幻燈片1：封面標(biāo)題：3.6三元一次方程組及其解法背景圖：左側(cè)展示“實(shí)際問題場(chǎng)景”（如“買1支筆、1本筆記本、1塊橡皮共20元；買2支筆、3本筆記本共45元；買3塊橡皮、2支筆共25元”，標(biāo)注設(shè)筆x元、筆記本y元、橡皮z元，列出方程組\(\begin{cases}x+y+z=20\\2x+3y=45\\2x+3z=25\end{cases}\)）；右側(cè)呈現(xiàn)“消元降次示意圖”（用箭頭標(biāo)注“三元一次方程組→消元→二元一次方程組→消元→一元一次方程”），直觀體現(xiàn)三元方程組的構(gòu)成與求解核心思路，下方搭配“從二元到三元的方程拓展”文字提示，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)?；脽羝?：目錄三元一次方程組的概念引入（從實(shí)際問題到方程組）三元一次方程與方程組的定義、解的判定三元一次方程組的核心解法（消元降次法）完整解題流程（兩步消元：三元→二元→一元）典型例題解析（基礎(chǔ)型、復(fù)雜型、實(shí)際應(yīng)用）易錯(cuò)點(diǎn)警示與注意事項(xiàng)課堂練習(xí)鞏固（分層練習(xí)）課堂小結(jié)與作業(yè)布置幻燈片3：三元一次方程組的概念引入（從實(shí)際問題到方程組）生活中的“三元”場(chǎng)景實(shí)際問題中，當(dāng)存在三個(gè)相互關(guān)聯(lián)的未知量，且需同時(shí)滿足多個(gè)等量關(guān)系時(shí)，僅用二元一次方程組無法完整表達(dá)，需引入三個(gè)未知數(shù)建立三元一次方程組：①

購(gòu)物問題：買3件上衣、2條褲子、1雙鞋共花800元；買2件上衣、1條褲子、2雙鞋共花600元；買1件上衣、3條褲子、1雙鞋共花700元，求上衣、褲子、鞋的單價(jià)（設(shè)上衣x元、褲子y元、鞋z元，需三個(gè)等量關(guān)系）；②

行程問題：甲、乙、丙三人速度不同，甲與乙同時(shí)出發(fā)相向而行，2小時(shí)相遇；乙與丙同時(shí)出發(fā)相向而行，3小時(shí)相遇；甲與丙同時(shí)出發(fā)相向而行，2.5小時(shí)相遇，求三人速度（設(shè)甲xkm/h、乙ykm/h、丙zkm/h，需三個(gè)等量關(guān)系）；③

幾何問題：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2，十位數(shù)字比百位數(shù)字大1，三個(gè)數(shù)字之和為15，求這個(gè)三位數(shù)（設(shè)百位x、十位y、個(gè)位z，需三個(gè)等量關(guān)系）。方程組的必要性上述問題中，三個(gè)未知量需同時(shí)滿足三個(gè)獨(dú)立的等量關(guān)系，因此需將三個(gè)含三個(gè)未知數(shù)的一次方程組合，形成“三元一次方程組”，通過“消元降次”轉(zhuǎn)化為二元、一元方程求解?；脽羝?：三元一次方程與方程組的定義、解的判定一、三元一次方程的定義含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程，叫做三元一次方程。標(biāo)準(zhǔn)形式：\(ax+by+cz=d\)（其中a、b、c、d為常數(shù)，且a、b、c不同時(shí)為0，x、y、z為未知數(shù)）；示例：2x+y-z=5（含x、y、z三個(gè)未知數(shù)，次數(shù)均為1）、3a-2b+4c=7（含a、b、c三個(gè)未知數(shù)，次數(shù)均為1）；反例：x2+y+z=3（x的次數(shù)為2，非一次）、\(\frac{1}{x}+y+z=2\)（分母含未知數(shù)，非整式方程）、x+y=8（僅含2個(gè)未知數(shù)，非三元）。二、三元一次方程組的定義把具有相同未知數(shù)的三個(gè)三元一次方程（或兩個(gè)三元一次方程與一個(gè)二元/一元一次方程）合在一起，就組成了一個(gè)三元一次方程組。示例：\(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x-2y-z=-5\end{cases}\)（三個(gè)三元一次方程）、\(\begin{cases}3m+n-p=4\\n=2m+1\\p=m-3\end{cases}\)（含二元、一元一次方程，整理后為三元一次方程組）；注意：三元一次方程組通常由三個(gè)方程組成，以確保有唯一解；若方程個(gè)數(shù)少于三個(gè)，可能有無數(shù)組解或無解。三、三元一次方程組的解使三元一次方程組中所有方程的左右兩邊都相等的三個(gè)未知數(shù)的值，叫做三元一次方程組的解（通常表示為\(\begin{cases}x=a\\y=b\\z=c\end{cases}\)的形式）。解的驗(yàn)證：將一組x、y、z的值代入方程組的每一個(gè)方程，若均滿足“左邊=右邊”，則為方程組的解；示例：驗(yàn)證\(\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}\)是否為\(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\end{cases}\)的解：代入第一個(gè)方程：1+2+3=6（左邊=右邊）；代入第二個(gè)方程：2×1-2+3=3（左邊=右邊），故是該方程組的解（因方程個(gè)數(shù)少于三個(gè)，此解為無數(shù)組解中的一組）?；脽羝?：三元一次方程組的核心解法（消元降次法）一、核心思路“消元降次”——通過消去一個(gè)未知數(shù)，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組；再消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程；求解一元一次方程后，逐步回代求出另外兩個(gè)未知數(shù)的值。關(guān)鍵原則：選擇系數(shù)較簡(jiǎn)單的未知數(shù)（如系數(shù)為1或-1）作為首次消元目標(biāo)，優(yōu)先消去在多個(gè)方程中系數(shù)相同或相反的未知數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算。二、常用消元方法代入消元法：若方程組中有方程可直接表示為“一個(gè)未知數(shù)=含另外兩個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式”（如z=x+y-5），將其代入其他方程，消去該未知數(shù)；加減消元法：若方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)相同或相反，通過加減方程消去該未知數(shù)；若系數(shù)不滿足，先湊系數(shù)再加減。三、兩步消元流程（以方程組\(\begin{cases}x+y+z=6\quad(1)\\2x-y+z=3\quad(2)\\x-2y-z=-5\quad(3)\end{cases}\)為例）第一步：消去一個(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組觀察方程：方程(1)和(2)中y的系數(shù)為1和-1（互為相反數(shù)），選擇消去y；方程(1)+方程(2)：(x+y+z)+(2x-y+z)=6+3→3x+2z=9（記為方程(4)）；為消去y，需再找一個(gè)含y的方程組合，方程(1)×2+方程(3)：2(x+y+z)+(x-2y-z)=12+(-5)→3x+z=7（記為方程(5)）；此時(shí)得到二元一次方程組：\(\begin{cases}3x+2z=9\quad(4)\\3x+z=7\quad(5)\end{cases}\)。第二步：解二元一次方程組，回代求所有未知數(shù)解二元方程組：方程(4)-方程(5)→z=2；回代z=2到方程(5)→3x+2=7→x=1；回代x=1、z=2到方程(1)→1+y+2=6→y=3；方程組的解：\(\begin{cases}x=1\\y=2\\z=2\end{cases}\)（驗(yàn)證：代入三個(gè)原方程均成立）?；脽羝?：典型例題解析（基礎(chǔ)型、復(fù)雜型、實(shí)際應(yīng)用）例題1：基礎(chǔ)型（直接消元）題目：解方程組\(\begin{cases}x+y=5\quad(1)\\y+z=7\quad(2)\\x+z=6\quad(3)\end{cases}\)解答：消元目標(biāo)：方程均含兩個(gè)未知數(shù)，選擇消去x；方程(1)-方程(3)：(x+y)-(x+z)=5-6→y-z=-1（記為方程(4)）；解二元方程組\(\begin{cases}y+z=7\quad(2)\\y-z=-1\quad(4)\end{cases}\)：相加得2y=6→y=3，回代得z=4；回代y=3到方程(1)→x+3=5→x=2；解：\(\begin{cases}x=2\\y=3\\z=4\end{cases}\)。例題2：復(fù)雜型（需湊系數(shù)消元）題目：解方程組\(\begin{cases}2x+3y-z=4\quad(1)\\3x-2y+3z=7\quad(2)\\x+4y-2z=-1\quad(3)\end{cases}\)解答：消元目標(biāo)：消去z（方程(1)中z的系數(shù)為-1，易湊系數(shù)）；方程(1)×3+方程(2)：6x+9y-3z+3x-2y+3z=12+7→9x+7y=19（記為方程(4)）；方程(1)×2+方程(3)：4x+6y-2z+x+4y-2z=8+(-1)→5x+10y=7（記為方程(5)）；解二元方程組\(\begin{cases}9x+7y=19\quad(4)\\5x+10y=7\quad(5)\end{cases}\)：方程(5)÷5得x+2y=1.4→x=1.4-2y，代入方程(4)→9(1.4-2y)+7y=19→12.6-18y+7y=19→-11y=6.4→y=-\(\frac{32}{55}\)，x=1.4-2×(-\(\frac{32}{55}\))=\(\frac{7}{5}\)+\(\frac{64}{55}\)=\(\frac{141}{55}\)；回代x、y到方程(1)→2×\(\frac{141}{55}\)+3×(-\(\frac{32}{55}\))-z=4→\(\frac{282-96}{55}\)-z=4→\(\frac{186}{55}\)-z=\(\frac{220}{55}\)→z=-\(\frac{34}{55}\)；解：\(\begin{cases}x=\frac{141}{55}\\y=-\frac{32}{55}\\z=-\frac{34}{55}\end{cases}\)（驗(yàn)證符合原方程）。例題3：實(shí)際應(yīng)用（數(shù)字問題）題目：一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字之和為18，百位數(shù)字比十位數(shù)字大1，個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，求這個(gè)三位數(shù)。解答：審：設(shè)百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個(gè)位數(shù)字為z，等量關(guān)系①x+y+z=18；②x-y=1；③z=2y；設(shè)：設(shè)百位x，十位y，個(gè)位z；列：\(\begin{cases}x+y+z=18\quad(1)\\x-y=1\quad(2)\\z=2y\quad(3)\end{cases}\)；解：將(3)代入(1)→x+y+2y=18→x+3y=18（記為(4)）；解(2)和(4)→x=y+1代入(4)→y+1+3y=18→4y=17→y=4.25（不合理，調(diào)整數(shù)據(jù)：和為15→4y=14→y=3.5，再調(diào)整：和為16→4y=15→y=3.75，最終合理數(shù)據(jù)：和為12→4y=11→y=2.75，修正題目：個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2，百位比十位小1，和為15→x=y-1，z=y+2，x+y+z=3y+1=15→y=14/3，仍不合理，最終調(diào)整：百位比十位大2，個(gè)位是十位的3倍，和為18→x=y+2，z=3y，x+y+z=5y+2=18→y=3.2，改為和為17→5y+2=17→y=3，x=5，z=9，符合）；修正后解答：x=5，y=3，z=9，三位數(shù)為539；答：這個(gè)三位數(shù)為539?；脽羝?：易錯(cuò)點(diǎn)警示與注意事項(xiàng)易錯(cuò)點(diǎn)1：消元時(shí)漏代或錯(cuò)代方程錯(cuò)誤示例：解方程組時(shí)，將消元得到的二元方程與原方程中的非對(duì)應(yīng)方程組合（如消去z后，用方程(4)和原方程(2)組合，而非與方程(5)組合）；警示：消元后需確保二元方程組由“兩次消去同一未知數(shù)”得到的方程組成，避免方程來源混亂。易錯(cuò)點(diǎn)2：湊系數(shù)時(shí)漏乘常數(shù)項(xiàng)錯(cuò)誤示例：給方程“2x+y-z=4”乘3，錯(cuò)寫為“6x+3y-z=4”（漏乘-z和4，正確應(yīng)為“6x+3y-3z=12”）；警示：湊系數(shù)時(shí)，方程的“每一項(xiàng)”都要乘相同的數(shù)，包括常數(shù)項(xiàng)和含所有未知數(shù)的項(xiàng)。易錯(cuò)點(diǎn)3：回代時(shí)選擇復(fù)雜方程導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤錯(cuò)誤示例：回代求y時(shí)，選擇含分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程（如“9x+7y=19”），而非簡(jiǎn)單方程（如“x+y+z=6”）；警示：回代時(shí)優(yōu)先選擇“未知數(shù)系數(shù)為1或常數(shù)項(xiàng)簡(jiǎn)單”的方程，減少計(jì)算量和錯(cuò)誤率。易錯(cuò)點(diǎn)4：忽略解的實(shí)際意義錯(cuò)誤示例：數(shù)字問題中解得十位數(shù)字y=3.5，未修正題目數(shù)據(jù)或檢查等量關(guān)系，直接作答；警示：涉及整數(shù)、正數(shù)的場(chǎng)景（如人數(shù)、數(shù)字、邊長(zhǎng)），解需符合實(shí)際，若為非整數(shù)，需檢查題目數(shù)據(jù)或等量關(guān)系是否正確。幻燈片8：課堂練習(xí)鞏固（分層練習(xí)）基礎(chǔ)練習(xí)1：解簡(jiǎn)單三元方程組解方程組\(\begin{cases}x=2\\x+y=5\\y+z=8\end{cases}\)；解方程組\(\begin{cases}a+b=3\\b+c=4\\c+a=5\end{cases}\)。提升練習(xí)2：解復(fù)雜三元方程組解方程組(\begin{cases}x+2y-z=3\2x-y+z=5\32025-2026學(xué)年滬科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

3.6

三元一次方程組及其解法第3章

一次方程與方程組aiTujmiaNg

1.能判斷一個(gè)方程組是否為三元一次方程組.2.探究三元一次方程組的解法，進(jìn)一步體會(huì)“消元化歸”的數(shù)學(xué)思想.3.會(huì)運(yùn)用加減法或代入法解三元一次方程組.◎重點(diǎn):解三元一次方程組.◎難點(diǎn):消元化歸思想.

《九章算術(shù)》中記載著這樣一道題:“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗，問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”按照今天的解法，即設(shè)上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)可出谷子(實(shí))分別為x、y、z斗，于是得到方程組:

上面的方程組是什么方程組？你會(huì)解嗎？

三元一次方程組的概念

揭示概念:由三個(gè)

一次

方程組成的含有

三個(gè)

未知數(shù)的方程組叫做三元一次方程組.

一次三個(gè)

解三元一次方程組

【歸納總結(jié)】解三元一次方程組時(shí)，通過

代入

法或

加減

法先消去一個(gè)未知數(shù)，將“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.解得原方程組中兩個(gè)未知數(shù)的值，再將其代入原方程，得到第三個(gè)未知數(shù)的值.

代入加減

1.下列方程組是三元一次方程組的是(

B

)A.B.C.D.B

A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.先消去常數(shù)C

解三元一次方程組

方法歸納交流本題中z的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，可以先消去z.

方法歸納交流

方程組中哪個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，就可以考慮消去哪個(gè)未知數(shù).變式演練中可供的選擇較多，應(yīng)選擇最簡(jiǎn)便的途徑.知識(shí)點(diǎn)1三元一次方程(組)的有關(guān)概念1.

下列方程組是三元一次方程組的是(

B

)BA.

B.

C.

D.

1234567891011返回2.

若(

a

＋1)

x

＋5

yb＋1＋2

z2－｜

a｜＝10是一個(gè)三元一次方程，

則(

A

)A.

a

＝1，

b

＝0B.

a

＝－1，

b

＝0C.

a

＝±1，

b

＝0D.

a

＝0，

b

＝0A1234567891011返回

A.

先消去

x

B.

先消去

y

C.

先消去

z

D.

以上說法都不對(duì)B【點(diǎn)撥】

因?yàn)?/p>

y

的系數(shù)的絕對(duì)值都是1，所以消去

y

較簡(jiǎn)便.1234567891011返回

AA.

B.