圓錐曲線解析版目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】軌跡 2【題型二】新結(jié)構(gòu)卷中19題“定義”型軌跡 7【題型三】直線所過定點不在坐標軸上 13【題型四】面積比值范圍型 17【題型五】非常規(guī)型四邊形面積最值型 22【題型六】“三定”型：圓過定點 27【題型七】“三定”型：斜率和定 31【題型八】“三定”型：斜率積定 36【題型九】圓錐曲線切線型 40【題型十】“韋達定理”不能直接用 45【題型十一】“非韋達”型：點帶入型 49【題型一】軌跡求軌跡方程的常見方法有:（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標、表示相關(guān)點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.1.（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知點和直線，點到的距離.(1)求點的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點的直線與點的軌跡交于，兩點.設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用直接法求得軌跡方程；（2）設(shè)，，分別表示，及，進而表示，可知，當時，為定值，即面積為定值.【詳解】（1）設(shè)點，由，當時，，不成立，所以，則，即；（2）設(shè)，，則，，又點在橢圓上，則，則，同理，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，則，則，則，所以當時，為定值，即面積為定值.

2.（2024·遼寧·一模）已知平面上一動點到定點的距離比到定直線的距離小，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)點為上的兩個動點，若恰好為平行四邊形的其中三個頂點，且該平行四邊形對角線的交點在第一?三象限的角平分線上，記平行四邊形的面積為，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)距離公式列等量關(guān)系即可求解，或者利用拋物線的定義求解，（2）根據(jù)點差法可得斜率關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，即可根據(jù)弦長公式求解長度，由點到直線的距離公式表達面積，即可利用導數(shù)求解函數(shù)的最值.【詳解】（1）解法一：設(shè)，易知，根據(jù)題意可得，化簡得，所以的方程為.解法二：因為點到定點的距離比到定直線的距離小，所以點到定點的距離與到定直線的距離相等，由拋物線的定義可知，點的軌跡是以定點為焦點，定直線為準線的拋物線，所以的方程為.（2）證明：設(shè)，直線的斜率為，線段的中點為，

因為平行四邊形MANB對角線的交點在第一?三象限的角平分線上，所以線段的中點在直線上，設(shè)，所以所以，又所以，即.設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立整理得，所以，解得，，則.又點到直線的距離為，所以，記，因為，所以，所以.令，則，令，可得，當時，在區(qū)間,內(nèi)單調(diào)遞增，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當，即時，取得最大值，即，所以.3.（2024·山東淄博·一模）在平面直角坐標系xOy中，點.點是平面內(nèi)的動點.若以PF為直徑的圓與圓相切，記點P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)設(shè)點，直線AM，AN分別與曲線C交于點S，T(S，T異于A)，過點A作，垂足為H，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)代入坐標化簡得到軌跡方程；（2）設(shè)直線，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達定理式，求出的縱坐標，從而有，代入韋達定理式化簡得，從而得到直線所過定點，得到點軌跡方程，從而得到最大值.【詳解】（1）設(shè)，則的中點，根據(jù)題意得，即，整理得，化簡整理，得點的軌跡方程.（2）設(shè)，由對稱性可知直線的斜率存在，所以可設(shè)直線，聯(lián)立直線與曲線的方程，得，消元整理，得，則，①②所以，令，得點縱坐標，同理可得點縱坐標，故，將代入上式整理，得，將②代入得，若，則直線，恒過不合題意；若，則，恒過，因為直線恒過，且與始終有兩個交點，又，，垂足為，所以點軌跡是以為直徑的圓（不含點），設(shè)中點為，則圓心，半徑為1，所以，當且僅當點在線段上時，取最大值.【題型二】新結(jié)構(gòu)卷中19題“定義”型軌跡1.（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點為，則，再根據(jù)兩點之間的“距離”得新定義即可得解；（2）將點分別代入即可判斷其對稱性，取絕對值符號，進而可得出范圍；（3）先求出橢圓方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，分別求出直線的方程，設(shè)，再次求出的關(guān)系，進而求出，從而可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點為，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；（2）由方程，得，因為，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”的范圍為，，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點對稱，所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點對稱；

（3）由題意可設(shè)橢圓的方程為，將點代入得，解得，所以橢圓的方程為，，由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立，則，因為的中點為，所以直線的中垂線的方程為，同理直線的中垂線的方程為，設(shè)，則是方程的兩根，即是方程的兩根，所以，又因，所以，兩式相比得，所以，所以，所以直線與的斜率之積為定值．

2.（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；(2)若點不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.【答案】(1)(2)(3)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)包絡(luò)曲線的定義利用直線和圓相切即可得；（2）易知方程無解，根據(jù)判別式可得，證明可得直線族的包絡(luò)曲線為；（3）法一：求出兩點處曲線的切線的方程，解得，根據(jù)平面向量夾角的表達式即可得，即；法二：過分別作準線的垂線，連接，由導數(shù)求得切線斜率并利用拋物線定義和三角形內(nèi)角關(guān)系即可證明.【詳解】（1）由定義可知，與相切，則圓的圓心到直線的距離等于1，則，.（2）點不在直線族的任意一條直線上，所以無論取何值時，無解.將整理成關(guān)于的一元二次方程，即.若該方程無解，則，即.證明：在上任取一點在該點處的切線斜率為，于是可以得到在點處的切線方程為：，即.今直線族中，則直線為，所以該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線，而對任意都是拋物線在點處的切線.所以直線族的包絡(luò)曲線為.（3）法一：已知，設(shè)，則，；由（2）知在點處的切線方程為；同理在點處的切線方程為；聯(lián)立可得，所以.因此，同理.所以，，即，可得，所以成立.法二：過分別作準線的垂線，連接，如圖所示：則，因為，顯然.又由拋物線定義得，故為線段的中垂線，得到，即.同理可知，所以，即.則.所以成立.3.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)平面上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足，設(shè)點的運動軌跡為．點對應(yīng)的數(shù)是0．(1)證明是一個雙曲線并求其離心率；(2)設(shè)的右焦點為，其長半軸長為，點到直線的距離為（點在的右支上），證明：；(3)設(shè)的兩條漸近線分別為，過分別作的平行線分別交于點，則平行四邊形的面積是否是定值？若是，求該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)證明見解析；離心率為；(2)證明見解析；(3)平行四邊形的面積為定值.【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，由化簡得到判斷，并求離心率；（2）由（1）得到，，，從而直線，設(shè)，由和復(fù)數(shù)的模求解證明；（3）由（1）得到的兩條漸近線，，不妨設(shè)，得到，．聯(lián)立和，求得點P，易知直線，求得點到直線的距離，再由求解.【詳解】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，則兩邊平方得所以是一個焦點在實軸上，頂點為，漸近線為的雙曲線．其離心率.（2）由（1）的計算得，，，則直線，設(shè)，則，，由得，代入得所以，原式得證．（3）由（1）得的兩條漸近線，，由對稱性，不妨設(shè)，則，所以，同理得．聯(lián)立和：，得，易知直線，所以點到直線的距離由（1），所以而，所以，故平行四邊形的面積為定值．【題型三】直線所過定點不在坐標軸上存在性問題求解的思路及策略（1）思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在．（2）策略：①當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；②當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；③當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．1.已知點M是拋物線的對稱軸與準線的交點，過M作拋物線的一條切線，切點為P，且滿足．(1)求拋物線C的方程；(2)過作斜率為2的直線與拋物線C相交于點B，點，直線AT與BT分別交拋物線C于點E，F(xiàn)，設(shè)直線EF的斜率為k，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用導數(shù)求得切線方程，根據(jù)切線方程過點求得，再結(jié)合兩點間距離公式運算求解；（2）根據(jù)題意聯(lián)立方程求點B的坐標，再分別求直線的方程和的坐標，代入斜率公式運算求解即可.【詳解】（1）∵拋物線，則，∴，設(shè)，則在點處的切線斜率，故在點處的切線方程為，即，∵切線過點，則，解得，則，解得，故拋物線C的方程為.（2）存在，，理由如下：由題意可得：直線的方程為，即，聯(lián)立方程，解得或，即直線與拋物線的交點坐標為，∵直線的斜率，故其方程為，聯(lián)立方程，解得或，即點，又∵直線的斜率，故其方程為，聯(lián)立方程，解得或，即點，故直線EF的斜率為，則.2.已知雙曲線：（，）的離心率為，點到其左右焦點，的距離的差為2．(1)求雙曲線的方程；(2)在直線上存在一點，過作兩條相互垂直的直線均與雙曲線相切，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率以及點到左、右焦點的距離之差為2，可求得a，b，c，進而求得雙曲線的標準方程；（2）根據(jù)過點作兩條相互垂直的直線與雙曲線相切，討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿足條件；②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為，，從而得到切線方程，再根據(jù)切線與雙曲線相切，聯(lián)立方程組，得，進而可得關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)兩切線互相垂直有，即可得到，再結(jié)合在直線上，推出，求解即可得到的取值范圍．【詳解】（1）依題意有雙曲線的左、右焦點為，，則，得，則，所以雙曲線的方程為；（2）①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿足條件；②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為，，則切線方程為，聯(lián)立，消并整理得，則，化簡得，即，化成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)該方程的兩根為，，即為兩切線的斜率，所以，即，又點在直線上，所以直線與圓有交點，所以，即，即，故的取值范圍為．3.已知雙曲線C：上任意一點Q（異于頂點）與雙曲線兩頂點連線的斜率之積為，E在雙曲線C上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，|EF|的最小值為.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)過橢圓上任意一點P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，交兩漸近線于M，N兩點，且，是否存在m，n使得橢圓的離心率為？若存在，求出橢圓的方程，若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在符合題意的橢圓，其方程為【分析】（1）設(shè)，由及可得，得，再結(jié)合即可解決問題；（2）設(shè)，則PM方程為，聯(lián)立漸近線方程得到，進一步得到，同理得到，再利用計算即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)，由，所以，

①又點在上，所以，即，

②由①②得：，

③又E在雙曲線C上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，|EF|的最小值為，所以，

④又，⑤聯(lián)立③④⑤解得：，所以雙曲線C的標準方程為：（2）假設(shè)存在，由（1）知的漸近線方程為，則由題意如圖：所以由，

設(shè)，則直線方程為，直線方程為由，得；由，得

又，所以，所以，，同理可得，，由四邊形是平行四邊形，知，所以，，即，所以，存在符合題意的橢圓，其方程為.【題型四】面積比值范圍型圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.1.（2022·全國·高三專題練習）是橢圓的右焦點，其中.點、分別為橢圓的左、右頂點，圓過點與坐標原點，是橢圓上異于、的動點，且的周長小于.(1)求的標準方程；(2)連接與圓交于點，若與交于點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得出，由橢圓的定義結(jié)合三點共線可得出的周長小于，可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得，即可求得、的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)，可得出，求出點、的橫坐標，利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的表達式，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因為圓過點與坐標原點，.設(shè)的左焦點為，則的周長，所以，，則，且，故，所以，，.因此，橢圓的坐標方程為.（2）解：設(shè)，其中，其中，且，直線的斜率為，所以，直線的方程為，同理可知直線的方程為，又，所以，直線的方程為.聯(lián)立直線、的方程，可得，解得，聯(lián)立直線、的方程，可得，解得.所以，.2.（2023下·福建福州·高三?？迹┤鐖D，已知圓的左頂點，過右焦點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當直線軸時，.(1)求橢圓C的方程；(2)記的面積分別為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由頂點坐標得，再由通徑長得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達定理得，求出的范圍，解不等式得的范圍，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）由已知，當直線軸時，是橢圓的通徑，所以，，橢圓方程為；（2）由（1）得，即，由題意直線斜率不可能為0，設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，，，，時，，，時，，記，顯然，則，解得，，綜上，，所以．3.（2022·湖北黃岡·蘄春縣第一高級中學?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，圓，橢圓與圓交于點，且.(1)求橢圓方程.(2)若過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點，與圓交于兩點，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得到，得到，設(shè)，得到，即可橢圓的方程；（2）由（1）得，得到且，分別為橢圓和圓的弦長，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，得到和，和分別重合，求得；設(shè)直線，聯(lián)立方程組得到，求得，以及點到直線的距離和，得到，令，則，得到，結(jié)合導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，圓，可得圓心坐標，則，即，設(shè)，則，整理得，即橢圓的方程為.（2）解：由（1）得，因為且,所以且，分別為橢圓和圓的弦長，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，由，可得此時和，和分別重合，所以，所以，此時，則；當直線的斜率存在時設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，因為點到直線的距離，所以，又由，兩邊平方，可得，因為，令，則，又因為，所以，設(shè)，可得，當時，，所以在上單調(diào)遞減，又由，所以，即，綜上可得，的取值范圍為.【題型五】非常規(guī)型四邊形面積最值型求非常規(guī)型四邊形的面積最大值，首先要選擇合適的面積公式，對于非常規(guī)四邊形，如果使用的面積公式為，為此計算，代入轉(zhuǎn)化為的函數(shù)求最大值.1.（2023·全國·高三專題練習）已知圓為坐標原點，點在圓上運動，為過點的圓的切線，以為準線的拋物線恒過點，拋物線的焦點為，記焦點的軌跡為．(1)求的方程；(2)過動點的兩條直線均與曲線相切，切點分別為，且的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由拋物線的定義結(jié)合橢圓的定義可得，即可求出的方程；（2）設(shè)過的切線，聯(lián)立橢圓方程并整理為關(guān)于x的一元二次方程，由l與橢圓C相切有，整理為關(guān)于k的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及求得直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，用韋達定理表示出，再求出，點到直線的距離為，則，結(jié)合的范圍，代入化簡即可求出答案.【詳解】（1）分別過作的垂線，垂足分別為，連接，由拋物線的定義，可得，則．因為，所以焦點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中，所以拋物線的焦點的軌跡方程為

（2）設(shè)點，過點的直線的斜率為，則方程為，聯(lián)立方程組，消得，，整理得，，即，所以點在方程為的圓上．設(shè)點在橢圓上，則，則，由知，滿足：則，即，故，從而得切線的方程為整理得，點滿足方程，則，同理可得即點滿足方程，所以的方程為．消得，，，．設(shè)，點到直線的距離為，；．所以．

2.（2023·全國·高三專題練習）已知是橢圓的左右焦點，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，點在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的面積及內(nèi)切圓的半徑列出方程組求得得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，，寫出直線的方程求出的坐標，并求出，，將表示為的函數(shù)，使用基本不等式求最大值.【詳解】（1）由題意知，則，又，則，又，解得，所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，可得，則，直線的方程：，所以，同理，，，，當且僅當時，四邊形的面積最大，最大值為4．3.（2023·全國·高三專題練習）如圖．已知圓，圓．動圓與這兩個圓均內(nèi)切．

(1)求圓心的軌跡的方程；(2)若、是曲線上的兩點，是曲線C上位于直線兩側(cè)的動點．若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)動圓與兩個已知圓的切點分別為，根據(jù)橢圓的定義可得點的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，求出可得答案；（2）設(shè)，，直線的方程為，代入橢圓方程，由得的范圍，利用韋達定理得四邊形的面積可得答案；【詳解】（1）如圖，設(shè)動圓與兩個已知圓的切點分別為，由，，所以點的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，所以，所以點的軌跡方程為：；

（2）設(shè)，，直線的方程為，代入中，整理得，，解得，，，

四邊形的面積，當時，，所以四邊形面積的最大值為；

【題型六】“三定”型：圓過定點圓過定點思維：1.可以根據(jù)特殊性，計算出定點，然后證明2.利用以“某線段為直徑”，轉(zhuǎn)化為向量垂直計算2.利用對稱性，可以猜想出定點，并證明。4.通過推導求出定點（計算推導難度較大）1.已知橢圓的左、右頂點分別為，且，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓上不同于的一點，直線，與直線分別交于點.試判斷以為直徑的圓是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】(1)(2)以為直徑的圓過定點，.【分析】（1）根據(jù)橢圓的標準方程和離心率列方程組求解即可；（2）設(shè)，由題意可得，，設(shè)定點為，利用即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，解得，所以所以求橢圓的方程為.（2）設(shè)，由（1）可知，斜率存在且不為0，依題意可知的直線方程為，的直線方程為，令，可得，，假設(shè)以為直徑的圓過定點，不妨設(shè)定點為，依題意可知，，所以，，為，所以.因為，所以，令，可得，解得，，所以以為直徑的圓過定點，.2.已知橢圓經(jīng)過點，且右焦點為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩個不同的點，，直線與軸交于點，直線與軸交于點，問以為直徑的圓是否過軸上的定點，若是求出定點坐標，若不是說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圖像過的點和右焦點得到，求出，即可得到橢圓C的標準方程（2）設(shè)出直線的解析式，與橢圓聯(lián)立，得到與的表達式，設(shè)出直線與直線的解析式，得到點與點坐標，進而求出圓的方程，即可得到以為直徑的圓過軸上的定點.【詳解】（1）由題意在橢圓中，圖像過點，且右焦點為∴∴∴橢圓的標準方程為（2）由題意及（1）得在中，過點的直線與橢圓交于兩個不同的點，，直線與軸交于點，直線與軸交于點，∴直線斜率存在，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程，得∴，直線的解析式為直線的解析式為∴，圓心為以為直徑的圓的方程為：即∵∴在中，令，得∴以為直徑的圓過軸上的定點3.已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進而求解；（2）設(shè)方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，進而得到，進而求解.【詳解】（1）當軸時，兩點的橫坐標均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設(shè)方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經(jīng)過定點；方法二：設(shè)方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點.設(shè)以為直徑的圓過，，而，，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經(jīng)過定點.【題型七】“三定”型：斜率和定設(shè)拋物線，其上有不同的三點：，當?shù)男甭蕽M足：①時，過定點②時，過定點或者1.已知點F是橢圓的右焦點，P是橢圓E的上頂點，O為坐標原點且.（1）求橢圓的離心率e；（2）已知，，過點M作任意直線l與橢圓E交于A，B兩點.設(shè)直線，的斜率分別為，，若，求橢圓E的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)可求出；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達定理建立關(guān)系可得對任意成立，可求出，得出橢圓方程.【詳解】（1）由題可得，，，即，，；（2）由（1）可得橢圓方程為，當直線l的斜率存在時，設(shè)l：，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓，得，則，即，則，，，，即對任意成立，即，則橢圓方程為，當直線斜率不存在時，則直線方程為，則，且此時，滿足題意，綜上，橢圓方程為.2..在平面直角坐標系中，己知圓心為點Q的動圓恒過點，且與直線相切，設(shè)動圓的圓心Q的軌跡為曲線.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）過點F的兩條直線、與曲線相交于A、B、C、D四點，且M、N分別為、的中點.設(shè)與的斜率依次為、，若，求證：直線MN恒過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)題意得到，即可求得曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)，的方程為，聯(lián)立方程組分別求得，和，進而得出，進而得出，得出直線的方程，即可判定直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)，因為圓心為點Q的動圓恒過點，且與直線相切，可得，化簡得.（Ⅱ）設(shè)，的方程分別為，，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，同理所以，由，可得，所以直線的方程為整理得，所以直線恒過定點.3.已知右焦點為的橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過的直線與橢圓分別交于、（不與點重合），直線、分別與軸交于、，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，且直線的方程為.【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，設(shè)直線、的斜率分別為、，將韋達定理代入等式，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為橢圓經(jīng)過點，且該橢圓的右焦點為.所以，，解得，因此，橢圓的標準方程為；（2）存在直線，使得，理由如下：若直線與軸垂直，則直線過點，不合乎題意，由已知可設(shè)所在直線的方程為，代入橢圓的方程，得，，設(shè)、，則，，記直線、的斜率分別為、，欲使直線滿足，只需.因為、、三點共線，所以，即.即.由，即，可得.所以存在直線，使得，此時直線的方程為，即.【題型八】“三定”型：斜率積定給定橢圓，與橢圓上定點，過P點走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有①若，則直線過定點②若，則直線過定點1.已知橢圓經(jīng)過點，其左焦點為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)橢圓C的右頂點為A，若點P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，證明：直線PQ過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)橢圓所過點和左焦點的坐標，列出關(guān)于的方程組，解之可得；（2）直線的方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用韋達定理得，代入后化簡得的關(guān)系，此關(guān)系代入直線方程可得定點坐標．【詳解】（1）由題意可得，解得，橢圓方程為；（2）由（1）知，由已知直線斜率同號，因此直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，，，由韋達定理得，，代入，，得，整理得或，時，滿足，此時直線方程為，過定點，不合題意，時，由得，直線方程為，過定點．2.已知橢圓的左、右頂點分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點，M在N的左側(cè)．(1)若直線l的斜率，求原點O到直線l的距離；(2)記直線AM，BN的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出直線l方程，根據(jù)直線l與C相切求出或，再利用點到直線距離公式即可求出.（2）設(shè)直線l方程為，根據(jù)直線l與C相切求出，再把直線方程與圓的方程聯(lián)立，借助韋達定理得到關(guān)系式，代入即可化簡出定值.【詳解】（1）由題意知直線l斜率存在，設(shè)直線l方程為，與橢圓聯(lián)立得.因為直線l與C相切，所以，故.當時，，或，直線l方程為.所以原點O到直線l的距離為.（2）設(shè)，，，由已知可得，，∴，.由（1）得，，.所以①，由，得，由韋達定理得，，，故，∴，代入①式整理可得，所以為定值．3.．已知橢圓的離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，已知A，B，C為橢圓E上三個不同的點，原點O為的重心；①如果直線AB，OC的斜率都存在，求證：為定值；②試判斷的面積是否為定值，如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析；②為定值，【分析】（1）利用條件直接求出，從而求出橢圓的方程；（2）①設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程得，利用豐達定理求出中點坐標，進而可得出證明；②分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，利用條件分別求出的面積，從而判斷出是否為定值.【詳解】（1）因為，得到，又，解得所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得到，設(shè)，由韋達定理得到，，由，得，設(shè)線段的中點，因為為的重心，所以，為定值.②設(shè)，因為原點O為的重心，所以，當直線的斜率不存在時，有或，由重心的性質(zhì)知，當時，直線方程為，時，直線方程為，將或代入，均求得，又到直線的距離為3，所以，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由①知，，又因為原點O為的重心，所以，又因為點在曲線上，代入，得，化簡得，又，所以，原點到直線的距離所以為定值，綜上所述，的面積是為定值，定值為.【題型九】圓錐曲線切線型在利用橢圓（雙曲線）的切線方程時，一般利用以下方法進行直線：（1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進行求解；（2）橢圓（雙曲線）在其上一點的切線方程為，再應(yīng)用此方程時，首先應(yīng)證明直線與橢圓（雙曲線）相切.雙曲線的以為切點的切線方程為拋物線的切線：（1）點是拋物線上一點，則拋物線過點P的切線方程是：；（2）點是拋物線上一點，則拋物線過點P的切線方程是：．1.已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標準方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達定理法及導數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點M，再由弦長公式及兩點距離公式表示出，進而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點，此時切線平行無交點．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因為，所以設(shè)，則，則，當且僅當，即時，的最大值是2．另解：當直線l的斜率存在時，設(shè)l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設(shè)，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當時，即時，取得最大值，為2．2.已知橢圓的左、右焦點分別為，焦距為2，上一點到距離之和為6.(1)求的方程；(2)設(shè)在點處的切線交軸于點，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)的值直接求解；(2)先求出過橢圓上一點的切線方程，再求出點坐標，從而即可證明.【詳解】（1）由題意知，，得，，得,由于，故橢圓C的方程為.（2）當切線斜率不存在時，切線方程為，重合，等式成立；當切線斜率為0時，切線與x軸不相交，不符合題意；當切線斜率存在時，設(shè)由于對稱性，不妨設(shè)為橢圓上半部分曲線的一個點,由，得，則，所以切線的斜率為，得切線方程為，即，整理得，即，所以切線方程為，令，得，即，由（1）知，，則，，，，又，得，所以，，所以，即，得證.3.法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發(fā)現(xiàn)了一個有趣的重要結(jié)論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；(2)設(shè)P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.【答案】(1)橢圓C的方程為，蒙日圓的方程為(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率結(jié)合題設(shè)求得，即得橢圓方程，進而寫出蒙日圓的方程；（2）設(shè)，設(shè)過點P的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合判別式確定點的軌跡方程，進而利用基本不等式求得，即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，焦距為2c.由題意可知，所以，橢圓C的方程為，且蒙日圓的方程為；（2）設(shè)，設(shè)過點P的切線方程為，由，消去y得①，由于相切，所以方程①的，可得：，整理成關(guān)于k的方程可得：，由于P在橢圓外，故，故，設(shè)過點P的兩切線斜率為，據(jù)題意得，，，又因為，所以可得，即點的軌跡方程為：，由不等式可知：，即，當且僅當時取等號，此時，所以，即的面積的最大值為.【題型十】“韋達定理”不能直接用1.利用公式，可消去參數(shù)2.可以直接借助韋達定理反解消去兩根定比分點型，即題中向量（或者線段長度滿足）可以利用公式，可消去1.已知橢圓的上下兩個焦點分別為，過點與軸垂直的直線交橢圓于兩點，的面積為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知為坐標原點，直線與軸交于點，與橢圓交于兩個不同的點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}【解析】（Ⅰ）根據(jù)題目條件，由橢圓焦點坐標和對稱性計算的面積，建立等式關(guān)系，結(jié)合關(guān)系式，離心率計算公式，問題可得解；（Ⅱ）由題意，可分直線是否過原點，對截距進行分類討論，再利用橢圓對稱性、向量共線、直線與橢圓有交點等性質(zhì)、條件進行運算即可.試題解析：（Ⅰ）根據(jù)已知橢圓的焦距為，當時，，由題意的面積為，由已知得，∴，∴，∴橢圓的標準方程為．（Ⅱ）若，則，由橢圓的對稱性得，即，∴能使成立．若，由，得，因為，，共線，所以，解得．設(shè)，，由得，由已知得，即，且，，由，得，即，∴，∴，即．當時，不成立，∴，∵，∴，即，∴，解得或．綜上所述，的取值范圍為．2.在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，點M的軌跡為曲線E．(1)求E的方程；(2)直線l交曲線E于P，Q兩點，交x軸于N點，交y軸于R點，若，若，求點N的坐標．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)點到直線距離和兩點間距離公式依題意計算即可.(2)根據(jù)已知把用兩根和及兩根積表示,計算即可.【詳解】（1）由題意，點到距離為，到的距離為，∴化簡得：即（2）法一：由題意，l斜率一定存在，設(shè)其斜率為k，設(shè)N點坐標，直線l方程為，由消去y得：令設(shè)點的坐標分別為則由，得∴同理由，得∵，得，得將得∴N點坐標為法二：由題意，設(shè)l方程為，則N為由得令設(shè)坐標分別為則由，得同理，由，得由，得，且得。。。∴N點坐標為3.已知橢圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點和上頂點B，且（其中A為右頂點）.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，且，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程組，即可求橢圓方程；（2）討論直線的斜率不存在和存在兩種情況，聯(lián)立方程，將向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，并利用韋達定理消元整理，并根據(jù)，求解.【詳解】（1）由題可知解得故橢圓的方程為.（2）當直線l的斜率不存在時，設(shè)，，，由，，得，同理，當,時，得，所以，當直線l的斜率存在時，即時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去y得.因為直線l與橢圓C交于不同的兩點P、Q，所以，即①.設(shè)，則②，則，由，得③，③代入②得，化簡整理得④，將④代入①得，化簡得，解得或.綜上，m的取值范圍為.【