第一單元行列式第1次課程教案2課時教學(xué)內(nèi)容二階與三階行列式、排列教學(xué)目標(biāo)1.會用對角線法則計算二階、三階行列式；2.會用二階、三階行列式求解方程組；3.會求排列和逆序數(shù).重點難點利用三階行列式解方程組；n階排列逆序數(shù)的計算.教學(xué)條件環(huán)境多媒體教室；粉筆；ppt課件教學(xué)方式課堂講授；￡混合式教學(xué)；□講授；￡案例教學(xué)；￡分組教學(xué)；□實驗演示；□作業(yè)講評；□實踐教學(xué)；□其他活動教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)與時間分配教學(xué)內(nèi)容互動設(shè)計思政映射點導(dǎo)入（5分）問題引入（1）線性代數(shù)的主要內(nèi)容是什么？（2）本學(xué)期所學(xué)的線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別是什么？它的主要內(nèi)容是什么？（3）初中學(xué)過的二元一次方程組，三元一次方程組的解法學(xué)生思考學(xué)生回答體會科學(xué)的方法論中嚴謹，實事求是的重要性，培養(yǎng)科學(xué)思維方式正文講授（75分）一．二階與三階行列式行列式的概念起源于解線性方程組，它是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來的．因此我們首先討論解方程組的問題．設(shè)有二元線性方程組 (1)用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)a11a22–a12a21≠0時，有 (2)這就是一般二元線性方程組的公式解．但這個公式很不好記憶，應(yīng)用時不方便，因此，我們引進新的符號來表示(2)這個結(jié)果，這就是行列式的起源．我們稱4個數(shù)組成的符號為二階行列式．它含有兩行，兩列．橫的叫行，縱的叫列．行列式中的數(shù)叫做行列式的元素．從上式知，二階行列式是這樣兩項的代數(shù)和：一個是從左上角到右下角的對角線(又叫行列式的主對角線)上兩個元素的乘積，取正號；另一個是從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的乘積，取負號．根據(jù)定義，容易得知(2)中的兩個分子可分別寫成，，如果記，，則當(dāng)D≠0時，方程組(1)的解(2)可以表示成，，(3)象這樣用行列式來表示解，形式簡便整齊，便于記憶．首先(3)中分母的行列式是從(1)式中的系數(shù)按其原有的相對位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系數(shù)行列式中的第1列換成(1)的常數(shù)項得到的，而x2的分子則是把系數(shù)行列式的第2列換成常數(shù)項而得到的．例1用二階行列式解線性方程組對于三元一次線性方程組 (4)作類似的討論，我們引入三階行列式的概念．我們稱符號 (5)為三階行列式，它有三行三列，是六項的代數(shù)和．這六項的和也可用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素的乘積取正號，從右上角到左下角三個元素的乘積取負號．例2令，，．當(dāng)D≠0時，(4)的解可簡單地表示成，， (6)它的結(jié)構(gòu)與前面二元一次方程組的解類似．例3解線性方程組例4已知，問a，b應(yīng)滿足什么條件？(其中a，b均為實數(shù))．為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念，為此，先介紹排列的有關(guān)知識．二．排列在n階行列式的定義中，要用到排列的某些知識，為此先介紹排列的一些基本知識．定義1由數(shù)碼1，2，…，n組成一個有序數(shù)組稱為一個n級排列．例如，1234是一個4級排列，3412也是一個4級排列，而52341是一個5級排列．由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3!=6個．?dāng)?shù)字由小到大的n級排列1234…n稱為自然序排列．定義2在一個n級排列i1i2…in中，如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is的前面(is<it)，則稱it與is構(gòu)成一個逆序，一個n級排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記作N(i1i2…in)．例如，在4級排列3412中，31，32，41，42，各構(gòu)成一個逆序數(shù)，所以，排列3412的逆序數(shù)為N(3412)=4．同樣可計算排列52341的逆序數(shù)為N(52341)=7．容易看出，自然序排列的逆序數(shù)為0．定義3如果排列i1i2…in的逆序數(shù)N(i1i2…in)是奇數(shù)，則稱此排列為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123…n是偶排列．定義4在一個n級排列i1…is…it…in中，如果其中某兩個數(shù)is與it對調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個新的n級排列i1…it…is…in，這樣的變換稱為一個對換，記作(is，it)．如在排列3412中，將4與2對換，得到新的排列3214．并且我們看到：偶排列3412經(jīng)過4與2的對換后，變成了奇排列3214．反之，也可以說奇排列3214經(jīng)過2與4的對換后，變成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1任一排列經(jīng)過一次對換后，其奇偶性改變．定理2在所有的n級排列中(n≥2)，奇排列與偶排列的個數(shù)相等，各為個．又由于n級排列共有n!個，所以q+p=n!，．定理3任一n級排列i1i2…in都可通過一系列對換與n級自然序排列12…n互變，且所作對換的次數(shù)與這個n級排列有相同的奇偶性．因為12…n是偶排列，由定理1可知，當(dāng)i1i2…in是奇(偶)排列時，必須施行奇(偶)數(shù)次對換方能變成偶排列，所以，所施行對換的次數(shù)與排列i1i2…in具有相同的奇偶性．學(xué)生思考學(xué)生傾聽學(xué)生回答特殊到一般的哲學(xué)思想課堂小結(jié)（10分）問題