第04講角平分線(xiàn)和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定知識(shí)點(diǎn)1：角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定知識(shí)點(diǎn)2：垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定知識(shí)點(diǎn)3：尺規(guī)作圖角平分線(xiàn)和垂直平分線(xiàn)1.定義經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，也叫線(xiàn)段的中垂線(xiàn)。2.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.3.垂直平分線(xiàn)的判定定理到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上【題型1：利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求角】【典例1】如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線(xiàn)DE分別交AC、AB于點(diǎn)D、E．(1)若∠A=50°，求∠CBD的度數(shù)；(2)若AB=7，BC的長(zhǎng)為5，求△CBD的周長(zhǎng)．【答案】(1)15°(2)12【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠C=65°，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DA=DB，求出∠ABD的度數(shù)，計(jì)算即可；（2）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=1∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠CBD=∠ABC?∠ABD=15°；（2）解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴DB+DC=DA+DC=AC，∵AB=AC=7，BC=5，∴△CBD周長(zhǎng)為BD+CD+BC=7+5=12．【變式1】如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線(xiàn)分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連接BE．若BE平分∠ABC，且∠A=72°，則∠CED的度數(shù)為（

）A．72° B．64° C．54° D．36°【答案】C【分析】本題考查中垂線(xiàn)的性質(zhì)，與角平分線(xiàn)有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問(wèn)題，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠C的度數(shù)，中垂線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，推出∠ABC=2∠C，進(jìn)而求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CED的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠A=72°，∴∠ABC+∠C=180°?72°=108°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵BC的垂直平分線(xiàn)分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，∴∠EDC=90°,BE=CE，∴∠CBE=∠C，∴∠ABE=∠CBE=∠C，∴∠ABC=2∠C，∴∠ABC+∠C=3∠C=108°，∴∠C=36°，∴∠CED=90°?∠C=54°；故選C．【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC的垂直平分線(xiàn)DE分別與AB，AC交于點(diǎn)D，E，若∠A=38°A．10° B．12° C．14° D．16°【答案】C【分析】本題考查三角形中求角度，涉及中垂線(xiàn)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，先由中垂線(xiàn)性質(zhì)得到DA=DC，再結(jié)合等邊對(duì)等角確定∠DCE=∠A=38°，再由直角三角形兩銳角互余得到∠ACB=52°，數(shù)形結(jié)合表示出∠BCD即可得到答案，熟練掌握中垂線(xiàn)的性質(zhì)及三角形的相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵DE是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，∴DA=DC，∴∠DCE=∠A=38°，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=38°，則∠ACB=90°?38°=52°∴∠BCD=∠ACB?∠ACD=52°?38°=14°，故選：C．【變式3】如圖，在△ABC中，PM、QN分別是線(xiàn)段AB、AC的垂直平分線(xiàn)，若∠BAC=110°，則∠PAQ的度數(shù)是（A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出AP=BP，CQ=AQ，求出∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ=70°，再求出答案即可；【詳解】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°?∠BAC=70°，∴PM，QN分別是線(xiàn)段AB，AC的垂直平分線(xiàn)，∴AP=BP，CQ=AQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°，∵∠BAC=110°，∴∠PAQ=∠BAC?∠BAP+∠CAQ故選：B【題型2：利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求邊長(zhǎng)】【典例2】如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF=6，CD=5，則△ABC的周長(zhǎng)為（

）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】此題考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到AC=CF=6，AB=AC=6，CD=BD=5，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵CE垂直平分AF，CF=6∴AC=CF=6∵AD垂直平分BC，∴AB=AC=6，CD=BD=5∴△ABC的周長(zhǎng)為AC+AB+CD+BD=6+6+5+5=22．故選：B．【變式1】如圖，在△ABC中，DE垂直平分邊AC，若△ABD的周長(zhǎng)為24cm，BC=18cm，則AB的長(zhǎng)為（A．6cm B．8cm C．10cm【答案】A【分析】本題主要考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是關(guān)鍵.根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出AD=DC，再進(jìn)行等量代換后計(jì)算即可.【詳解】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=DC，∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=24cm∵BC=18cm∴AB=24?18=6故選：A．【變式2】如圖，△ABC中，BC=20，直線(xiàn)DE垂直平分BC，分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，若△ACE的周長(zhǎng)為32，則△ABC的周長(zhǎng)是（

）A．62 B．52 C．42 D．32【答案】B【分析】本題考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等是解題關(guān)鍵．由垂直平分線(xiàn)可得BE=CE，再結(jié)合△ACE的周長(zhǎng)得到AB+AC=32，即可求出△ABC的周長(zhǎng)．【詳解】解：△ABC中，BC=20，直線(xiàn)DE垂直平分BC，∴BE=CE，∵△ACE的周長(zhǎng)為32，∴AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，∴△ABC的周長(zhǎng)是AB+AC+BC=32+20=52，故選：B．【變式3】如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D，連接BD．若AC=8，AD=3，則BD的長(zhǎng)為（A．8 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，由作圖可知，直線(xiàn)MN是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，即得BD=CD，進(jìn)而即可求解，掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由作圖可知，直線(xiàn)MN是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，∴BD=CD，∵AC=8，AD=3，∴CD=AC?AD=8?3=5，∴BD=5，故選：B．【題型3：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定】【典例3】如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證∶AD垂直平分EF．【答案】見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出DE=DF，證明出Rt△ADE≌Rt△ADF【詳解】證明：∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴點(diǎn)D在線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)上，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌∴AE=AF，∴點(diǎn)A在線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)上，∴AD垂直平分EF．【變式1】已知：如圖，AB=AC，MB=MC．求證：直線(xiàn)AM是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意易證△ABM≌△ACMSSS，得出∠BAM=∠CAM，即又可證△ABO≌△ACOSAS，得出BO=CO，∠AOB=∠AOC=90°，說(shuō)明直線(xiàn)【詳解】證明：如圖，設(shè)AM，BC交于點(diǎn)O，∵AB=AC，MB=MC，AM=AM，∴△ABM≌△ACMSSS∴∠BAM=∠CAM，又∵AO=AO，∴△ABO≌△ACOSAS∴BO=CO，∠AOB=∠AOC=90°，即∴直線(xiàn)AM是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)．【變式2】如圖，在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交AC于點(diǎn)F，且AD平分∠BAC，連接EF．證明：AD垂直平分EF．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的逆定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．證明△AED≌△AFD，可得AE=AF，DE=DF，從而得到點(diǎn)A和點(diǎn)D在EF的垂直平分線(xiàn)上，即可．【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFDAAS∴AE=AF，DE=DF，∴點(diǎn)A和點(diǎn)D在EF的垂直平分線(xiàn)上，∴AD垂直平分EF．【變式3】如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB，BC于點(diǎn)M，D，邊AC的垂直平分線(xiàn)分別交AC，BC于點(diǎn)N，E，MD，NE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)O．(1)試判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；(2)若∠BAC=110°，求【答案】(1)點(diǎn)O在BC的垂直平分線(xiàn)上，理由見(jiàn)解析.(2)∠BOC=140°【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）連接AO，BO，CO，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得出OA=OB，OA=OC，則OB=OC，從而即可求解；（2）由四邊形內(nèi)角和可得∠MON的度數(shù)，根據(jù)題意得∠BOC=2∠MON即可求解；.【詳解】（1）解：點(diǎn)O在BC的垂直平分線(xiàn)上，理由如下：如圖所示，連接AO，BO，CO，∵DM，EN分別是AB，AC的垂直平分線(xiàn)，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線(xiàn)上；（2）解：∵OM，ON分別垂直平分AB，AC，∴△ABO，△ACO均為軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON，∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO=∠ANO=90°，∵∠BAC=110∴∠MON=360°?90°?90°?110°=70°，∴∠BOC=∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON=2∠MON=140°．角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE。重要拓展：1、三角形的三條角平分線(xiàn)相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。2、三角形的角平分線(xiàn)與三角形一邊交于一點(diǎn)，這條角平分線(xiàn)把三角形分成兩個(gè)小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長(zhǎng)度的比?！逜D是∠BAC的角平分線(xiàn)；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【題型4：角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理】【典例4】如圖，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為E.△ABC的面積為12,AB=7,DE=2，則BC的長(zhǎng)為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．作DF⊥BC于F，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DF=DE，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB,DF⊥BC，∴DF=DE=2,∴∴∴BC=5故選：C．【變式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D，BC＝7，A．3 B．4 C．5 D．7【答案】A【分析】本題考查角平分線(xiàn)性質(zhì)．根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，利用角平分線(xiàn)性質(zhì)即可得到本題答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，∴CD=ED，∵BC=BD+DC,BC=7,BD=4，∴DC=BC?BD=7?4=3，∴ED=3，即點(diǎn)D到AB的距離是3，故選：A．【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=8，CD=4，則四邊形ABCD的面積是（

）A．24 B．32 C．28 D．56【答案】C【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，三角形的面積的計(jì)算，過(guò)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理得到DE=CD=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論，熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過(guò)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4，∴四邊形ABCD的面積=S故選：C．【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=8，AB=15，則△ABD的面積是（

A．120 B．60 C．45 D．30【答案】B【分析】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)作圖得到AP為∠BAC的角平分線(xiàn)，進(jìn)而得到D點(diǎn)到AC,AB的距離相等，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可，掌握角平分線(xiàn)的作圖方法，以及角平分線(xiàn)上的點(diǎn)都角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由作圖方法可知：AP為∠BAC的角平分線(xiàn)，∵點(diǎn)D在AP上，∴D點(diǎn)到AC,AB的距離相等，設(shè)D點(diǎn)到AB的距離為?，∵∠C=90°，即DC⊥AC，∴DC的長(zhǎng)即為D點(diǎn)到AC的距離，∴?=CD=8，∴△ABD的面積是12故選B.【題型5：角平分線(xiàn)的判定定理】【典例5】如圖，AD∥BC，∠D=90°，點(diǎn)P為CD中點(diǎn)，BP平分∠ABC．求證：AP平分【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，由角平分線(xiàn)性質(zhì)得PC=PE，進(jìn)而可得PE=PD，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，∠D=90°∴∠C=180°?∠D=90°，即PC⊥BC，∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PC⊥BC，∴PC=PE，∵點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，∴PD=PC，∴PE=PD，又∵PE⊥AB，PD⊥AD，∴AP平分∠DAB．【變式1】如圖所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．求證：（1）△BDE≌△CDF；（2）AD是∠BAC的平分線(xiàn)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）由HL證明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得DE=DF，再由角平分線(xiàn)的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CFBD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；（2）由（1）得：△BDE≌△CDF，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的判定，證明Rt△BDE≌Rt△CDF是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知DE⊥AB垂足為E，DF⊥AC垂足為F，BD=CD，BE=CF．

(1)求證：AD平分∠BAC；(2)丁丁同學(xué)觀察圖形后得出結(jié)論：AB+AC=2AE，請(qǐng)你幫他寫(xiě)出證明過(guò)程．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先用HL判斷出Rt△BED≌Rt△CFD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得DE=DF，進(jìn)而根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上可得AD（2）首先用HL判斷出Rt△AED≌Rt△AFD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得AE=AF【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BED和RtBD=CDBE=CF∴Rt∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵∠E=∠AFD=90°，在Rt△AED和RtAD=ADDE=DF∴Rt∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB+AC=AE?BE+AF+CF=AE?CF+AE+CF=2AE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定定理，能正確根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，A、B兩點(diǎn)分別在射線(xiàn)OM,ON上，點(diǎn)C在∠MON的內(nèi)部，且AC=BC，CD⊥OM,CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD=BE．(1)求證：OC平分∠MON；(2)若AD=3,BO=4，求AO的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)10【分析】（1）證明Rt△ADC≌Rt△BEC，得到CD=CE（2）根據(jù)Rt△ODC≌Rt△OEC【詳解】（1）證明：∵CD⊥OM,CE⊥ON，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵AC=BC，AD=BE，∴Rt△ADC≌∴CD=CE，∵OC=OC，∴Rt△ODC≌∴∠COD=∠COE，∴OC平分∠MON；（2）解：∵Rt△ODC≌Rt△OEC∴OD=OE=OB+BE=OB+AD=4+3=7，∴OA=OD+AD=7+3=10．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．通過(guò)已知條件判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．【題型6：角平分線(xiàn)性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】【典例6】如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A，B，C，現(xiàn)計(jì)劃修一個(gè)油庫(kù)，要求到三條公路的距離都相等，△ABC內(nèi)部被河水填滿(mǎn)無(wú)法施工，則可供選擇的地址有（）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，△ABC內(nèi)部被河水填滿(mǎn)無(wú)法施工，可得三角形內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)不滿(mǎn)足條件；然后利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個(gè)，可得可供選擇的地址有3個(gè)．【詳解】解：∵△ABC內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，△ABC內(nèi)部被河水填滿(mǎn)無(wú)法施工，∴△ABC內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)不滿(mǎn)足條件；如圖：點(diǎn)P是△ABC兩條外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等，∴△ABC兩條外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿(mǎn)足這條件的點(diǎn)有3個(gè)；綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有3個(gè)．∴可供選擇的地址有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)．注意掌握角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，小心別漏解．【變式1】如圖所示，有三條道路圍成Rt△ABC，其中∠C=90°，BC=800m，一個(gè)人從B處出發(fā)沿著B(niǎo)C行走了500m，到達(dá)D處，AD恰為∠CAB的平分線(xiàn)，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為（A．1300m B．800m C．500m D．300m【答案】D【分析】此題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，推出DE=CD=BC?BD．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD為∠CAB的平分線(xiàn)，∠C=90°，∴DE=CD=BC?BD=800?500=300m故選D．【變式2】如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在．【答案】△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處【分析】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)選在△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處．故答案為：△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處．【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡在第二象限內(nèi)作出點(diǎn)Pm?1，2n，則m與n

【答案】m+2n=1【分析】利用基本作圖得到點(diǎn)P到x軸和y軸的距離相等，則根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到2n=?m?1，從而得到m、n【詳解】解：∵由作圖痕跡得P點(diǎn)在∠MON的平分線(xiàn)上，∴點(diǎn)P到x軸和y軸的距離相等，∵Pm?1，2n∴2n=?m?1即m+2n=1．故答案為：m+2n=1．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)．（一）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作圖1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線(xiàn)CD，CD為所求直線(xiàn)（二）作已知角的平分線(xiàn)（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線(xiàn)）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫(huà)射線(xiàn)OC，射線(xiàn)OC即為所求?！绢}型7：尺規(guī)作圖角平分線(xiàn)和垂直平分線(xiàn)】【典例7】如圖，電信部門(mén)要在公路m，n之間的S區(qū)域修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔P．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到區(qū)域S內(nèi)的兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B的距離必須相等，到兩條公路m，n的距離也必須相等．發(fā)射塔P應(yīng)建在什么位置？（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡，并寫(xiě)出結(jié)論）【答案】見(jiàn)解析，分別作出公路夾角的角平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)，他們的交點(diǎn)為P，則P點(diǎn)就是修建發(fā)射塔的位置【分析】由線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，所以發(fā)射塔在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，再利用尺規(guī)作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，所以發(fā)射塔在兩條公路夾角的角平分線(xiàn)上，再利用尺規(guī)作公路夾角的角平分線(xiàn)，則這兩條線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，從而可得答案.【詳解】解：分別作出公路夾角的角平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)，他們的交點(diǎn)為P，則P點(diǎn)就是修建發(fā)射塔的位置．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用尺規(guī)作角的平分線(xiàn)，作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，理解題意，再確定作圖目的是解題的關(guān)鍵.【變式1】商朝第一名相、有“烹調(diào)之圣”美稱(chēng)的伊尹，晚年曾隱居在連云港市灌云縣伊蘆山，大小伊山也因他而得名，后人為了紀(jì)念他準(zhǔn)備建造一座伊尹雕像．經(jīng)過(guò)實(shí)地考察與測(cè)量，決定將雕像建造在兩條伊尹路內(nèi)部，并且在兩條路所構(gòu)成的角的平分線(xiàn)上，另外又考慮到周邊兩個(gè)小區(qū)的人們都可以方便過(guò)來(lái)瞻仰，讓兩個(gè)小區(qū)A，B到雕像的距離也相等，請(qǐng)依據(jù)上述信息，在右圖中利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)標(biāo)出伊尹雕像P點(diǎn)的位置．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．）【答案】圖見(jiàn)解析【分析】本題考查了作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖．連接AB，作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)MN，作∠COD的角平分線(xiàn)OT交MN于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【變式2】如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．(1)尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線(xiàn)DE，垂足為D，交AC于點(diǎn)E．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，求證：DE=EC．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線(xiàn)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵：（1）分別以A,B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，連接兩弧的交點(diǎn)，交AB于D，交AC于點(diǎn)（2）等邊對(duì)等角，易得∠CBE=∠ABE，進(jìn)而得到BE平分∠ABC，即可得證．【詳解】（1）解：由題意，作圖如下：（2）連接BE，∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，∴BE=AE，∴∠ABE=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，CE⊥BC，∴∠CBE=∠ABC?∠ABE=30°，∴∠CBE=∠ABE，∴BE平分∠ABC，∵CE⊥BC,DE⊥AB，∴DE=EC．【變式3】如圖，物流超市A，B在街道m(xù)和n之間，某物流公司計(jì)劃修建一個(gè)物流中轉(zhuǎn)站，要求中轉(zhuǎn)站到物流超市A，B的距離相等，且到街道m(xù)和n的距離也相等，請(qǐng)?jiān)趫D中利用尺規(guī)作出中轉(zhuǎn)站Q的具體位置．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線(xiàn)，尺規(guī)作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作角平分線(xiàn)，尺規(guī)作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．作AB的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，再作出街道m(xù)和n構(gòu)成的角的平分線(xiàn)，與AB的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)Q即為所求．【詳解】解：如圖所示，中轉(zhuǎn)站Q即為所求．一、單選題1．如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于50，則BC的長(zhǎng)是（

）A．22 B．23 C．32 D．33【答案】B【分析】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等得到AE=BE，得到AE+CE+BC=50，即AC+BC=50，求出BC=50?AC=50?27=23，即可得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，∴AE=BE，∵△BCE的周長(zhǎng)等于50，∴BE+CE+BC=50，∴AE+CE+BC=50，即AC+BC=50，∴BC=50?AC=50?27=23，故選：B．2．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（

）A．三條中線(xiàn)的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) D．三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)新增選項(xiàng)【答案】C【分析】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，據(jù)此解答即可求解，掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵到三角形的一邊的兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這邊的垂直平分線(xiàn)上，∴到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，故選：C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD=3，則DE的長(zhǎng)為（

A．3 B．32 C．4 【答案】A【分析】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊距離相等求解即可．【詳解】解：∵∠B=90°，∴DB⊥AB，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=DB，∵BD=3，∴DE=DB=3，故選：A．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=10，則點(diǎn)DA．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．利用基本作圖得到由作法得AP平分∠BAC，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)求解．【詳解】解：由作法得AP平分∠BAC，∴點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∴點(diǎn)D到AC的距離為CD的長(zhǎng)，即點(diǎn)D到AC的距離為10，∴點(diǎn)D到AB的距離為10．故選：C．5．如圖，在△ABC中，已知AC=50，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，BE的長(zhǎng)等于27，則EC的長(zhǎng)是（

）A．50 B．27 C．23 D．25【答案】C【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AE=BE=27，即可求解．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，BE的長(zhǎng)等于27，∴AE=BE=27，∵AC=50，∴EC=AC?AE=23．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖，直線(xiàn)EF是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，垂足為O，若AO=5，則AB=．【答案】10【分析】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)某一條線(xiàn)段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，由此即可得到答案．【詳解】解：∵直線(xiàn)EF是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，垂足為O，∴OB=AO=5，∴AB=2AO=10．故答案為：10．7．如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高線(xiàn)，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=8，DE=3，則△BEC的面積等于．【答案】12【分析】本題考查角平分線(xiàn)性質(zhì)，熟記角平分線(xiàn)性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC,如圖所示，由角平分線(xiàn)性質(zhì)得到EF=ED=3，再由三角形面積公式得到S△BEC【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC,如圖所示：∵CD⊥AB，BE平分∠ABC，∴EF=ED=3，∵BC=8，∴S故答案為：12．8．如圖，BC=8cm，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則△APQ的周長(zhǎng)為cm【答案】8【分析】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得BP=AP，AQ=CQ，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵M(jìn)P和NQ分別垂直平分AB和AC，∴BP=AP，AQ=CQ，∴△APQ的周長(zhǎng)=AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=8cm故答案為：8．9．如圖，在△ABC中，以點(diǎn)C為圓心、任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；作射線(xiàn)CF交AB于點(diǎn)G．若AC=10，BC=7，△BCG的面積為9，則【答案】90【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AC于點(diǎn)M，GN⊥BC于點(diǎn)N．利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理證明GM=GN，利用三角形面積公式求出GN，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AC于點(diǎn)M，GN⊥BC于點(diǎn)N．由作圖可知CG平分∠ACB，∵GM⊥AC，∴GM=GN，∵S△BCG=1∴GN=18∴GM=GN=18∴S△AGC故答案為：907三、解答題10．尺規(guī)作圖：如圖，△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，連接BD，請(qǐng)?jiān)凇鰽BC內(nèi)部找一點(diǎn)P．使點(diǎn)P到邊AB,AC的距離相等，且滿(mǎn)足∠PBD=∠PDB（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角平分線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．由P到∠CAB的兩邊AB,AC的距離相等，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到P點(diǎn)在∠CAB的角平分線(xiàn)上；由∠PBD=∠PDB，得到PB=PD，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到點(diǎn)P在BD的垂直平分線(xiàn)上．據(jù)此作∠CAB的角平分線(xiàn)與BD的垂直平分線(xiàn)交與點(diǎn)P即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P到邊AB,AC的距離相等，∴P點(diǎn)在∠CAB的角平分線(xiàn)上；∵∠PBD=∠PDB，∴PB=PD，∴點(diǎn)P在BD的垂直平分線(xiàn)上；∴點(diǎn)P為∠CAB的角平分線(xiàn)與BD的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，如圖所示，點(diǎn)P為所求．11．如圖，已知△ABC．(1)在AC邊上找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到AB，BC邊的距離相等（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，若∠A=90°，∠ABC=60°，且AD=4cm，求CD【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)8【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，（1）作∠ABC的平分線(xiàn)交AC于D點(diǎn)；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DF=AD=4，再根據(jù)30°角的直角三角形即可得出答案；掌握基本作圖，直角三角形兩銳角互余，角平分線(xiàn)的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，作∠ABC的平分線(xiàn)交AC于D點(diǎn)，∵BD平分∠ABC，∴點(diǎn)D到AB，BC邊的距離相等，則點(diǎn)D為所作；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，∴∠DFB=∠DFC=90°，∵∠A=90°，∠ABC=6