微積分Ⅰ總復(fù)習(xí)二、定義、定理及重要結(jié)論一、知識(shí)脈絡(luò)三、題型分析及典型例題函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)左右極限兩個(gè)重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小兩者的關(guān)系無窮大左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性

振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數(shù)的積分問題1:曲邊梯形的面積問題2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理廣義積分定積分定積分的性質(zhì)定積分的計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式微元法理論依據(jù)名稱釋譯所求量的特點(diǎn)解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)傅氏展開式傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)滿足狄氏條件在收斂級(jí)數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化函數(shù)的定義(1)單值性與多值性:函數(shù)的性質(zhì)(2)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo(3)函數(shù)的單調(diào)性:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。(4)函數(shù)的有界性:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對(duì)于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(5)函數(shù)的周期性:oyx反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對(duì)數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)常用公式極限的定義左極限右極限無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大定理1在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理推論1推論2極限的性質(zhì)求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)(1)(2)兩個(gè)重要極限定理(等價(jià)無窮小替換定理)8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)9、極限的唯一性連續(xù)的定義定理連續(xù)的充要條件單側(cè)連續(xù)間斷點(diǎn)的定義(1)跳躍間斷點(diǎn)(2)可去間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的分類跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx0yx無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)0yx第二類間斷點(diǎn)閉區(qū)間的連續(xù)性連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理1

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).定理2初等函數(shù)的連續(xù)性定理3定理4

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.導(dǎo)數(shù)的定義定義2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).(6)參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則4、高階導(dǎo)數(shù)記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系定理微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.基本初等函數(shù)的微分公式

函數(shù)和、差、積、商的微分法則微分的基本法則

微分形式的不變性羅爾中值定理拉格朗日中值定理有限增量公式.柯西中值定理推論洛必達(dá)法則定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.注意：洛必達(dá)法則的使用條件.泰勒中值定理

常用函數(shù)的麥克勞林公式導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法定義(2)函數(shù)的極值及其求法定理(必要條件)定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)求極值的步驟:步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問題實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4)曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義定理1方法1:方法2:利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步函數(shù)圖形的描繪第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢;第五步

弧微分曲率曲率圓曲率的計(jì)算公式定義原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．不定積分(1)定義(2)微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.(3)不定積分的性質(zhì)基本積分表是常數(shù))第一類換元法直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法.常見類型:第二類換元法第二類換元公式常用代換:分部積分法分部積分公式8.選擇u的有效方法:LIATE選擇法L----對(duì)數(shù)函數(shù)；I----反三角函數(shù)；A----代數(shù)函數(shù)；T----三角函數(shù)；E----指數(shù)函數(shù)；

哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法四種類型分式的不定積分此兩積分都可積,后者有遞推公式令（2）三角函數(shù)有理式的積分定義

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為（3）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號(hào)．問題的提出實(shí)例1

（求曲邊梯形的面積A）實(shí)例2

（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）方法:分割、求和、取極限.定積分的定義定義記為可積的兩個(gè)充分條件：定理1定理2存在定理定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)5推論：（1）（2）性質(zhì)4性質(zhì)7(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式牛頓—萊布尼茨公式定理1定理2（原函數(shù)存在定理）定理3（微積分基本公式）也可寫成牛頓—萊布尼茨公式定積分的計(jì)算法換元公式（1）換元法（2）分部積分法分部積分公式廣義積分(1)無窮限的廣義積分(2)無界函數(shù)的廣義積分理論依據(jù)名稱釋譯所求量的特點(diǎn)解題步驟定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函數(shù)極坐標(biāo)情形(2)體積xyo平行截面面積為已知的立體的體積(3)平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為C．曲線弧為弧長(4)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xyo(5)細(xì)棒的質(zhì)量(6)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(7)變力所作的功(8)水壓力(9)引力(10)函數(shù)的平均值(11)均方根常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散性質(zhì)1:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來的和.級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂定義正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂法的極限形式定義

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)定義(2)收斂點(diǎn)與收斂域(3)和函數(shù)(1)定義冪級(jí)數(shù)(2)收斂性推論定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):

加減法(其中(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算乘法(其中除法b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):冪級(jí)數(shù)展開式(1)定義(2)充要條件(3)唯一性(3)展開方法a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:b.間