20252026學年九年級數(shù)學上學期同步培優(yōu)講義【精英班課程】專題24.5相似形的性質知識點一、相似三角形的性質1.根據(jù)相似三角形的定義，可以直接得到相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.2.相似三角形性質定理1相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.要點：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.相似三角形性質定理2:相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形性質定理3:相似三角形面積的比等于相似比的平方.知識點二、相似三角形性質的應用1.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.要點：測量旗桿的高度的幾種方法：2.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構造如下兩種相似三角形求解。1．如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質計算AB的長.題型01：相似三角形的性質理解【答案】/【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，利用相似三角形的對應中線的比等于相似比即可確定正確的答案．∴它們的周長比是，故答案為：．【例2】（2025·上海閔行·一模）已知兩個相似三角形對應高之比為，那么這兩個三角形的周長之比為．【答案】【分析】本題主要考查的是相似三角形的性質，根據(jù)相似三角形周長的比、相似三角形對應邊上的高的比等于相似比解答即可．【詳解】解：∵兩個相似三角形對應邊上的高的比為，∴這兩個三角形的相似比為，∴這兩個相似三角形的周長比為；故答案為：．【例3】（202425寶山實驗學校九年級月考）若兩個相似三角形的面積之比為，則它們的對應中線之比為．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的性質，根據(jù)相似三角形的面積之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面積之比是相似比的平方是解題的關鍵．【詳解】解：∵兩個相似三角形面積之比為，∴兩個相似三角形相似比為，∴它們的對應中線之比為，故答案為：．A．擴大為原來的3倍 B．擴大為原來的9倍C．沒有變化 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，理解題意，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．∴擴大為原來的9倍，故選：B．題型02：相似三角形性質的應用——求邊長或周長【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，根據(jù)相似三角形的性質解題即可．故答案為：．【分析】本題考查了相似三角形對應中線的比等于相似比，相似三角形周長的比等于相似比的性質，熟記性質是解題的關鍵．根據(jù)相似三角形對應中線的比等于相似比，求出兩個三角形的相似比，再根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比列式計算即可．【解析】解：由題意，得兩三角形的周長比為，AABCPQ【答案】．【總結】本題考查了三角形一邊的平行線性質，主要考查了學生的推理能力．題型03：相似三角形性質的應用—相似三角形的高的比等于相似比【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】解：設交于點，如圖，故答案為：．AABCDEFGHP【答案】24．【總結】本題考查三角形內接正方形的相關知識，主要還是通過比例相等來列式建立關系．AABCDEFGHK【總結】本題考查三角形一邊的平行線定理，矩形的周長面積等知識．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、正方形的性質、勾股定理等知識；正確作出輔助線、靈活運用相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．題型04：相似三角形性質的應用—含平行線的相似三角形【答案】/【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．故答案為：．【答案】10故答案為：10．【答案】1故答案為：．【答案】故答案為：．題型05：相似三角形性質的應用—圖形的面積【答案】【分析】此題考查了相似三角形的性質．根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進行解答即可．故答案為：A． B． C． D．【答案】B點是的中點，故選：B．【答案】1故答案為：．【分析】本題主要考查了相似三角形的性質：相似三角形的面積比等于相似比的平方．求出三個相似三角形的相似比是解決本題的關鍵．，是的三等分點，故答案為：6；，是的三等分點，【答案】【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定與性質，掌握同（等）底三角形面積比等于高之比，同（等）高的三角形面積比等于底之比是解題的關鍵．故答案為：．題型06：相似三角形性質的應用—動點問題

A． B． C．或 D．以上均不對【答案】C【解析】解：設運動時間為，綜上，運動時間為或，故選：C．【答案】或故答案為：或．題型07：相似三角形性質的實際應用【例23】某時刻量得一棵樹AB在地面上的影子長BE=30米，同時測得在BE方向上豎起的一根與地面垂直的標桿CD的影長DF=3米，已知標桿高DC=2米，求：樹AB的高度。BDEFBDEFCA參考答案：20米4．圖1是裝了紅酒的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），喝去一部分紅酒后如圖2所示，此時液面的長為．【答案】/3厘米故答案為：．【例24】（2022秋·上海靜安·九年級校考期中）一天某時刻小杰發(fā)現(xiàn)學校的旗桿AB和一籃球架CD的影子重疊在一起，于是他選擇好位置，使得他的影子和它們的影子也重疊在一起（即BG、DG、NG在一直線上，如圖所示），此時點A、C、M、G也在一直線上．已知小杰的身高MN=1.7m，他的影子長NG=2m，籃球架的高CD=4.08m，且BD=DN【答案】旗桿AB的長為6.5m．【分析】由題意可知AB∥CD∥MN，即得出△GMN∽△GCD，從而得出MNCD=NGDG，代入數(shù)據(jù)可求出DG=4.8m，從而可求出BD=DN=2.8m，進而可求出BG=7.6m．又易證△GMN∽△GAB，即得出【詳解】由題意可知AB∥CD∥MN，∴△GMN∽△GCD，∴MNCD=NG解得：DG=4.8m，∴BD=DN=DG?NG=4.8?2=2.8m，∴BG=BD+DG=2.8+4.8=7.6m．∵AB∥MN，∴△GMN∽△GAB，∴MNAB=NG解得：AB=6.46m≈6.5m．答：旗桿AB的長為6.5m．【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質的實際應用．熟練掌握三角形相似的判定定理和其性質是解題關鍵．題型08：相似三角形的判定與性質的綜合計算

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似證明即可；【點睛】本題考查射影定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．故選：．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、線段垂直平分線的性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．A． B． C． D．故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質，掌握相似三角形的判定與性質、正方形的性質的綜合應用，其中輔助線的做法、相似的證明、勾股定理的應用是解題關鍵．【答案】(1)見解答；【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質．題型09：相似三角形的判定與性質的綜合證明成比例線段【例29】（2022秋·上海徐匯·九年級?？茧A段練習）已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點D、E分別在邊BC、AB上，線段AD與CE相交于點F，且

(1)求證：∠CDF=∠CFD；(2)如果AE=AF，求證：CF【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明△BAD∽△CAF得到∠ADB=∠AFC即可證得結論；（2）根據(jù)等腰三角形的判定與性質得到CD=CF，∠AEF=∠AFE，進而利用三角形的內角和定理求得∠DCF=∠DAC，證明△DCF∽△DAC得到CDDA【詳解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAF，∵AB?AF=AC?AD，∴ABAC∴△BAD∽△CAF，∴∠ADB=∠AFC，∴∠CDF=∠CFD；（2）解：∵∠CDF=∠CFD，∴CD=CF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，又∠AFE=∠CFD，∴∠EAF=∠DCF，又∠EAF=∠DAC，∴∠DCF=∠DAC，又∠CDF=∠ADC，∴△DCF∽△DAC，∴CDDA=DF∴CF【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質、三角形的內角和定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答的關鍵．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（2）證明：如圖，方法一：方法二：【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，直角三角形的兩個銳角互余，線段中點的有關計算，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，等邊對等角，勾股定理，線段的和與差等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識點，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．∵點是中點，題型10：綜合提升【例32】（2022秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ惺斜背跫壷袑W校考期中）如圖，已知ΔABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把線段AB沿射線BC方向平移至PQ，直線PQ與直線AC交于點E，又連接BQ與直線AC交于點D(1)若BP=3，求AD的長；(2)設BP=x，DE=y，試求y關于x的函數(shù)解析式；(3)當BP為多少時，以Q、D、E為頂點的三角形與△ABC相似．【答案】(1)AD=(2)y=(3)當BP為4時，以Q、D、E為頂點的三角形與ΔABC相似【分析】（1）連接AQ，由平行四邊形的判定定理可得出四邊形ABPQ是平行四邊形，進而可得出ΔADQ∽ΔCDB，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；（2）由平行線分線段成比例定理可知CECA=CPCB，ADDC=AQBC，再根據(jù)點（3）先由相似三角形的判定定理得出ΔEDQ∽ΔADB，ΔADB∽ΔABC，由相似三角形的對應邊成比例即可求出BP的長．【詳解】（1）連接AQ∵AB∥PQ，AB=PQ∴四邊形ABPQ是平行四邊形，∴AQ∥PB

AQ=BP∴ΔADQ∽ΔCDB，∵BP=3∴AQ=3∵AQBC∴35∴AD=9（2）∵AB∥PQ，AQ∥PB，∴CECA=∵AB=4，BC=5，AC=6，BP=x，DE=y，當點P在邊BC上時，∴CE6=AD6?AD=∴y=DE=6?AD?CE=當點P在邊BC的延長線上時，∴CE6=AD6?AD=∴y=DE=6?AD+CE=綜上所述，y=（3）∵AB∥PQ∴ΔEDQ∽ΔADB又以Q、D、E為頂點的三角形與ΔABC相似，∴ΔADB與ΔABC相似∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC∴∠ABD=∠ACB∴ADAB=由（2）知，AD=∴6xx+5=綜上所述，當BP為4時，以Q、D、E為頂點的三角形與ΔABC相似．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定定理及平行線分線段成比例定理，在解（2）時要注意分類討論，不要漏解．【答案】(1)見解析【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握三角形相似的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．【答案】(1)證明見解析(2)【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質．熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似，是解題的關鍵．注意，分類討論．一、選擇題【答案】B【分析】本題考查網(wǎng)格與勾股定理，求相似三角形的相似比．先由勾股定理求出、的長，再根據(jù)相似三角形相似比等于對應邊的比求解即可．故選：B．A．6 B．9 C．12 D．3【答案】A【分析】本題考查線段中點，平行四邊形性質，三角形相似判定與性質，等高三角形面積比等于底的比性質，∵M為的中點，故選：A．A．4 B．8 C． D．【答案】A即這個正方形的邊長是4．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質及正方形的性質，添加合適的輔助線是解題的關鍵．【答案】C故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質．用到的知識為：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似，相似三角形對應邊的比相等，都等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方．填空題5．（2025·上海楊浦·一模）如果兩個相似三角形對應高的比是，那么它們的面積比是．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．由相似三角形的性質可知，相似三角形對應高的比等于相似比，而相似三角形的面積比等于相似比的平方，由此即可得出答案．【詳解】解：由相似三角形的性質可知，相似三角形對應高的比等于相似比，而相似三角形的面積比等于相似比的平方，故答案為：．6．（2025·上海青浦·一模）如果兩個相似三角形面積的比為，那么它們周長的比為．【分析】本題考查相似三角形的性質，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比，進行求解即可．7．（2025·上海長寧·一模）如果兩個相似三角形的對應中線之比為，那么它們的對應高之比為．【答案】【分析】本題主要考查相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應角平分線的比、對應中線比、對應高線比等于相似比是解題的關鍵．【詳解】解：∵兩個相似三角形的對應中線之比為，∴兩個相似三角形的相似比為，∴它們的對應高之比為，故答案為：．8．（2022秋?閔行區(qū)期末）如果兩個相似三角形的相似比為2：3，那么這兩個相似三角形的面積比為．【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可直接得出結果．【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比為2：3，∴這兩個相似三角形的面積比為4：9．【點評】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的面積的比等于相似比的平方．【答案】：【分析】根據(jù)相似三角形對應角平分線的比都等于相似比解答即可．故答案為：：．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比是解題的關鍵．【答案】故答案為：．【點睛】本題主要考查比例的性質，相似三角形的性質，理解平行線的性質，相似三角形的性質是解題的關鍵．【答案】24故答案為24．【點睛】本題主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性質應用，掌握相