1.4.2用空間向量研究距離和夾角問(wèn)題第一章空間向量與立體幾何新知探究異面直線所成角

線面角

二面角

探究：能否聯(lián)系向量來(lái)求解上述夾角？知識(shí)點(diǎn)1、異面直線的夾角

本質(zhì)：兩直線所成角就是它們的方向向量所成角或其補(bǔ)角。知識(shí)點(diǎn)2、直線與平面的夾角

本質(zhì)：直線與平面的夾角是直線的方向向量與平面法向量所成角的余角

或

向量夾角比線面角大90°。知識(shí)點(diǎn)3、平面與平面的夾角1、空間平面與平面的夾角的定義：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.

本質(zhì)：兩平面法向量夾角或者補(bǔ)角。

本質(zhì)：兩平面法向量夾角或者補(bǔ)角。例2、如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F(xiàn)依次為C1C，BC的中點(diǎn).求A1B與平面AEF所成角的正弦值.

證(1)設(shè)PA＝1,以A為原點(diǎn),射線AB,AC,AP分別為x軸,y軸,z軸正方向

建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，設(shè)SN與平面CMN所成的角為θ，典例分析例2

如圖示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證:PA//平面EDB;

(2)求證:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.BCDAPEFxyzG解：典例分析BCDAPEFxyz例2

如圖示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.(3)解法1:典例分析BCDAPEFxyz例2

如圖示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.(3)解法2:歸納小結(jié)1.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，向量方法解決立體幾何問(wèn)題的基本步驟是什么？你能用框圖表示嗎？用空間向量表示立體圖形中點(diǎn)、直線、平面等元素進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義2.解決立體幾何中的問(wèn)題，可用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法．你能說(shuō)出它們各自的特點(diǎn)嗎？綜合法以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題；向量法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問(wèn)題；坐標(biāo)法利用數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，坐標(biāo)法經(jīng)常與向量法結(jié)合起來(lái)使用．對(duì)于具體的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)它的條件和所求選擇合適的方法．課后練習(xí)課本練習(xí)1.如圖,二面角α-l-β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi),并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α與平面β的夾角.αlβABCD課后練習(xí)課本練習(xí)1.如圖,二面角α-l-β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi),并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α與平面β的夾角.αlβABCDE課后練習(xí)課本練習(xí)

2.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分別是AD，BC的中點(diǎn)，求異面直線AN,CM所成角的余弦值.ACDBNME課后習(xí)題課本練習(xí)xyzABCA1B1C1D1DFEKGH