3第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式新（定義，文化）高觀點(diǎn)必刷必過(guò)題一、單選題1．三國(guó)時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立2．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．494．?dāng)?shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，與古希臘數(shù)學(xué)家海倫公式完全一致，所以這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式.現(xiàn)有一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為24，，則當(dāng)三角形面積最大值時(shí)AB邊上的高為（

）A．8 B． C．12 D．5．《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步．問(wèn)：勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為b和a的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊BC的中點(diǎn)，作直角三角形ABC的內(nèi)接正方形對(duì)角線AE，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，則下列推理正確的是（

）A．由圖1和圖2面積相等得 B．由可得C．由可得 D．由可得6．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開(kāi)門．出東門一十五里有木．問(wèn)出南門幾何步而見(jiàn)木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹(shù)距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見(jiàn)到樹(shù)，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹(shù)，出南門750步能見(jiàn)到此樹(shù)，則該小城的周長(zhǎng)的最小值為（注：1里=300步）（

）A．里 B．里 C．里 D．里7．在西方，人們把寬與長(zhǎng)之比為的矩形稱為黃金矩形，這個(gè)比例被稱為黃金分制比例．如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個(gè)畫面的主體部分便很好地體現(xiàn)了黃金分割比例，其中矩形，矩形，矩形，矩形，矩形為黃金矩形．若畫中點(diǎn)G與點(diǎn)K間的距離超過(guò)，點(diǎn)C與點(diǎn)F間的距離不超過(guò)，則該名畫中，A與B間的距離可能為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．8．古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購(gòu)買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（

）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于9．不定方程的整數(shù)解問(wèn)題是數(shù)論中一個(gè)古老的分支，其內(nèi)容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖．請(qǐng)研究下面一道不定方程整數(shù)解的問(wèn)題：已知?jiǎng)t該方程的整數(shù)解有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．410．已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，稱為高斯取整函數(shù)，例如，，方程的解集為A，集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或11．古希臘時(shí)期，人們把寬與長(zhǎng)之比為的矩形稱為黃金矩形，把這個(gè)比值稱為黃金分割比例．下圖為希臘的一古建筑.其中部分廊、檐、頂?shù)倪B接點(diǎn)為圖中所示相關(guān)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，圖中的矩形，，，，，均近似為黃金矩形.若與間的距離大于18.7m，與間的距離小于12m．則該古建筑中與間的距離可能是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．29m B．29.8m C．30.8m D．32.8m12．我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問(wèn)買大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢？則在這個(gè)問(wèn)題中大竹子每根的單價(jià)可能為（

）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢二、多選題13．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則14．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利用奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).已知，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．15．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若，，，則（

）A． B． C． D．16．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)畢達(dá)哥拉斯哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中，算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同，而今我們稱為正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)，的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式（，）叫做基本不等式，下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則的最小值為C．若，，，則的最小值為D．若，，，則的最小值為217．設(shè)a，b為兩個(gè)正數(shù)，定義a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為．上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家D．H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p為有理數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．18．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．而今我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式．下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為C．若，則D．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為219．生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：.趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和不等式的性質(zhì)判斷下列命題一定正確的是（

）A．若，則與的大小關(guān)系隨m的變化而變化B．若，則C．若，則D．若，則一定有20．古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為，則其身高可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC三、填空題21．中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，，，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，則此三角形面積的最大值為_(kāi)_____.四、雙空題22．設(shè)，，記，，分別為a，b的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)，古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯于公元4世紀(jì)在其名著《數(shù)學(xué)匯編》中研究過(guò)時(shí)A，G，H的大小關(guān)系，則A，G，