2026屆高考數(shù)學(xué)壓軸題系列：數(shù)列問(wèn)題1．（2025·天津）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2），，有，①求證：，均有；②求中所有元素之和．2．（2025·湖南模擬）若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”．（1）判斷數(shù)列：1，3，5，10，152是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為2的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿(mǎn)足，求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，證明：．3．（2025·湖南模擬）在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且（且）.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2025·浙江模擬）定義：若對(duì)，，都有（j為常數(shù)，且），則稱(chēng)數(shù)列為“絕對(duì)等差數(shù)列”，常數(shù)j為數(shù)列的“絕對(duì)公差”．已知“絕對(duì)公差”數(shù)列所有項(xiàng)的和為E．（1）若，，，請(qǐng)寫(xiě)出有序?qū)崝?shù)對(duì)的所有取值；（2）若數(shù)列共有259項(xiàng)，且，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若j為奇數(shù)，數(shù)列共有2k（，）項(xiàng)，且，．證明：k為偶數(shù)，并寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)列．5．（2025·天河模擬）對(duì)于數(shù)集，其中，，定義“伴隨向量集”．若對(duì)任意，存在，使得，則稱(chēng)A為“好集”．（1）已知數(shù)集，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)集的“伴隨向量集”，并判斷是否為“好集”（不需要證明）；（2）若有限集為“好集”，求證：，且當(dāng)時(shí)，；（3）若有限集為“好集”，且，求．6．（2025·威海模擬）設(shè)集合且中所有的數(shù)從小到大排列構(gòu)成數(shù)列，并將數(shù)列的各項(xiàng)依次按照上小下大，左小右大，第行共有項(xiàng)的原則，寫(xiě)成如下的數(shù)表．（1）寫(xiě)出該數(shù)表第4行各項(xiàng)的數(shù)；（2）求；（3）設(shè)位于數(shù)表的第行，若，且該數(shù)列前項(xiàng)的和能被整除，求的最小值．7．（2025·長(zhǎng)沙模擬）對(duì)于有窮數(shù)列：，，…，，若存在，使得，則將數(shù)列進(jìn)行操作變換T：將減1，加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列，記為．從開(kāi)始進(jìn)行次操作變換，依次得到數(shù)列，，…，，即，．（1）已知數(shù)列：，，，，是否可以通過(guò)次操作變換得到如下數(shù)列？①，，，；②，，，，若可以，請(qǐng)寫(xiě)出一種滿(mǎn)足題意的，，…，；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知數(shù)列：，，…，是公差為的等差數(shù)列，若從開(kāi)始進(jìn)行次操作變換后得到數(shù)列：，，，，，求的所有可能值．（3）已知數(shù)列：，，，，將數(shù)列進(jìn)行次操作變換，直到這種操作不能再進(jìn)行時(shí)為止，求的最大值．8．（2025·眉山模擬）已知是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則稱(chēng)為上的非負(fù)函數(shù).（1）判斷是否為上的非負(fù)函數(shù)，并說(shuō)明理由.（2）已知為正整數(shù)，為上的非負(fù)函數(shù)，記的最大值為，證明：為等差數(shù)列.（3）已知且，函數(shù)，若為上的非負(fù)函數(shù)，證明：.9．（2025·義烏模擬）給定正整數(shù)，考慮集合的所有排列，對(duì)每個(gè)，定義：，并規(guī)定.記為所有排列中的最大值.（1）對(duì)于排列，計(jì)算，再直接寫(xiě)出和的值，并分別給出一個(gè)滿(mǎn)足的排列和一個(gè)滿(mǎn)足的排列；（2）對(duì)任意整數(shù)，證明：；（3）證明：.10．（2025·上虞模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足：①，②，則稱(chēng)數(shù)列有性質(zhì)Ω，數(shù)列稱(chēng)為“Ω數(shù)列”，記．（1）若，寫(xiě)出的所有可能值（直接給出答案即可）；（2）當(dāng)，時(shí)，設(shè)；數(shù)列為等差數(shù)列．請(qǐng)判斷p是q的什么條件？并說(shuō)明理由；（3）若Ω數(shù)列符合且，記集合．在中任取兩個(gè)不同元素x，y，求：x且的概率最大值．

答案解析部分1．【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，

由，可得，解得，

則，；（2）①證明：由（1）可得或，，

當(dāng)時(shí)，

設(shè)①，

②，

①-②可得，

即，為中的最大元素，，恒成立，

則，均有；②解：由(i)可得，為中的最大元素，

由題意可得：，

其中，

則的所有元素的和中各項(xiàng)出現(xiàn)的次數(shù)均為：

次，

所以中所有元素的和為.2．【答案】（1）解：若數(shù)列：1，3，5，10，152為“數(shù)列”，則，

即，因?yàn)槌闪?，成立?/p>

不成立，

所以1，3，5，10，152不是“數(shù)列”；（2）解：由數(shù)列是首項(xiàng)為2的“數(shù)列”，則，，

設(shè)等比數(shù)列的公比為，

由①，可得②，

①-②可得，

即，

由數(shù)列是“數(shù)列”，則，對(duì)于，恒成立，

所以，

即對(duì)于，恒成立，

則

解得，，由，，則，即，

故所求的，數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：要證，即證，因數(shù)列是“數(shù)列”，

則，

則要證，即證，

又，對(duì)于，恒成立，

因?yàn)椋?，則，再結(jié)合，，，

反復(fù)利用，可得對(duì)于任意的，，，

則要證：，即證，

設(shè)函數(shù)，則，令，解得，

當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間單調(diào)遞減，

因?qū)τ谌我獾?，，，則，

即，，…，，

相加可得，即，故命題得證.3．【答案】（1）解：在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且，

，代入，整理得，即，以上個(gè)式子相乘可得：，當(dāng)時(shí)，，符合上式，則；（2）解：由（1）可得：，①，②，①②得，，則，由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，則的取值范圍是.4．【答案】（1）解：由題意可知，，所以或，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以；?dāng)時(shí)，因?yàn)椋曰?，所以或，所以有序?qū)崝?shù)對(duì)的取值情況為，，．（2）解：由題可得，，，所以，累加得，即，因?yàn)?，所以上述不等式中的等?hào)同時(shí)成立，所以，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以（，）．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式（，）．（3）證明：令，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以因?yàn)?，且j為奇數(shù)，所以為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，因?yàn)?，所以為偶?shù)，又因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以k為偶數(shù)．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．5．【答案】（1）解：由“伴隨向量集”的定義可得：；

，，，，，，

則對(duì)任意，存在，使得，故集合為好集；（2）證明：取，因?yàn)榧鲜恰昂眉?，所以存在?/p>

使得，即，因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)?，所以存在，或，，所以?/p>

假設(shè)，取，因?yàn)榧鲜恰昂眉保源嬖冢?/p>

使得，

因?yàn)?，所以異?hào)，

若，則，而，，所以不可能成立；

若，則，而，，所以不可能成立，

故假設(shè)錯(cuò)誤，即，

又因?yàn)?，且，所以；?）解：有限集為“好集”，且，，

所以.取，由“好集”定義，存在，使得，

所以異號(hào)，

若，則，因?yàn)?，，所以?/p>

若，則，因?yàn)?，，所以該式不成立?/p>

類(lèi)似的：考慮向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中，

由.6．【答案】（1）解：由題意知，第4行各項(xiàng)為，所以第4行各項(xiàng)的數(shù)為17，18，20，24.（2）解：由題意知，

第行各項(xiàng)為中對(duì)應(yīng)的值，設(shè)在第行，

則前行總項(xiàng)數(shù)，

解得，則數(shù)表前9行共有項(xiàng)，所以在第10行從左往右的第5項(xiàng)，

???????所以.（3）解：數(shù)表第行所有項(xiàng)的和為：，設(shè)數(shù)表前行所有項(xiàng)的和為，

則，令，則，兩式相減得可得，

所以，設(shè)為數(shù)表的第行的第項(xiàng)，

所以數(shù)列前項(xiàng)的和為：，由題意知，前行總項(xiàng)數(shù)，解得，因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，又因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，則，又因?yàn)樵摂?shù)列前項(xiàng)的和能被整除，所以，則，

所以，

可得，所以，

可得的最小值為32，所以的最小值為.7．【答案】（1）解：由變換的定義可得，變換前的數(shù)列和變換后的數(shù)列的各項(xiàng)和相等，所以①不可以，理由：注意到每一次操作變換T不改變的值，而，故①不可以；②可以，操作如下：：，，，，：，，，，：，，，；（2）解：由于每一次操作變換不改變的值，也沒(méi)有改變數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，故，，，，，是公差為的等差數(shù)列，故數(shù)列為：，，，，，當(dāng)時(shí)，，即每次操作后，新數(shù)列各項(xiàng)的平方和至少減少，且每次減少的數(shù)為偶數(shù)，而，故每次操作后新數(shù)列各項(xiàng)的平方和至多減少，記數(shù)列的所有項(xiàng)平方之和為，則，，于是，故，當(dāng)時(shí)，存在操作變換：：，，，，；：，，，，；：，，，，；當(dāng)時(shí)，存在操作變換T：：，，，，；：，，，，；：，，，，；：，，，，；當(dāng)時(shí)，存在操作變換T：：，，，，；：，，，，；：，，，，；：，，，，；：，，，，；

變換滿(mǎn)足條件，由于每次變換只能改變兩個(gè)數(shù)，故的第三項(xiàng)必須為，所以可能為，，，，，或，，，，，或，，，，，或，，，，，此時(shí)都不可能為，，，，．所以不可能，綜上，的所有可能值為，，；（3）解：由題意，每一次操作變換不改變的值，也沒(méi)有改變數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，

而，因此操作停止時(shí)，數(shù)列：，，…，中應(yīng)該含有個(gè)，個(gè)，

由（2）可知，由于每次操作后，新數(shù)列各項(xiàng)的平方和至少減少，

因?yàn)椋?/p>

所以，，

，，

所以，

所以，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

記數(shù)列的所有項(xiàng)平方之和為，

則，

，于是，故，

下面證明：存在次操作變換滿(mǎn)足題意，

若數(shù)列中的最大數(shù)與最小數(shù)之間的所有整數(shù)至少出現(xiàn)一次，則稱(chēng)該數(shù)列為“連續(xù)數(shù)列”，

則：1，2，…，20為連續(xù)數(shù)列，記其中的最大值為，最小值為（），

先對(duì)與操作，再對(duì)與操作，

然后對(duì)與操作，…，直到對(duì)與操作，

經(jīng)過(guò)這樣一輪操作后，數(shù)列中等于，的數(shù)減少一個(gè)，等于，的數(shù)增加一個(gè)，

并且此時(shí)數(shù)列依舊為“連續(xù)數(shù)列”．從：1，2，…，20開(kāi)始反復(fù)進(jìn)行上述操作，

直到不能操作為止，因每次操作恰使得，故操作次數(shù)恰好為次，

綜上，的最大值為．8．【答案】（1）解：是上的非負(fù)函數(shù)，理由如下：函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，則，故是上的非負(fù)函數(shù)；（2）證明：函數(shù)定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，則，因?yàn)闉樯系姆秦?fù)函數(shù)，所以，解得，則，因?yàn)?，所以為等差?shù)列；（3）證明：由，，，當(dāng)且，由，解得，則，由，得，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，由為上的非負(fù)函數(shù)，得，則，，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，從而在上恒成立，令，得，則，從而在上恒成立，故，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則.9．【答案】（1）解：因?yàn)榕帕校?/p>

則，，，，所以，則對(duì)應(yīng)排列為，對(duì)應(yīng)排列為.（2）證明：設(shè)原排列為，

交換最后兩項(xiàng)得到新排列.顯然，即交換排列的最后兩項(xiàng)不改變的總和，考慮一般情況：設(shè)原排列為，交換1和的位置后得到新排列，顯然，對(duì)于或的項(xiàng)，有，因此只需比較和的大小，設(shè)，分三種情況分析：情況1：當(dāng)時(shí)，有，

且，情況2：當(dāng)時(shí)，有，

且，情況3：當(dāng)時(shí)，有，且，綜上所述，在三種情況下都有，

即交換后總和不會(huì)減少，對(duì)于任意排列，

構(gòu)造其對(duì)稱(chēng)排列時(shí)，

對(duì)任意恒有，因?yàn)閷⒃帕兄械?后移等價(jià)于在對(duì)稱(chēng)排列中將后移，

結(jié)合已證向右移動(dòng)1不減少整個(gè)的總和，

所以向右移動(dòng)也不減少總和，因此，最優(yōu)排列的構(gòu)造中，將固定在末位同樣能保證尋找到總和最大，設(shè)原排列為，

前項(xiàng)中的和為

的和為，固定項(xiàng)，因此（3）證明：設(shè)原排列為，在前項(xiàng)中，的和為

的和為，則固定項(xiàng)，

因此，設(shè)，則，

不等式變?yōu)椋?/p>

兩邊除以得，定義：設(shè)，則遞推關(guān)系為，當(dāng)時(shí)，，

則，則.10．【答案】（1）因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足：①，②，故由，得的可能取值為，若，則可為；若，則可為；若，則可為；綜合所述，的可能取值為.（2）p是q的充分不必要條件，即條件p能夠推出條件q，但條件q推不出條件p，下面證明：先證明條件q推不出條件p，

因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且為數(shù)列，

因?yàn)?，所以常?shù)列：滿(mǎn)足條件，

此時(shí)，故條件q推不出條件p，

再