論的情況復(fù)雜時容易因為分類不正確而犯錯。分類的依據(jù)要自然簡潔，做到不重不漏，如無必要不分類。在引例1中，若按照標(biāo)準(zhǔn)答案一開始就分“”、“”、“”、“”四類，則顯得生硬而牽強。相反，先考慮導(dǎo)函數(shù)是否有零點從而分“”、“”兩類，接著在第二類中再根據(jù)極大值是否大于0分兩類，最后再根據(jù)函數(shù)零點是否為1分類，層層遞進，邏輯嚴密。3.2分離參數(shù)法分離參數(shù)法是使含參問題化動為靜，化抽象為具體的橋梁，適用于容易將參數(shù)獨立分離出來的函數(shù)零點問題?？筛鶕?jù)分離的程度分為“全分離”和“半分離”[13]。全分離將問題化歸為一個不含參函數(shù)的值域問題，而半分離將問題化歸為一個含參函數(shù)和一個不含參函數(shù)的交點問題。這兩類的本質(zhì)都是利用分離參數(shù)將一個含參函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為一個上下平移的常函數(shù)與一個不含參數(shù)的函數(shù)的圖象交點問題。這也是面對含參零點問題最常見的化歸策略之一。分參的優(yōu)點在于一定程度上的化動為靜，避免了參數(shù)對解題思路的干擾，然而如果分參后，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不方便求導(dǎo)，我們則需另找出路。3.3數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合在含參函數(shù)零點問題中的應(yīng)用可分為兩類：以形助數(shù)和由數(shù)釋形。前者是做出函數(shù)圖象，將函數(shù)性質(zhì)直觀化。這一步一般出現(xiàn)在求導(dǎo)之后，判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的正負，從而明確原函數(shù)的單調(diào)性。在題型五中，這種方法的應(yīng)用最為重要；后者以數(shù)學(xué)語言“翻譯”圖象信息，提煉必要的條件。對于給出部分函數(shù)圖象信息的題目，這一步很可能是必經(jīng)之路。數(shù)形結(jié)合要求學(xué)生具有基本的作圖能力，對函數(shù)性質(zhì)和圖象變換了如指掌。其中包括函數(shù)的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)[14]。在作圖過程中，有時還需用到函數(shù)極限判斷圖象的漸近線。3.4不等式放縮當(dāng)題目需要證明某段單調(diào)區(qū)間存在零點時，為了應(yīng)用零點存在性定理，需要找到兩個函數(shù)值異號的自變量。碰到超越函數(shù)時，有時候很難找到這樣兩個自變量，因為其本質(zhì)為無理不等式的求解。這時候就需要利用不等式放縮來證明函數(shù)值的正負性。放縮策略即以有理代替無理的過程[15],將問題化歸為有理不等式的求解，其理論背景為泰勒展開式、麥克勞林展開式和以直代曲的思想。常用的結(jié)論有三層：=1\*GB3①切線放縮：、、、；=2\*GB3②切線放縮推論：、、[16].=3\*GB3③當(dāng)變量限定范圍時，可以得到放縮結(jié)果為常數(shù)的一些推論：如時，.3.5線性規(guī)劃線性規(guī)劃是含雙參零點問題中較為常規(guī)的解法。當(dāng)題目給出含參二次函數(shù)的零點分布，提問對象是兩個參數(shù)的線性組合的最值時，可以根據(jù)題目條件畫出可行域來進行求解。這種方法可以說是數(shù)形結(jié)合思想的結(jié)晶。這種方法的優(yōu)點是不易出錯，缺點是在選擇填空小題中速度較慢。3.6以值代參以值代參的方法彌補了線性規(guī)劃解雙參線性組合最值的不足。這種方法要求我們找到問題中雙參線性組合的幾何意義，或者用某些數(shù)值將這個線性組合表示出來，如某個函數(shù)值、韋達定理的結(jié)構(gòu)等等[17]。這種方法能夠巧妙而迅速的解決問題，它的缺陷在于適用情況較少，要求較強的觀察能力和運算能力。

4.化歸思想在含參零點問題解題教學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的養(yǎng)成很大程度上要依賴教師有意識的引導(dǎo)和培養(yǎng)，在化歸思想的作用無可替代的含參函數(shù)零點問題中，探討自然地、有效地解題教學(xué)策略無疑是事半功倍。4.1及時引導(dǎo)學(xué)生形成化歸的數(shù)學(xué)思想教師要引導(dǎo)學(xué)生認識到化歸思想在解決含參零點問題的重要性，就要在解題教學(xué)中突出主線，并且將這種數(shù)學(xué)思想的滲透自始至終貫穿在課堂教學(xué)中和課下訓(xùn)練里。首先，教師應(yīng)重視課本素材的挖掘和內(nèi)容的解讀，并引導(dǎo)學(xué)生多思考其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。教材中的例題比較基礎(chǔ)，卻能夠以小見大地體現(xiàn)該知識模塊的要領(lǐng)，除此之外這些例題也是高考命題的母題，掌握好教材上的內(nèi)容即是打好基礎(chǔ)的過程又是返璞歸真的方法。在此之上再去教授一些技巧性的東西，才能做到行之有效。其次，在課堂上直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生化歸后的結(jié)果并進行橫向?qū)Ρ?，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?？梢圆扇〉慕虒W(xué)策略有：應(yīng)用多媒體技術(shù)、繪制思維導(dǎo)圖等等[18]。教師可以應(yīng)用幾何畫板繪制含參函數(shù)在參數(shù)取值變動時的函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生體驗參數(shù)對問題解決的影響，并學(xué)會靈活“翻譯”幾何語言和代數(shù)語言。思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生迅速理清思緒，更加全面地解決問題。最后，課下的練習(xí)宜分組訓(xùn)練，將同類題型放在一起攻克。這樣做的好處是強化學(xué)生對同類題型的認知，題目宜常規(guī)不宜特殊，既要讓學(xué)生在每組訓(xùn)練中摸索到題目的共同點，又要引導(dǎo)學(xué)生適應(yīng)題目信息換的花樣，并從中透過現(xiàn)象看本質(zhì)，快速找到思路。4.2著意引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建、優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)重在積累，然而如果沒有將掌握的知識概念和思想方法互相建立聯(lián)結(jié)，那么這些形式上的積累和散佚并不會存在什么差異。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將做過的有價值的題目形成問題鏈。每完成一道題目便將其整合在自己腦海中的動態(tài)知識網(wǎng)絡(luò)里，標(biāo)記出它的特點和解題方法。這種方法對化歸思想的應(yīng)用大有裨益，因為它提供給化歸以源頭，幫助學(xué)生活躍解題思維，提高數(shù)學(xué)建模意識。問題鏈即知識結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和功能直接影響到學(xué)生解題能力的水平差異。如何引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)是教師必要思考的問題。4.3揚化歸思想之長，避固守方法之短數(shù)學(xué)是自然的，靈活多變的，我們應(yīng)該在善于總結(jié)題型的同時避免固守方法、思維定勢。高考的趨勢是盡可能的考察的學(xué)生綜合素質(zhì)，題目形式逐漸新穎化、多樣化，因此不宜抱殘守缺?；瘹w思想雖然基本但并非萬能，教師應(yīng)意識到化歸思想有可能對解題教學(xué)產(chǎn)生的負面影響，比如“化不歸”的情況，并反思這種情形對于正向思考的價值。重視教學(xué)過程中出現(xiàn)的反例，利用反例加深學(xué)生對知識的理解，甚至可以構(gòu)造反例來培養(yǎng)學(xué)生的思維縝密性[19]?？梢圆扇∪缦戮唧w教學(xué)措施：培養(yǎng)學(xué)生最基本的解題意識，即全方面多角度觀察題目信息。如引例1中第一步的因式分解，如果學(xué)生急于按照常規(guī)步驟直接求導(dǎo)而忽略了解析式中隱藏的一個已知零點，就在無意之中將這道題目復(fù)雜化了，既費時又易錯。善于觀察可以避免這一類無用功，為正確的解題方向打開局面。注重變式訓(xùn)練。舉一隅容易，以三隅反難。當(dāng)學(xué)生沒有將題目中的內(nèi)在聯(lián)系和思維過渡理解清楚，完全消化，如果題目稍加變動，他們只會依舊按照死的解題套路去生搬硬套。因此解題訓(xùn)練不在于多而在于通透。引導(dǎo)學(xué)生自然地獨立地完成邏輯推理，并且明確每一步的深層機理，整理范式，則可以達到對一道題的游刃有余。在此之后再從形式變式、內(nèi)容變式、方法變式、辯錯變式幾個方面展開變式訓(xùn)練[20]，才能幫助學(xué)生真正的進步。5.結(jié)論上文對含參函數(shù)零點問題的討論可以構(gòu)成如下的思維導(dǎo)圖（圖5-1）。在教學(xué)過程中，教師宜通過挖掘課本、呈現(xiàn)直觀地回歸結(jié)果、分組訓(xùn)練及時引導(dǎo)學(xué)生形成化歸的數(shù)學(xué)思想，宜著意引導(dǎo)學(xué)生在解題練習(xí)中構(gòu)建、優(yōu)化動態(tài)的知識結(jié)構(gòu)。同時要注意培養(yǎng)學(xué)生善于觀察的解題意識，注重變式訓(xùn)練以揚化歸思想之長，避固守方法之短。圖5-1

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