大一高數(shù)上期中考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無(wú)窮小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^{x}-1\)3.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)是\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.設(shè)\(y=\cos(2x)\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(-2\sin(2x)\)B.\(2\sin(2x)\)C.\(-\sin(2x)\)D.\(\sin(2x)\)5.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.46.已知\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{2h}\)等于（）A.1B.2C.4D.87.函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,2)\)D.\((2,+\infty)\)8.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)9.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.210.函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\([-2,2]\)B.\((-2,2)\)C.\([-2,2)\)D.\((-2,2]\)答案：1.C2.C3.B4.A5.C6.A7.A8.B9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln\frac{1-x}{1+x}\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，下列哪些是無(wú)窮小量（）A.\(x^2\)B.\(\sinx\)C.\(1-\cosx\)D.\(e^x-1\)3.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)4.下列求導(dǎo)公式正確的有（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)5.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的極值點(diǎn)為（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)6.下列積分中，值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}xdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)7.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=x^2\)8.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積的充分條件有（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上無(wú)界9.下列哪些是不定積分的性質(zhì)（）A.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)10.曲線\(y=x^2\)與\(y=2x\)所圍成圖形的面積可以用（）表示A.\(\int_{0}^{2}(2x-x^2)dx\)B.\(\int_{0}^{2}(x^2-2x)dx\)C.\(\int_{0}^{2}|2x-x^2|dx\)D.\(\int_{0}^{2}|x^2-2x|dx\)答案：1.ABD2.ABCD3.ABC4.ABCD5.AC6.AC7.ABC8.ABC9.ABCD10.AC三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處極限存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。（）2.兩個(gè)無(wú)窮小量的商一定是無(wú)窮小量。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.若\(f^\prime(x)>0\)，則函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。（）5.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（）6.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）8.若\(F(x)\)和\(G(x)\)都是\(f(x)\)的原函數(shù)，則\(F(x)-G(x)\)為常數(shù)。（）9.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)。（）10.函數(shù)\(y=\cosx\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=\sinx\)。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。答案：根據(jù)重要極限\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(u\to0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\times3=3\)。2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，對(duì)\(y=x^3-3x^2+5\)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^2-6x\)。3.計(jì)算不定積分\(\intx^2e^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x^2\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=2xdx\)，\(v=e^x\)。\(\intx^2e^xdx=x^2e^x-2\intxe^xdx\)，再對(duì)\(\intxe^xdx\)用一次分部積分法，可得結(jié)果為\((x^2-2x+2)e^x+C\)。4.求曲線\(y=x^2\)與\(y=1\)所圍成圖形的面積。答案：先求交點(diǎn)，聯(lián)立\(y=x^2\)與\(y=1\)，得\(x=\pm1\)。面積\(S=\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx=(x-\frac{1}{3}x^3)\big|_{-1}^{1}=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性和漸近線。答案：對(duì)\(y=\frac{1}{x-1}\)求導(dǎo)得\(y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)單調(diào)遞減。垂直漸近線\(x=1\)，水平漸近線\(y=0\)。2.討論函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極值情況。答案：求導(dǎo)\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x<-1\)時(shí)\(f^\prime(x)>0\)，\(-1<x<1\)時(shí)\(f^\prime(x)<0\)，\(x>1\)時(shí)\(f^\prime(x)>0\)，所以極大值\(f(-1)=2\)，極小值\(f(1)=-2\)。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定