專題8-2圓錐曲線綜合大題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u講高考 1題型全歸納 2【題型一】求根型 2【題型二】最值型 3【題型三】多斜率計算型 5【題型四】韋達(dá)定理復(fù)雜轉(zhuǎn)化型 5【題型五】線段（向量）定比型 6【題型六】求軌跡方程型 7【題型七】定點(diǎn)定值定曲線型 8【題型八】非對稱非偉達(dá)型 9專題訓(xùn)練 10講高考1．（普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（山東卷））已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓一個頂點(diǎn)，以橢圓的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．3．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.4．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.5．(2020年天津市高考數(shù)學(xué)試卷)已知橢圓的一個頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．題型全歸納【題型一】求根型【講題型】例題1.已知橢圓x2a2（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F做互相垂直的兩條直線l1，l2分別交直線l：x=4于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN分別交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線．例題2.已知拋物線方程y2=4x,F為焦點(diǎn)，P為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q為線段PF與拋物線的交點(diǎn)，定義：（1）當(dāng)P?1,?83（2）證明：存在常數(shù)a，使得2dP（3）P1,P2,P3【講技巧】求根型有以下幾種：1.知道一根求另一根2.求根公式型3.韋達(dá)定理型【練題型】1、如圖所示，橢圓的離心率為，其右準(zhǔn)線方程為，A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)A、B作斜率分別為、，直線AM和直線BN分別與橢圓C交于點(diǎn)M，N（其中M在x軸上方，N在x軸下方）.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線MN恒過橢圓的左焦點(diǎn)，求證：為定值.2.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，分別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的面積為，其中為的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)異于坐標(biāo)軸的直線與交于，兩點(diǎn)，射線，分別與圓交于，兩點(diǎn)，記直線和直線的斜率分別為，，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【題型二】最值型【講題型】例題1.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率為，且過點(diǎn)，不過橢圓頂點(diǎn)的動直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求三角形面積的最大值，并求取得最值時直線、的斜率之積.例題2.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)，在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求面積的最大值．【講技巧】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：1、幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；2、函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.3、此類問題通過聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解．比較多的是分式型，以下幾種求最值的基本方法：（1）（2）與型，可以設(shè)mx+n=t，換元，簡化一次項，然后構(gòu)造均值或者對勾函數(shù)求解。（3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解【練題型】1.已知橢圓C:的離心率為,且過(1)求C的方程.(2)若為上不與重合的兩點(diǎn),為原點(diǎn),且,,①求直線的斜率;②與平行的直線與交于,兩點(diǎn),求面積的最大值.2.如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．【題型三】多斜率計算型【講題型】例題1.點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，，，若.（1）求曲線的方程；（2）是否存在常數(shù)，滿足？若存在，求出；若不存在，說明理由.例題2.橢圓：的離心率，長軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是圓上異于點(diǎn)和的任一點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，，直線與橢圓交于點(diǎn)，.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，，的斜率分別為，，，.問：是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【練題型】1.已知中，，，，點(diǎn)在上，且.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，求證：為定值.2.已知點(diǎn)在橢圓上，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，直線平行于（為原點(diǎn)），且與橢圓交于兩點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)（介于、兩點(diǎn)之間，且點(diǎn)在左側(cè)）.（1）當(dāng)面積最大時，求的方程；（2）求證：；并判斷，，，的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列？【題型四】韋達(dá)定理復(fù)雜轉(zhuǎn)化型【講題型】例題1.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)且與平行的直線與橢圓交于點(diǎn).求的值.例題2.設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若(O為原點(diǎn))，求k的值.【講技巧】復(fù)雜型的韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化，比較多的是與角度，面積等有關(guān)，可以借助公式轉(zhuǎn)化為兩兩交點(diǎn)坐標(biāo)韋達(dá)定理形式，需要多積累多觀察多總結(jié)?！揪氼}型】1.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓C短軸的端點(diǎn)，若的面積為，且.（1）求橢圓C的方程；（2）若動直線與橢圓C交于，M為線段的中點(diǎn)，且M在曲線上，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).求的范圍.2.已知橢圓：，圓：的圓心在橢圓上，點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為2．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【題型五】線段（向量）定比型【講題型】例題1.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，A，F(xiàn)分別為雙曲線C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)B，的面積為(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線與雙曲線的左?右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，，求實數(shù)的取值范圍.例題2.已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)當(dāng)k變化時，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在實數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【講技巧】對于形如的線段或者向量定比分點(diǎn)型：1.利用公式，可消去參數(shù)2.可以直接借助韋達(dá)定理反解消去兩根【練題型】1.已知點(diǎn)M，N分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)斜率不為0的直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，并且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．2.．已知P是橢圓上的動點(diǎn)，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值之比為，P到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對值為2.（1）求橢圓C的方程；【題型六】求軌跡方程型【講題型】例題1．已知雙曲線與直線．(1)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)若直線l與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．例題2.已知雙曲線，點(diǎn)A，B在雙曲線右支上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若過點(diǎn)A作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)M，N，證明：平行四邊形的面積為定值；(2)若，D為垂足，求點(diǎn)D的軌跡的長度．【講技巧】求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.【練題型】1.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)分別在橢圓和直線上，，為的中點(diǎn)，若為直線與直線的交點(diǎn)．是否存在一個確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由．2.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn).(1)若，求此時直線l的方程；(2)若與直線l垂直的直線過點(diǎn)F，且與拋物線C相交于點(diǎn)M，N，設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為P，Q，如圖1.求證：直線PQ過定點(diǎn)；(3)設(shè)拋物線C上的點(diǎn)S，T在其準(zhǔn)線上的射影分別為，，若的面積是△STF的面積的兩倍，如圖2.求線段ST中點(diǎn)的軌跡方程.【題型七】定點(diǎn)定值定曲線型【講題型】例題1.拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)．(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)若是直線上的一動點(diǎn)，過向作兩條切線，切點(diǎn)為M，N，試探究直線MN是否過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)，若否，請說明理由.例題2.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線和圓的方程；(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.【講技巧】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．直線過定點(diǎn)問題或圓過定點(diǎn)問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再表達(dá)出直線方程或圓的方程，結(jié)合方程特點(diǎn)，求出所過的定點(diǎn)坐標(biāo).【練題型】1.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩動點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知．求證：直線恒過x軸上一定點(diǎn).2.已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線C和圓F的方程；(2)若點(diǎn)P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，請問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【題型八】非對稱非偉達(dá)型【講題型】例題1.已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．例題2.已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上的動點(diǎn)，的最大值為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，試探究點(diǎn)是否在某條定直線上，若是，請求出該定直線方程，若不是，請說明理由.【練題型】1.已知橢圓：，點(diǎn)、分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)、分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)任作一條不與y軸垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，的周長為8.（1）求橢圓的方程.（2）若直線，交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在某條定直線點(diǎn)上，若是，求出的值；若不是，請說明理由.2.設(shè)橢圓的離心率為，直線過橢圓的右焦點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)；若垂直于軸，則.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn).求證：點(diǎn)在定直線上.1．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線垂直于軸，與橢圓交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在橢圓上．2．已知橢圓C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F與l垂直的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍．3．已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為，過右焦點(diǎn)F作斜率為正的直線l交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，交兩條漸近線于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)A，C在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線E的方程；(2)設(shè)，，的面積分別是，，，若不等式恒成立，求的取值范圍．4．已知拋物線E：（p>0），過點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．5．已知拋物線，過其焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，相交于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若PA，