專題06平行四邊形證明與求值（含特殊四邊形）問題1．如圖，在邊長為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點(diǎn)Q．（1）求證：△PDE≌△QCE；（2）過點(diǎn)E作EF∥BC交PB于點(diǎn)F，連結(jié)AF，當(dāng)PB＝PQ時，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，連接ED，EF．（1）求證：四邊形DEFC是矩形；（2）請用無刻度的直尺在圖中作出∠ABC的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．3．已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)．求證：BE＝DF．4.如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為、的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)E，使，連接．（1）求證：；（2）若，且，，求四邊形的面積．5.如圖，，平分∠ABC交于點(diǎn)，點(diǎn)C在上且，連接．求證：四邊形是菱形．6.已知：如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，求證：．7.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．8.如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，且，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．（1）求證：≌．（2）若，，求正方形邊長．9.如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)為對角線上一動點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接，作交射線于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)、，作射線交射線于點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)時，求的長．如圖，點(diǎn)，在的邊，上，，，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．11.如圖，在正方形中，E，F(xiàn)為邊上兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為，的延長線交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求的大??；（3）求證：．12．問題解決：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點(diǎn)H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的長．13．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知OA＝OC，OB＝OD，過點(diǎn)O作EF⊥BD，分別交AB、DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，BF．（1）求證：四邊形DEBF是菱形：（2）設(shè)AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的長．14.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，N為EF的中點(diǎn)，連結(jié)NA，以NA，NF為鄰邊作□ANFG．連結(jié)DG，DN，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（0°≤≤360°）．（1）如圖1，當(dāng)＝0°時，DG與DN的關(guān)系為____________________；（2）如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）在Rt△ECF旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)□ANFG的頂點(diǎn)G落在正方形ABCD的邊上，且AB＝12，EC＝時，連結(jié)GN，請直接寫出GN的長．15．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．（1）探究四邊形BEDF的形狀，并說明理由；（2）連接AC，分別交BE、DF于點(diǎn)G、H，連接BD交AC于點(diǎn)O．若＝，AE＝4，求BC的長．16．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．連接DE，DF，BE，BF．（1）證明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四邊形BEDF的周長．

專題06平行四邊形證明與求值（含特殊四邊形）問題（解析版）1．如圖，在邊長為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點(diǎn)Q．（1）求證：△PDE≌△QCE；（2）過點(diǎn)E作EF∥BC交PB于點(diǎn)F，連結(jié)AF，當(dāng)PB＝PQ時，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由．【答案】見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由四邊形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中點(diǎn)知DE＝CE，結(jié)合∠DEP＝∠CEQ即可得證；（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，結(jié)合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根據(jù)Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，從而得∠PAF＝∠EPD，據(jù)此即可證得PE∥AF，從而得證；②設(shè)AP＝x，則PD＝1﹣x，若四邊形AFEP是菱形，則PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得關(guān)于x的方程，解之求得x的值，從而得出四邊形AFEP為菱形的情況．【解答】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵EF∥BQ，∴PF＝BF，∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四邊形AFEP是平行四邊形；②當(dāng)AP＝時，四邊形AFEP是菱形．設(shè)AP＝x，則PD＝1﹣x，若四邊形AFEP是菱形，則PE＝PA＝x，∵CD＝1，E是CD中點(diǎn)，∴DE＝，在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，即當(dāng)AP＝時，四邊形AFEP是菱形．【點(diǎn)評】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形與菱形的判定、性質(zhì)等知識點(diǎn)．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，連接ED，EF．（1）求證：四邊形DEFC是矩形；（2）請用無刻度的直尺在圖中作出∠ABC的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【解析】（1）首先證明四邊形DEFC是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可判斷．（2）連接EC，DF交于點(diǎn)O，作射線BO即可．【解答】（1）證明：∵D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，∴DE∥FC，EF∥CD，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∵∠DCF＝90°，∴四邊形DEFC是矩形．（2）連接EC，DF交于點(diǎn)O，作射線BO，射線BO即為所求．【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．3．已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)．求證：BE＝DF．【答案】見解析【解析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，AD＝BC，又由點(diǎn)E、F分別是?ABCD邊AD、BC的中點(diǎn)，可得DE＝BF，繼而證得四邊形BFDE是平行四邊形，即可證得結(jié)論．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵點(diǎn)E、F分別是?ABCD邊AD、BC的中點(diǎn)，∴DE＝AD，BF＝BC，∴DE＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE＝DF．【點(diǎn)評】考查平行四邊形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4.如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為、的中點(diǎn)，延長至點(diǎn)E，使，連接．（1）求證：；（2）若，且，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)24【解析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形得出AB=CD，ABCD，進(jìn)而得到∠BAC=∠DCA，再結(jié)合AO=CO，M,N分別是OA和OC中點(diǎn)即可求解；(2)證明△ABO是等腰三角形，結(jié)合M是AO的中點(diǎn)，得到∠BMO=∠EMO=90°，同時△DOC也是等腰三角形，N是OC中點(diǎn)，得到∠DNO=90°，得到EMDN，再由(1)得到EM=DN，得出四邊形EMND為矩形，進(jìn)而求出面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，ABCD，OA=OC，∴∠BAC=∠DCA，又點(diǎn)M，N分別為、的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴．(2)BD=2BO，又已知BD=2AB，∴BO=AB，∴△ABO為等腰三角形；又M為AO的中點(diǎn)，∴由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知：BM⊥AO，∴∠BMO=∠EMO=90°，同理可證△DOC也為等腰三角形，又N是OC的中點(diǎn)，∴由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知：DN⊥CO，∠DNO=90°，∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，∴EMDN，又已知EM=BM，由(1)中知BM=DN，∴EM=DN，∴四邊形EMND為平行四邊形，又∠EMO=90°，∴四邊形EMND為矩形，在Rt△ABM中，由勾股定理有：，∴AM=CN=3，∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、矩形的面積公式等，熟練掌握其性質(zhì)和判定方法是解決此類題的關(guān)鍵．5.如圖，，平分∠ABC交于點(diǎn)，點(diǎn)C在上且，連接．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【解析】由，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，進(jìn)而得到△ABD為等腰三角形，進(jìn)而得到AB=AD，再由BC=AB，得到對邊AD=BC，進(jìn)而得到四邊形ABCD為平行四邊形，再由鄰邊相等即可證明ABCD為菱形．【詳解】證明：∵，∴∠ADB=∠DBC，又BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴∠ADB=∠ABD，∴△ABD為等腰三角形，∴AB=AD，又已知AB=BC，∴AD=BC，又，即ADBC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又AB=AD，∴四邊形ABCD為菱形．【點(diǎn)睛】本題考了角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定方法，平行四邊形的判定方法等，熟練掌握其判定方法及性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．6.已知：如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【解析】通過證明即可得證．證明：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，．中，，．在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.7.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．【答案】(1)見解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】(1)先證明EO是△DAB的中位線，再結(jié)合已知條件OG∥EF，得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF⊥AB，得到四邊形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理進(jìn)而得到AF=3，再由中位線定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．【詳解】(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴OE為△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．(2)∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=10，∴AE=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5，∵四邊形OEFG為矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案為：OE=5，BG=2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，特殊四邊形的性質(zhì)和判定屬于中考?？碱}型，需要重點(diǎn)掌握．8.如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，且，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．（1）求證：≌．（2）若，，求正方形邊長．【答案】（1）證明見解析；（2）正方形的邊長為6．【解析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）設(shè)正方形的邊長為x，從而可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：四邊形ABCD是正方形，即，即在和中，；（2）設(shè)正方形的邊長為x，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：由（1）已證：又四邊形ABCD是正方形則在中，，即解得或（不符題意，舍去）故正方形的邊長為6．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，較難的是題（2），熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9.如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)為對角線上一動點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接，作交射線于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)、，作射線交射線于點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）GE的長為，【解析】（1）要證明EF＝DE，只要證明△DME≌△ENF即可，然后根據(jù)題目中的條件和正方形的性質(zhì)，可以得到△DME≌△ENF的條件，從而可以證明結(jié)論成立；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時，②當(dāng)點(diǎn)F在BA的延長線上時；均可根據(jù)勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的長，然后即可得到GE的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴∠ECM＝45°，∵M(jìn)N∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC＋∠BCM＝180°，∠MNB＋∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM＋∠DEM＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠DEM＋∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴（2）如圖1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四邊形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵M(jìn)E＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG＋GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC?CE＝-=；如圖2所示，同理可得，F(xiàn)N＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA＋AE＝5．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形相似判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．如圖，點(diǎn)，在的邊，上，，，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析．【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，進(jìn)而得到BE=FD即可證明．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵，，∴BE=FD，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，并熟悉平行四邊形的判定定理．11.如圖，在正方形中，E，F(xiàn)為邊上兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為，的延長線交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求的大?。唬?）求證：．【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）見解析【解析】（1）設(shè)直線與相交于點(diǎn)T，證明是的中位線即可；（2）連接，取的中點(diǎn)O，連接，證明點(diǎn)，F(xiàn)，B，G四點(diǎn)共圓即可；（3）設(shè)，則，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理找到k與a的關(guān)系，根據(jù)列比例求解即可．【詳解】（1）設(shè)直線與相交于點(diǎn)T，∵點(diǎn)A與關(guān)于對稱，∴垂直平分，即．∵E，F(xiàn)為邊上的兩個三等分點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，即．（2）連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．∴，∴，又，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴．取的中點(diǎn)O，連接，在和中，，∴，∴點(diǎn)，F(xiàn)，B，G都在以為直徑的上，∴．（3）設(shè)，則．由（2）得，∴，即，∴．設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，∴．在中，由勾股定理，得．又∵，∴，∴．∵，∴，∴．由（2）知，，又∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本小題考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、圓的基本概念與性質(zhì)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、運(yùn)算能力，考查空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．12．問題解決：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點(diǎn)H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的長．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得AD＝AB，即可得四邊形ABCD是正方形；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，利用SAS可得△DAB≌△ABH（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得AH＝DE，由已知DE＝AF可得AH＝AF，即可得△AHF是等腰三角形；（3）延長CB到點(diǎn)H，使BH＝AE＝6，連接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等邊三角形，則AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代換可得DE＝AH＝8．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形；（2）解：△AHF是等腰三角形，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABH＝90°，AB＝DA，∵BH＝AE，∴△DAB≌△ABH（SAS），∴AH＝DE，∵DE＝AF，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形；（3）解：延長CB到點(diǎn)H，使BH＝AE＝6，連接AH，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC,AB＝AD,∴∠ABH＝∠BAD,∵BH＝AE,∴△DAE≌△ABH（SAS），∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，∵DE＝AF,∴AH＝AF，∴△AHF是等邊三角形，∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，∴DE＝AH＝8．13．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知OA＝OC，OB＝OD，過點(diǎn)O作EF⊥BD，分別交AB、DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，BF．（1）求證：四邊形DEBF是菱形：（2）設(shè)AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的長．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）先根據(jù)對角線互相平分證得四邊形ABCD為平行四邊形，在證得△DOF≌△BOE，從而得到DF∥BE，DF＝BE，得到四邊形DEBF為平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形從而證得結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理求得AD、AB的長度，從而得到∠ABD＝30°，根據(jù)菱形性質(zhì)得到△BEF為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理求出AG和GF的長度，根據(jù)勾股定理求出AF的長．【解答】（1）證明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△BOE和△DOF中，，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形DEBF是菱形；（2）過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，如圖，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∵AD+AB＝12，BD＝4，∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，解得AD＝4，AB＝8，∴∠ABD＝30°，∵四邊形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)G＝，在Rt△AGF中，AG＝6，根據(jù)勾股定理得，AF＝＝＝4．14.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，N為EF的中點(diǎn)，連結(jié)NA，以NA，NF為鄰邊作□ANFG．連結(jié)DG，DN，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（0°≤≤360°）．（1）如圖1，當(dāng)＝0°時，DG與DN的關(guān)系為____________________；（2）如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）在Rt△ECF旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)□ANFG的頂點(diǎn)G落在正方形ABCD的邊上，且AB＝12，EC＝時，連結(jié)GN，請直接寫出GN的長．【答案】（1）DG＝DN，且DG⊥DN；（2）成立，理由見解析；（3）GN＝或【解析】（1）如圖1中，連接AE，AF，CN．證明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得結(jié)論；（2）如圖2中，作直線EF交AD于J，交BC于K，連接CN．證明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)G落在AD上時，如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)G落在AB上時，分別利用勾股定理求出GN即可．【詳解】解：（1）如圖1中，連接AE，AF，CN．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=CB=CD，∠B=∠ADF=90°，∵CE=CF，∴BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∵EN=NF，∴AN⊥EF，CN=NF=EN，∵CE=CF，EN=NF，∴CN⊥EF，∴A，N，C共線，∵四邊形ANFG是平行四邊形，∠ANF=90°，∴四邊形ANFG是矩形，∴AG=FN=CN，∠GAN=90°，∵∠DCA=∠DAC=45°，∴∠GAD=∠NCD=45°，∴△GAD≌△NCD（SAS），∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，∴∠GDN=∠ADC=90°，∴DG⊥DN，DG=DN．故答案為：DG⊥DN，DG=DN；（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，作直線EF交AD于J，交BC于K，連接CN．∵四邊形ANFG是平行四邊形，∴AG∥KJ，AG=NF，∴∠DAG=∠J，∵AJ∥BC，∴∠J=∠CKE，∵CE=CF，EN=NF，∴CN=NE=NF=AG，CN⊥EF，∴∠ECN=∠CEN=45°，∴∠EKC+∠ECK=∠ECK+∠DCN，∴∠DCN=∠CKE，∴∠GAD=∠DCN，∵GA=CN，AD=CD，∴△GAD≌△NCD（SAS），∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，∴∠GDN=∠ADC=90°，∴DG⊥DN，DG=DN；（3）如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)G落在AD上時，∵△ECN是等腰直角三角形，EC=5，∴EN=CN=NF=5，∵四邊形ANFG是平行四邊形，∴AG=NF=5，∵AD-CD=12，∴DG=DN=7，∴GN=7．如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)G落在AB上時，同法可證，CN=5，∵△DAG