第十四章全等三角形微專題四兩種常見的構(gòu)造全等的方法方法1

“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形圖例模型分析解題思路

已知：AD是△ABC的邊BC上

的中線，延長AD至點(diǎn)E，使

ED＝AD，連接BE；結(jié)論：△ACD≌△EBD(SAS).遇到“中點(diǎn)”或“中線”則

考慮倍長中線或作平行線構(gòu)

造全等三角形，從而得到邊

相等或角相等.【例1】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAE，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AB＝

2AE.

求證：∠B＝∠CAE.

證明：如圖，延長AE至點(diǎn)F，使EF＝EA，連接DF.

∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴EC＝ED.

∴△DEF≌△CEA(SAS).∴∠F＝∠CAE.

∵AB＝2AE，AF＝2AE，∴AB＝AF.

∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠FAD.

∴△ABD≌△AFD(SAS).∴∠B＝∠F.

∴∠B＝∠CAE.

【變式1】如圖，已知CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AC＝

BD，∠ACB＝∠ABC.

求證：CD＝2CE.

證明：如圖，過點(diǎn)B作BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F.

∵CE是△ABC的中線，BF∥AC，∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F.

∴△ACE≌△BFE(AAS).∴CE＝EF，AC＝BF.

∴CF＝2CE.

∴AC＝AB＝BD＝BF.

∵∠DBC＝∠A＋∠ACB＝∠ABF＋∠ABC，∴∠DBC＝∠FBC.

∴△DBC≌△FBC(SAS).∴DC＝CF＝2CE.

又∵CB是△ADC的中線，方法2

“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形截長法補(bǔ)短法解題思路已知：AD是△ABC的

角平分線，在AB上截

取AF＝AC，連接DF；結(jié)論：

△ACD≌△AFD.

已知：AD是△ABC的

角平分線，延長AC至

點(diǎn)E，使AE＝AB，連

接DE；結(jié)論：

△AED≌△ABD.

當(dāng)求證中涉及線段的和或差時，考慮

用截長補(bǔ)短法構(gòu)造

全等三角形，目的

是將線段和差問題

轉(zhuǎn)化為線段相等問

題.

證明：如圖，在BC上取一點(diǎn)F，使得FB＝AB，連接DF.

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABD＝∠FBD＝20°.

∴△ABD≌△FBD(SAS).

∴AD＝FD，∠BDF＝∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－100°－20°＝60°.∴∠FDC＝60°.∵∠EDC＝∠BDA，∴∠FDC＝∠EDC.

∴△EDC≌△FDC(ASA).∴CE＝CF.

∴BC＝FB＋CF＝AB＋CE.

【變式2】如圖，已知AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，

點(diǎn)E在AD上.求證：BC＝AB＋CD.

證明：如圖，在BC上取點(diǎn)F，使BF＝BA，連接EF.

∵BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，

∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

∴∠5＋∠D＝180.∵∠5＋∠