1.2空間向量的基本定理（第一課時）復

習

回

顧平面向量基本定理：

如果

e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量

a，有且只有一對實數

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．復習鞏固啟示：平面中的任意向量可以由兩個不共線向量的線性運算來表示，且只要基底確定,則表示形式是唯一的.平面向量的分解特別的：平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.MNO問題1

平面中的任意向量可以由兩個不共線向量的線性運算來表示，那么空間中的任意向量能不能通過有限個向量的線性運算來表示呢？兩個不共線的向量還夠用嗎？至少需要幾個向量來表示？探究新知用兩個不共線的向量只能表示共面的向量；至少用三個不共面的向量；先考慮三個不共面的向量兩兩互相垂直的特殊情況；探究新知pijkPQOαxiyjzk

存在唯一的有序實數組（x,y,z）,使得：我們稱

xi，yj，zk分別為向量

p

在

i，j，k上的分向量．p

問題2如果給定的三個不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運算表示任意一個空間向量嗎？abcp探究新知abcOPαpacbBCAQ問題2如果給定的三個不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運算表示任意一個空間向量嗎？探究新知QαabcOPpacbBCA問題2如果給定的三個不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運算表示任意一個空間向量嗎？探究新知OQPpacbBCAαabc問題2如果給定的三個不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運算表示任意一個空間向量嗎？探究新知xaOQPpacbybzcBCAαabc問題2如果給定的三個不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運算表示任意一個空間向量嗎？探究新知你能類比平面向量基本定理的表述，寫出空間向量基本定理嗎？如果

e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數

λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．探究新知

我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．不唯一空間向量的分解啟示：空間中的任意向量可以由三個不共面向量的線性運算來表示，且只要基底確定,則表示形式是唯一的.空間向量間的運算

基向量間的運算轉化空間向量基本定理

特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．

把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．aijkPQO探究新知同學們，學習了空間向量基本定理，建立了“空間基底”的概念，我們就可以利用基底表示任意一個空間向量，進而把空間向量的運算轉化為基向量的運算，所以，基底概念的引入為幾何問題代數化奠定了基礎.

由向量共線定理、平面向量基本定理及空間向量基本定理的一致性和連貫性，下面我們來對比一下這三個定理：向量共線定理平面向量基本定理空間向量基本定理表述形式基向量個數基向量要求對于實數(對、組)定理分類123探究新知例1：如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN=ON，AP=AN，用向量表示.例題示范策略：用基底表示空間向量時,一般要結合圖形特征,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.（化歸法）課本練習2.已知O,A,B,C為空間的四個點，且向量不構成空間的一個基底，那么點O,A,B,C是否共面?（課本P12練習)知識鞏固3.如圖，已知平行六面體OABC-O'A'B'C'，點G是側面BB'C'C的中心，且（1）是否構成空間的一個基底？（2）如果構成空間的一個基底，那么用它表示下列向量：（課本P12練習T3）BCOA1B1C1O1AG知識鞏固課本練習ABCDMNB1A1C1D1

例題示范證線線垂直(向量數量積為0)ACDBC1D1B1A1NM空間向量基底的判斷依據(1)判斷一組向量能否作為空間向量的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為空間向量的一個基底．(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應的向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．

解題策略CABDEFG

例題示范證明線線平行(共線定理)典例分析例3

如圖示,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E,F,G分別為C'D′,A'D',D'D的中點.(1)求證：EF//AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值.BDCA′B′C′D′AGFE證明線線平行(共線定理)CABDEFG

例題示范求異面直線所成角(向量夾角)典例解析例3

如圖示,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E,F,G分別為C'D′,A'D',D'D的中點.(1)求證：EF//AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值.BDCA′B′C′D′AGFE求異面直線所成角(向量夾角)24解題方法歸納

應用一個定理：空間向量基本定理

學習一種方法：向量方法

體會一種思想：轉化與化歸思想課堂小結問：如何尋找恰當的基底？基底的選擇一般有兩個條件：首先必須是不共面的非零向量，其次，在進行基底選擇時要盡量選擇已知夾角和模長的向量，這樣會對后續(xù)計算帶來便利條件.立體幾何問題①適當選取基底向量運算②用基向量表示相關向量③將相關向量的問題轉化為基向量的問題向量問題向量問題的解立體幾何問題的解轉化向量方法理論基礎：空間向量基本定理用向量方法解決立體幾何問題的路徑轉化課后練習課本練習1.已知四面體OABC，OB=OC,∠AOB=∠AOC=θ.求證:

OA⊥BC.COBA課后練習課本練習2.如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=2，AA'=3，∠BAD=∠BAA'