3.2不等式的基本性質(zhì)講解目錄講解目錄TOC\o"13"\h\u【知識(shí)點(diǎn)1】不等式的性質(zhì) 1【知識(shí)點(diǎn)2】不等式的解集 2【題型1】根據(jù)不等式的變形結(jié)果求字母系數(shù)的范圍 4【題型2】利用不等式的性質(zhì)比較大小 5【題型3】寫出不等式變形的依據(jù) 6【題型4】利用不等式的性質(zhì)變形 8知識(shí)講解知識(shí)講解【知識(shí)點(diǎn)1】不等式的性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變，即：

若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞b③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜b（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個(gè)數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項(xiàng)”，此時(shí)不等號(hào)方向不變，但移項(xiàng)要變號(hào)；②兩邊都乘、除同一個(gè)數(shù)，要注意只有乘、除負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向才改變．【規(guī)律方法】1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問(wèn)題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號(hào)的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對(duì)字母是否大于0進(jìn)行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．1.（2025春?寶山區(qū)校級(jí)期末）如果a＞b,那么下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)b＜0B．a(chǎn)+6＜b6C．a(chǎn)c2＞bc2D．?【答案】D【分析】根據(jù)不等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)或者式子，不等號(hào)不改變方向，不等式兩邊乘以乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方向，不等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)改變方向．【解答】解：A、由a＞b可得ab＞0，A錯(cuò)誤，不符合題意；B、由a＞b可得ac2＞bc2（c≠0），B錯(cuò)誤，故B不符合題意；C、由a＞b可得ab＞0，C錯(cuò)誤，故C不符合題意；D、由a＞b可得?a9＜?b9，則?故選：D．2.（2025春?路北區(qū)校級(jí)月考）已知a＜b,則一定有6+5a□6+5b、“□”中應(yīng)填的符號(hào)是（）A．＞B．＜C．≥D．=【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵a＜b,∴5a＜5b,∴6+5a＜6+5b.∴□的符號(hào)為：＜．故選：B．【知識(shí)點(diǎn)2】不等式的解集（1）不等式的解的定義：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱解集．（3）解不等式的定義：求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系不等式的解是一些具體的值，有無(wú)數(shù)個(gè)，用符號(hào)表示；不等式的解集是一個(gè)范圍，用不等號(hào)表示．不等式的每一個(gè)解都在它的解集的范圍內(nèi)．1.（2025春?南靖縣期中）不等式2x?4的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則?蓋住的符號(hào)是（）A．＞B．＜C．≥D．≤【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸上的表示得到x＜2，進(jìn)而利用不等式的性質(zhì)可得2x＜4，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由數(shù)軸得該不等式的解集為x＜2，利用不等式的性質(zhì)可得2x＜4，則?蓋住的符號(hào)是＜，故選：B．2.（2025春?長(zhǎng)安區(qū)期中）m、n是常數(shù)，若mx+n＞0的解是x＜12，則nxm＜A．x＜2B．x＜2C．x＞2D．x＞2【答案】A【分析】先移項(xiàng)得mx＞n,再根據(jù)mx+n＞0的解是x＜12，從而得出m＜0，nm=12，n＞0，再解nxm【解答】解：∵mx+n＞0的解是x＜12∴m＜0，nm=1∴n＞0，即nm=1∴nxm＜0的解為x＜mn=2故選：A．題型專練題型專練【題型1】根據(jù)不等式的變形結(jié)果求字母系數(shù)的范圍【典型例題】若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，則a的取值范圍是（）A.a＜3B.a＜﹣3C.a＞3D.a＞﹣3【答案】A【解析】∵x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，∴a﹣3＜0，則a＜3．故選：A．【舉一反三1】若x＜y，且（m﹣3）x＞（m﹣3）y，則m的取值范圍是（）A.m＜3B.m≥3C.m＞3D.m≤3【答案】A【解析】由x＜y，且（m﹣3）x＞（m﹣3）y，得m﹣3＜0．解得m＜3，故選：A．【舉一反三2】由x＜y得到ax＞ay，則a的取值范圍是

．【答案】a＜0【解析】∵x＜y，ax＞ay，∴a＜0．故答案為：a＜0．【舉一反三3】不等式mx＞2兩邊同乘以，得，求m的取值范圍．【答案】解：∵不等式mx＞2，兩邊同乘以，得x，∴m＜0．【舉一反三4】已知x＞y．（1）比較3﹣x與3﹣y的大小，并說(shuō)明理由．（2）若3+ax＞3+ay，求a的取值范圍．【答案】解：（1）∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴3﹣x＜3﹣y；（2）∵x＞y，3+ax＞3+ay，∴a＞0．【題型2】利用不等式的性質(zhì)比較大小【典型例題】若a＜0，則a與2a的大小關(guān)系是（）A.a＞2aB.aC.a＜2aD.無(wú)法比較【答案】A【解析】∵a＜0，∴a＞2a，故選：A．【舉一反三1】如果m＞n，ma與na比較，正確的是（）A.ma＞naB.ma＝naC.ma＜naD.無(wú)法確定【答案】D【解析】∵m＞n，∴當(dāng)a＞0，則ma＞na，當(dāng)a＜0，則ma＜na，當(dāng)a＝0，則ma＝na，故無(wú)法確定ma與na大?。蔬x：D．【舉一反三2】已知x＜y，比較﹣2x﹣3與﹣2y﹣3的大小，結(jié)果正確的是（）A.﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3B.﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3C.﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3D.﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3【答案】A【解析】∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，∴﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3．故選：A．【舉一反三3】若x＜y，試比較大小2x﹣6

2y﹣6（用“＞”、“＜”、“＝”填空）．【答案】＜【解析】∵x＜y，∴2x＜2y，∴2x﹣6＜2y﹣6．故答案為：＜．【舉一反三4】閱讀下面的解題過(guò)程，再解題．已知a＞b，試比較﹣2024a+1與﹣2024b+1的大小．解：因?yàn)閍＞b①，所以﹣2024a＞﹣2024b②，所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③．問(wèn)：（1）上述解題過(guò)程中，從第

步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）錯(cuò)誤的原因

．（3）請(qǐng)寫出正確的解題過(guò)程．【答案】解：（1）上述解題過(guò)程中，從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：②；（2）錯(cuò)誤地運(yùn)用了不等式的基本性質(zhì)3，即不等式兩邊都乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向沒(méi)有改變；故答案為：不等式兩邊都乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向沒(méi)有改變；（3）∵a＞b，∴﹣2024a＜﹣2024b，∴﹣2024a+1＜﹣2024b+1；【題型3】寫出不等式變形的依據(jù)【典型例題】根據(jù)不等式的性質(zhì)，將下列不等式變形為x＞a或x＜a的形式．（1）x，根據(jù)不等式的性質(zhì)

，不等式兩邊都

，得

；（2）2，根據(jù)不等式的性質(zhì)

，不等式兩邊都

，得

；（3）7x＞6x﹣4，根據(jù)不等式的性質(zhì)

，不等式兩邊都

，得

．（4）﹣8x＞16，根據(jù)不等式的性質(zhì)

，不等式兩邊都

，得

．【答案】（1）1，加上，x＜1；（2）2，乘3，x＞﹣6；（3）1，減去6x，x＞﹣4；（4）3，除以﹣8，x＜﹣2．【解析】（1）x，根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊都加上，得x＜1．故答案為：1，加上，x＜1；（2）2，根據(jù)不等式的性質(zhì)2，不等式兩邊都乘3，得x＞﹣6．故答案為：2，乘3，x＞﹣6；（3）7x＞6x﹣4，根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊都減去6x，得x＞﹣4．故答案為：1，減去6x，x＞﹣4；（4）﹣8x＞16，根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式兩邊都除以﹣8，得x＜﹣2．故答案為：3，除以﹣8，x＜﹣2．【舉一反三1】在括號(hào)里填上下列不等式變形的依據(jù)．（1）a+3＞0→a＞﹣3；

（2）a＜3→a＜6；

（3）﹣2a＞3→a；

（4）3a＞2a+1→a＞1．

【答案】不等式基本性質(zhì)1；不等式基本性質(zhì)2；不等式基本性質(zhì)3；不等式基本性質(zhì)1．．【解析】（1）不等式兩邊都加﹣3，不等號(hào)的方向不變，故答案為：不等式基本性質(zhì)1；（2）不等式兩邊都乘以2，不等號(hào)的方向不變，故答案為：不等式基本性質(zhì)2；（3）不等式兩邊都除以﹣2，不等號(hào)的方向改變，故答案為：不等式基本性質(zhì)3；（4）不等式兩邊都加﹣2a，不等號(hào)的方向不變，故答案為：不等式基本性質(zhì)1．【舉一反三2】說(shuō)明下列不等式的變形依據(jù)．①若3＜x+2，則x＞1．②若1，則x＜﹣2．③若6，則x＜4．【答案】解：①若3＜x+2，兩邊減去2，變形得：x＞1；②若x＜﹣1，兩邊乘以2得x＜﹣2；③若x＞﹣6，兩邊除以得x＜4；【舉一反三3】寫出下列不等式的變形依據(jù)：（1）若﹣3x＞2，則x；（2）若5，則x＜﹣10．【答案】解：（1）若﹣3x＞2，則x，根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊都除以﹣3；（2）若5，則x＜﹣10根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊都乘以﹣2．【題型4】利用不等式的性質(zhì)變形【典型例題】若a＜b，則下列不等式變形正確的是（）A.ac2＜bc2B.C.﹣ca＞﹣cbD.4a﹣c＜4b﹣c【答案】D【解析】A、當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；B、當(dāng)b＞0時(shí)，1，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；C、當(dāng)c＝0時(shí)，﹣ca＝﹣cb，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；D、∵a＜b，∴4a＜4b，∴4a﹣c＜4b﹣c，正確，符合題意．故選：D．【舉一反三1】下列不等式變形不正確的是（）A.由a＞b，得a﹣1＞b﹣1B.由﹣2a＞﹣2b，得a＞bC.由，得a＞bD.由2a＞b，得【答案】B【解析】A．∵a＞b，∴不等式兩邊同減1，得a﹣1＞b﹣1，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵﹣2a＞﹣2b，∴不等式兩邊同除以﹣2，得a＜b，故本選項(xiàng)符合題意；C．∵，∴兩邊同乘以c2，得a＞b，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵2a＞b，∴不等式兩邊同除以2，得，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【舉一反三2】已知a＜b，下列不等式變形不正確的是（）A.a+2＜b+2B.3a＜3bC.﹣2a＜﹣2bD.2a﹣1＜2b﹣1【答案】C【解析】A、根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式a＜b兩邊都加2可得a+2＜b+2，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)不等式性質(zhì)2，不等式a＜b兩邊都乘以3可得3a＞3b，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)不等式性質(zhì)3，不等式a＜b兩邊都乘以﹣2可得﹣2a＞﹣2b，原變形不正確，故此選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)不等式性質(zhì)2，不