3.3冪函數(shù)（精講）第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：冪函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2、冪函數(shù)的特征①中前的系數(shù)為“1”②中的底數(shù)是單個(gè)的自變量“”③中是常數(shù)知識(shí)點(diǎn)二：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：；；；；2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點(diǎn)3、拓展：①，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；②，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．判斷正誤．（1）冪函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)和．()（2）冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第二、四象限．()（3）當(dāng)冪指數(shù)取1，3，時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)．()（4）若冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大．()【答案】

×

×

√

×（1）例如：，不過(guò)，故錯(cuò)誤；（2）例如：，冪函數(shù)會(huì)過(guò)第二象限，故錯(cuò)誤（3）當(dāng)冪指數(shù)取1，3，時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)，正確；（4）例如：，函數(shù)在遞減，故錯(cuò)誤；2．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()A．

B．

C．

D．【答案】CA選項(xiàng)中，，故它是冪函數(shù)．B選項(xiàng)是冪函數(shù)．C選項(xiàng)的系數(shù)為3，所以它不是冪函數(shù)．D選項(xiàng)是冪函數(shù)．3．判斷正誤．（1）是冪函數(shù)．()（2）函數(shù)是冪函數(shù)．()【答案】

錯(cuò)誤

正確（1）可以改寫(xiě)成，其中的系數(shù)為，所以它不是冪函數(shù)．（2）中，底數(shù)是自變量，指數(shù)位置為常數(shù)，所以它是冪函數(shù)．4．冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．3 C．或3 D．【答案】A因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，故，解得或，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以需要，則故選：A5．冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖像得：，故選：D第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：冪函數(shù)的概念典型例題例題1．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于（

）A． B．4 C．8 D．【答案】D設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，則．故選：D.例題2．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2【答案】C冪函數(shù)為偶函數(shù)，，且為偶數(shù)，則實(shí)數(shù)，故選：C同類(lèi)題型演練1．冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.2．冪函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則___________.【答案】0根據(jù)冪函數(shù)的定義得，解得或；當(dāng)時(shí)，，圖象與軸有交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，滿足題意；綜上，，故答案為：3．冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m的值為_(kāi)_____．【答案】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意.所以的值為故答案為：4．若冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____.【答案】1由題設(shè)，即，可得或，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合.所以.故答案為：1重點(diǎn)題型二：冪函數(shù)的定義域典型例題例題1．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C設(shè)，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，則，故的定義域?yàn)椋蔬x：C例題2．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______．【答案】，所以，.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.同類(lèi)題型演練1．下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C對(duì)選項(xiàng)，則有：對(duì)選項(xiàng)，則有：對(duì)選項(xiàng)，定義域?yàn)椋簩?duì)選項(xiàng)，則有：故答案選：2．若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C由負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.重點(diǎn)題型三：冪函數(shù)的值域典型例題例題1．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.【答案】時(shí)，，時(shí)，，所以的值域?yàn)?故答案為：例題2．若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值域?yàn)開(kāi)___________．【答案】設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以所以，所以故答案為：例題3．已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，若，有，而，此時(shí)函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時(shí)，若，有，而，若函數(shù)的值域?yàn)?，必有，可得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：同類(lèi)題型演練1．已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的值域是（

）A． B．C． D．【答案】D冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，，解得，，的值域是.故選：D.2．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C設(shè)，代入點(diǎn)得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.3．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是A． B． C． D．【答案】C由冪函數(shù)的性質(zhì),可知當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),故在區(qū)間上是減函數(shù),故.故選C重點(diǎn)題型四：冪函數(shù)的圖象典型例題例題1．任意兩個(gè)冪函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．最少一個(gè)，最多三個(gè) B．最少一個(gè)，最多二個(gè)C．最少個(gè)，最多三個(gè) D．最少個(gè)，最多二個(gè)【答案】A解：因?yàn)樗袃绾瘮?shù)的圖象都過(guò)，所以最少有個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：當(dāng)函數(shù)為和時(shí)，它們有個(gè)交點(diǎn)，故選：．例題2．若冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則?的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A和在上單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)時(shí)，圖象在上方，所以，當(dāng)時(shí)，圖象在下方，所以，所以，故選：A.同類(lèi)題型演練1．已知函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B由得，，即定點(diǎn)為，設(shè)，則，，所以，圖象為B．故選：B．2．若四個(gè)冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，在的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)依次增大，可得故選：B重點(diǎn)題型五：冪函數(shù)的單調(diào)性角度1:比較大小典型例題例題1．已知冪函數(shù)，，對(duì)任意，，且，都有，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A對(duì)任意，，且，都有，即在上單調(diào)減，又是冪函數(shù)，知：，解得或（舍去），∴，是偶函數(shù)，∴，，而，即，故選：A例題2．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是__．【答案】設(shè)冪函數(shù)為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可得，解得，所以?xún)绾瘮?shù)為，此時(shí)函數(shù)的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，則，所以.故答案為：.同類(lèi)題型演練1．設(shè)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若實(shí)數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】A由題可設(shè)，代入點(diǎn)，則，解得，則在單調(diào)遞減，因?yàn)椋钥傻?，則.故選：A.2．已知，，則m與n的大小關(guān)系為_(kāi)_______．【答案】設(shè)，已知，則，因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則，即，故答案為：.角度2：解不等式典型例題例題1．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，解得或，所以不等式的解集為，故選：B.例題2．已知冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，且滿足，則的范圍為_(kāi)__________.【答案】設(shè)，則，解得，所以，此時(shí)為上的遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以等價(jià)于，所以，即，所以或.故答案為：同類(lèi)題型演練1．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，]【答案】D不等式可化為：，解得：.故選：D2．已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)閮绾瘮?shù)的定義域?yàn)椋沂嵌x域上的減函數(shù)，所以若，則解得.故選：D.3．若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C因?yàn)閮绾瘮?shù)在和上都是單調(diào)遞減的，所以，由可得或或解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C.4．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】因?yàn)閮绾瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以在上遞增，又，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：5．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____．【答案】由題設(shè)可得，故，所以，所以為上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，而等價(jià)于，所以，故.故答案為：.重點(diǎn)題型六：冪函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用典型例題例題1．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求的值；(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)?，所以或或，?dāng)或時(shí)，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（舍）；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，符合題意；綜上所述，.(2)解：由（1）得為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則由得，即，即，解得，所以滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為.例題2．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2)(1)因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或．又的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以，故．(2)由（1）可知，．因?yàn)?，所以，又函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故在上的值域?yàn)椋?lèi)題型演練1．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)滿足條件

，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有，所以，所以；(2)解：因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，又函數(shù)在上遞增，且

，所以

，所以，解得，所以滿足條件

的實(shí)數(shù)

的取值范圍為

.2．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在上是減函數(shù).（1）求和的值；（2）求滿足的的取值范圍.【答案】（1）或；；（2）（1）函數(shù)為冪函數(shù)，，即，解得或，函數(shù)在上是減函數(shù)，解得，又函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不是偶函數(shù)，舍去；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不是偶函數(shù)，舍去；綜上所述，.（2）由（1）可知，因?yàn)樵?，上單調(diào)遞減，所以等價(jià)于或或，解得或.故的取值范圍為第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第五部分：高考（模擬）題體驗(yàn)1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A因?yàn)槎x域?yàn)椋覟樵龊瘮?shù)，又，所以，解得：，因?yàn)椋?，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A解：因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，又，所以，解得，因?yàn)橛煽赏瞥?，而由無(wú)法推出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．若冪函數(shù)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A． B．C．或 D．【答案】A根據(jù)冪函數(shù)的概念，得，解得或，①若，則，令，其定義域?yàn)椋?，顯然冪函數(shù)為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不符合題意，舍去；②若，則，令，其定義域?yàn)?，且，即冪函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，符合題意.所以.故選：A.4．已知．若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則____________．【答案】因?yàn)閮绾瘮?shù)圖像不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故故答案為：5．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當(dāng)時(shí)，；③；【答案】（答案不唯一）；由所給性質(zhì)：在上恒正的偶函數(shù)，且，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)，如：滿足條件.故答案為：（答案不唯一）3.3冪函數(shù)（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A解：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以．故選：A2．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D由題意，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，故選：D3．已知函數(shù)，則“”是“是冪函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A由是冪函數(shù)，得，即，解得或，則“”是“是冪函數(shù)”的充分不必要條件．故選：A.4．已知函數(shù)是冪函數(shù)，若，則等于（

）A．9 B．8 C．6 D．【答案】A由題意，設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，即，所?故選：A.5．圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：圖中C1對(duì)應(yīng)的，C2對(duì)應(yīng)的，C3對(duì)應(yīng)的，結(jié)合選項(xiàng)知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.6．（2021·廣西·平桂高中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則（

）A． B．1C． D．2【答案】D由已知得，解得.故選：D.7．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．1或 B．1 C． D．【答案】D依題意是冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，在遞增，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在遞減，符合題意.故選：D8．函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，且，滿足.若，且的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．以上都可能【答案】C由于函數(shù)為冪函數(shù)，故，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.由于“對(duì)任意，且，滿足”，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故.由于，故函數(shù)值單調(diào)遞增的奇函數(shù).由于，所以，而可以成立.故選：C二、多選題9．冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】ABD解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以，所以，故為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞增；故選：ABD10．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（

）.A． B． C． D．【答案】BC因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，所以或者又的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，所以或.答案：BC.三、填空題11．若冪函數(shù)在（0，）上是減函數(shù)，則代數(shù)式3m+1的值為_(kāi)__________.【答案】由題意得：或，又冪函數(shù)在上是減函數(shù)，故，則代數(shù)式故答案為：12．已知函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】根據(jù)題意，易知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，在上恒成立，即在上恒成?令，則在上恒成立，則，解得.故答案為：.四、解答題13．已知冪函數(shù)在上為增函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2).(1)解：由題得或.當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意.綜上所述.(2)解：由題得，令，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，所以.所以函數(shù)的值域?yàn)?14．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.(1)求函數(shù)的解析式.(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).(1)由是冪函數(shù)，則，解得，又是偶函數(shù)，∴是偶數(shù)，又在上單調(diào)遞增，則，可得，∴或2.綜上，，即.(2)由（1）偶函數(shù)在上遞增，∴∴的范圍是.B能力提升1．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無(wú)法判斷【答案】A由函數(shù)是冪函數(shù)，可得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故．又，所以，所以，則．故選：A．2．已知冪函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的值為（

）．A． B．0 C．1 D．2【答案】C冪函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)