專題03平面向量一、一、核心先導(dǎo)二、考點(diǎn)再現(xiàn)二、考點(diǎn)再現(xiàn)【考點(diǎn)1】平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫作a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0(1)結(jié)合律：λ(μa)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb【考點(diǎn)2】共線向量定理、平面向量基本定理及應(yīng)用1．向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得b＝λa，則向量b與a共線．(2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三點(diǎn)，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線AB上，則存在實(shí)數(shù)λ，使得________(如圖所示)．2．向量共線定理的應(yīng)用(1)證明點(diǎn)共線；(2)證明兩直線平行； (3)已知向量共線求字母的值．3．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．【考點(diǎn)3】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)．2．向量平行的坐標(biāo)表示(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點(diǎn)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0.判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定．【考點(diǎn)4】平面向量的垂直與夾角1．平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角．(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：0·a＝0.(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ，則(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(3)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．【考點(diǎn)5】平面向量的模及其應(yīng)用求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).三、三、解法解密考向1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的充要條件：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)求夾角問(wèn)題，常用公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2)或|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).考向2平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)問(wèn)題．解此類問(wèn)題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)．

四、四、考點(diǎn)解密題型一:平面向量的基礎(chǔ)應(yīng)用例1．（1）、（2020·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，若與垂直，則λ＝（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【變式訓(xùn)練1-1】、（2007·重慶·高考真題（理））與向量的夾角相等，且模為1的向量是（

）A． B．或C． D．或題型二:平面向量的綜合應(yīng)用例2．（1）、（2007·福建·高考真題（理））已知，點(diǎn)C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（

）A． B．3 C． D．（2）、（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，滿足，，則的取值范圍為_(kāi)_______.

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足：，若對(duì)滿足條件的任意向量，恒成立，則的最小值是______________．【變式訓(xùn)練2-2】、（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））已知中，，，，點(diǎn)P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．-4 B．-2 C．2 D．4題型三:平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例3．（1）、（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5

（2）、（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，，，，，點(diǎn)在邊上，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量滿足，，若向量，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4

題型四:平面向量在其他知識(shí)中的應(yīng)用例4．（1）、（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴(kuò)張的感覺(jué)．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長(zhǎng)，傳播范圍亦廣，在長(zhǎng)江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見(jiàn)刻有八角大汶口文化八角星紋星紋．圖2是圖1抽象出來(lái)的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是正方形且邊長(zhǎng)為2，其中動(dòng)點(diǎn)P在圓上，定點(diǎn)A、B所在位置如圖所示，則最大值為（

）A．9 B．10 C． D．（2）、（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，則的最小值為_(kāi)________．

【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·湖南師大附中三模）藝術(shù)家們常用正多邊形來(lái)設(shè)計(jì)漂亮的圖案，我國(guó)國(guó)旗上五顆耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)用線段連接，并去掉正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個(gè)正五邊形的中心.如圖，設(shè)O是正五邊形ABCDE的中心，則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練4-2】、（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，，則的最大值為_(kāi)_____．

五、五、分層訓(xùn)練A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，，，直線AM交BN于點(diǎn)Q，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測(cè)（文））在中，，，為線段的中點(diǎn)，，為線段垂直平分線上任一異于的點(diǎn)，則（

）A． B．4 C．7 D．3．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．64．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，已知，，，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點(diǎn)P，則在上的投影為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·大化瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)A?B在單位圓上，，若，則的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．46．（2022·全國(guó)·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）A．-3 B． C． D．8．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為；②；③；④向量在向量上的投影向量為（其中是與同向的單位向量）.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB為圓的直徑，P為圓上的點(diǎn)，則（

）A．4 B． C．8 D．10．（2022·上海松江·二模）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，若點(diǎn)在正方形的邊上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．12．（2022·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，則與夾角最大值時(shí)為（

）A． B． C． D．13．（2022·安徽省舒城中學(xué)三模（理））已知平面向量，，，，若，，則的最小值是________.14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），，則的最小值為_(kāi)_____．15．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)O，A，B，C（順時(shí)針排列）在半徑為2的圓E上，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則的最大值為_(kāi)________．16．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）已知平面向量，滿足，且，，則__________.

B組能力提升17．（2022·山東煙臺(tái)·三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．118．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，且，，D，E是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．219．（2022·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)（理））已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（

）A． B． C． D．20．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．221．（2022·湖南懷化·一模）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．822．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）在中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且滿足，則_________．23．（2022·四川資陽(yáng)·一模（理））已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為_(kāi)_____．24．（2020·天津·二模）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.25．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為_(kāi)__________.26．（2022·四川涼山·三模（理））中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)P是所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足（）．射線BP與邊AC交于點(diǎn)D．若，，則面積的最小值為_(kāi)_____．

C組真題實(shí)戰(zhàn)練27．（2019·天津·高考真題（文））O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心28．（2020·全國(guó)·高考真題）已知向量，滿足，，，則（

）A．1 B． C． D．29．（2017·全國(guó)·高考真題（理））已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．30．（2018·天津·高考真題（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．31．（2018·天津·高考真題（文））在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A． B．C． D．032．（2016·天津·高考真題（理））是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（

）A． B． C． D．33．（2015·福建·高考真題（理））已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（

）.A． B． C． D．34．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知平面四