第三節(jié)變量間的相關關系及回歸模型高中總復習·數(shù)學課標要求1.

結(jié)合實例，了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關系數(shù)與標準化

數(shù)據(jù)向量夾角的關系.2.

結(jié)合實例，會通過相關系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關性.3.

結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)

計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘

估計方法.4.

針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

變量的相關關系（1）相關關系：若兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去

精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系；（2）相關關系的分類：①從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個

變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個變量

?；②當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這

兩個變量

?；提醒

注意相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別：函數(shù)關系是一種確定的關系，

而相關關系是一種非確定的關系.（3）線性相關：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在

附近，就稱這兩個變量線性相關.正相關

負相關

一條直線

2.

樣本相關系數(shù)對于變量x和變量y，設經(jīng)過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為（x1，y1），

（x2，y2），…，（xn，yn），若x與y存在線性相關關系，可用樣本相關

系數(shù)r定量分析它們的相關程度的強弱.

①當r＞0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)

相關；當r＜0時，稱成對樣本數(shù)

據(jù)

相關；當r＝0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系；②樣本相關系數(shù)r的取值范圍為

.當｜r｜越接近1時，成對樣

本數(shù)據(jù)的線性相關程度越

；當｜r｜越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線

性相關程度越

?.正

負

[－1，1]

強

弱

（2）樣本相關系數(shù)r的性質(zhì)

4.

判斷回歸模型的擬合效果

（1）殘差分析法②殘差分析：（ⅰ）定型分析：殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，

說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精

度越高，經(jīng)驗回歸方程的預報精度越高.（ⅱ）定量分析：利用殘差平方

和，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.①作殘差圖：作圖時縱坐標為

，橫坐標可以選為樣本編號，或xi

數(shù)據(jù)，或yi數(shù)據(jù)，這樣作出的圖形稱為殘差圖；殘差

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關

關系.

（

√

）（2）散點圖是判斷兩個變量相關關系的一種重要方法和手段.

（

√

）

（4）樣本相關系數(shù)的絕對值越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越

強.

（

√

）√√×√2.

（人A選三P103習題1題改編）兩個變量的相關關系有①正相關，②負

相關，③不相關，則下列散點圖從左到右反映的變量間的相關關系分別是

（

）A.

①②③B.

②③①C.

②①③D.

①③②解析：

第一個散點圖中的點是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是

正相關；第三個散點圖中的點是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負

相關；第二個散點圖中的點的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關，所以應該

是①③②.√3.

對于x，y兩變量，有四組成對樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的樣本相關系

數(shù)r如下，則線性相關性最強的是（

）A.

－0.82B.0.78C.

－0.69D.

－0.87解析：

由樣本相關系數(shù)的絕對值越大，變量間的線性相關性越強知，

各選項中r＝－0.87的絕對值最大.√4.

（人A選三P113例題改編）在對兩個變量x，y進行回歸分析時有下列步

驟：①對所求出的經(jīng)驗回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)（xi，yi），i＝

1，2，…，n；③求經(jīng)驗回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點圖.則下

列操作順序正確的是（

）A.

①②④③B.

③②④①C.

②③①④D.

②④③①解析：

根據(jù)回歸分析的思想，可知對兩個變量x，y進行回歸分析時，

應先收集數(shù)據(jù)（xi，yi），然后繪制散點圖，再求經(jīng)驗回歸方程，最后對

所求的經(jīng)驗回歸方程作出解釋.√

x0134y2.24.34.86.7

2.6PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

成對數(shù)據(jù)的相關性（師生共研過關）

（2022·全國乙卷理19題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造

成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種

樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），

得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確

到0.01）；

解題技法樣本相關系數(shù)r的統(tǒng)計含義及應用（1）由r的正、負可判斷成對樣本數(shù)據(jù)中兩相關變量是正相關還是負

相關；（2）可根據(jù)｜r｜的大小從量的角度判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否具有線性相關

性，進而可知能否用經(jīng)驗回歸方程進行分析和預測；（3）當｜r｜≤0.25時，即便求得了經(jīng)驗回歸方程也沒有任何統(tǒng)計意義.

A.

x與y正相關，x與z負相關B.

x與y正相關，x與z正相關C.

x與y負相關，x與z負相關D.

x與y負相關，x與z正相關

√2.

對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其樣本相關系數(shù)的

比較，正確的是（

）A.

r2＜r4＜0＜r3＜r1B.

r4＜r2＜0＜r1＜r3C.

r4＜r2＜0＜r3＜r1D.

r2＜r4＜0＜r1＜r3√解析：

由散點圖知圖1與圖3是正相關，故r1＞0，r3＞0，圖2與圖4是負

相關，故r2＜0，r4＜0，且圖1與圖2的樣本點集中在一條直線附近，因此

r2＜r4＜0＜r3＜r1.回歸模型（定向精析突破）考向1

線性回歸分析

（2025·鄭州第三次質(zhì)量檢測）按照《中華人民共和國環(huán)境保護法》

的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會會同國家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國

生態(tài)環(huán)境狀況公報》，并向社會公開發(fā)布.下表是2018～2022年五年《中

國生態(tài)環(huán)境狀況公報》中酸雨區(qū)面積約占國土面積的百分比（yi%）：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼xi12345yi6.45.55.04.83.8（1）求2018～2022年年份代碼xi與yi的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；

－2－10121.30.4－0.1－0.3－1.3

（2）請用樣本相關系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關系可用一元線性回

歸模型進行描述，并求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程；

考向2

非線性回歸分析

（2024·溫州二模）紅旗淀粉廠2025年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為

年投入資金x（萬元）與年收益y（萬元）的8組數(shù)據(jù)：x1020304050607080y12.816.51920.921.521.92325.4（1）用y＝bln

x＋a模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益y與年投入資金x的關系，

求出回歸方程；

（2）為響應國家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一

種藥用淀粉，預計其收益為投入的10%.2025年該企業(yè)計劃投入200萬元用

于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值.（精確到0.1萬元）附：1612920

400109603ln

2≈0.7，ln

5≈1.6.

解題技法

有些非線性回歸分析問題并不給出經(jīng)驗公式，這時我們可以畫出已知

數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

等）的圖象進行比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，用適當?shù)?/p>

變量進行變換，如通過換元或取對數(shù)等方法，把問題化為線性回歸分析問

題，使之得到解決.

“綠水青山就是金山銀山”的理念推動了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.以

下表格和散點圖反映了近幾年某新能源汽車的年銷售量情況.年份20202021202220232024年份代碼x12345某新能源汽車年銷售量y/萬輛1.55.917.732.955.6（1）請根據(jù)散點圖判斷，y＝bx＋a與y＝cx2＋d中哪一個更適宜作為年

銷售量y關于年份代碼x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明

理由）解：

根據(jù)散點圖可知，y＝cx2＋d更適宜作為年銷售量y關于年份代碼x的回歸方程類型.（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并

預測2025年該新能源汽車的年銷售量.（精確到0.1）

故預測2025年該新能源汽車的年銷售量為79.7萬輛.刻畫擬合效果（師生共研過關）

假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關關系，今測得5組

數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2

（1）計算各組殘差，并計算殘差平方和；

（2）求R2，并說明回歸模型擬合效果的好壞.

解題技法刻畫擬合效果的三種方法（1）殘差圖法：殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模

型比較合適；

1.

在一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e

中，下列說法正確的是（

）A.

Y＝bx＋a＋e

是一次函數(shù)B.

響應變量Y是由解釋變量x唯一確定的C.

響應變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，

這些因素會導致隨機誤差e的產(chǎn)生D.

隨機誤差e是由于計算不準確造成的，可通過精確計算避免隨機誤差e

的產(chǎn)生√解析：

對于A，一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e

中，方程表示的不是

確定性關系，因此不是一次函數(shù)，所以A錯誤；對于B，響應變量Y不是由

解釋變量x唯一確定的，所以B錯誤；對于C，響應變量Y除了受解釋變量

x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會導致隨機誤差e的產(chǎn)

生，所以C正確；對于D，隨機誤差是不能避免的，只能將誤差縮小，所以

D錯誤.2.

現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因

素.某企業(yè)去年前八個月的物流成本和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)（單位：萬元）如

下表所示：月份1234物流成本x8383.58086.5利潤y1141161061220.20.61.8－3月份5678物流成本x8984.57986.5利潤y132114m132－1－4.6－1

（3）通過殘差分析，懷疑殘差絕對值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實

后發(fā)現(xiàn)其真正利潤應該為116萬元.請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，

求出新的經(jīng)驗回歸方程.

PART03課時·跟蹤檢測關鍵能力|課后練習

1.

根據(jù)如表樣本數(shù)據(jù)：x23456y42.5－0.5－2－3

√12345678910111213141516171819202022232425

2.

甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩個變量的線性相關性做試驗，

并用回歸分析方法分別求得樣本相關系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)A，B兩個變量有更強的線性相關性（

）A.

甲B.

乙C.

丙D.

丁解析：

r的絕對值越接近1，m越小，線性相關性越強.√3.

〔多選〕（2024·武昌質(zhì)量檢測）下列說法正確的是（

）A.

將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)減去同一個數(shù)后，新數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)方差

相同C.

樣本相關系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關性越強D.

在殘差的散點圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的

擬合效果越好√√√

4.

〔多選〕（2025·唐山一模）為研究光照時長x（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量

y（顆）之間的關系，某課題研究小組采集了10組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖

所示，并進行線性回歸分析，若去掉點P后，下列說法正確的是（

）A.

樣本相關系數(shù)r變小B.

經(jīng)驗回歸方程斜率變大C.

殘差平方和變小D.

決定系數(shù)R2變小√√解析：

由圖可知：P較其他的點偏離直線最大，所以去掉點P后，回

歸效果更好.對于A，樣本相關系數(shù)｜r｜越接近于1，線性相關性越強，因

為散點圖是遞增的趨勢，所以去掉點P后，樣本相關系數(shù)r變大，故A錯

誤；對于B，由經(jīng)驗回歸方程的實際意義，要使殘差平方和最小，去掉點

P后，回歸直線靠近y軸位置需要向下移動，但靠近最右側(cè)兩個點的位置變

化不大，經(jīng)驗回歸方程斜率變大，故B正確；對于C，殘差平方和越大，擬

合效果越差，所以去掉點P后，殘差平方和變小，故C正確；對于D，決定

系數(shù)R2越接近于1，擬合效果越好，所以去掉點P后，決定系數(shù)R2變大，

故