5．1函數(shù)的概念和圖象5.1.1函數(shù)的概念和圖象(1)1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素有定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域，會求簡單函數(shù)的定義域.活動一探究函數(shù)的概念初中是用運動變化的觀點對函數(shù)進行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì).對于y＝1(x∈R)是不是函數(shù)，如果用運動變化的觀點去看它，就不好解釋，顯得牽強，但如果用集合與對應(yīng)的觀點來解釋，就十分自然.因此，用集合與對應(yīng)的思想來理解函數(shù)，對函數(shù)概念的再認識，就很有必要．1.人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù).從中國統(tǒng)計年鑒中可以查得我國1979～2014年人口數(shù)據(jù)資料(年末)如下表所示，你能根據(jù)該表說出我國人口的變化情況嗎？1979～2014年我國人口數(shù)據(jù)表年份19791984198919941999200420092014人口數(shù)/百萬97510441127119912581300133513682.一物體從靜止開始下落，下落的距離y(單位：m)與下落時間x(單位：s)之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)＝4.9x2.若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？3.下圖為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖．(1)上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？(2)在什么時刻，氣溫為0℃？(3)在什么時段內(nèi)，氣溫在0℃以上？思考1???這三個問題有什么共同點？思考2???如何用集合語言來闡述上述三個問題的共同點？思考3???如何用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)？思考4???函數(shù)f：A→B的值域為C，那么集合B＝C嗎？1.函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的一種對應(yīng)．2.符號“f：A→B”表示從A到B的一個函數(shù)，它有三個要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系，三者缺一不可．3.集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性．4.f表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣．5.f(x)是一個符號，絕對不能理解為f與x的乘積．6.在研究函數(shù)時，除用符號f(x)表示函數(shù)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號來表示．活動二探究函數(shù)的定義，掌握函數(shù)的判定例1判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù)：(1)x→eq\f(2,x)，x≠0，x∈R；(2)x→y，其中y2＝x，x∈N，y∈R；(3)當(dāng)x為有理數(shù)時，x→1；當(dāng)x為無理數(shù)時，x→0.判斷下列對應(yīng)是否為集合A到B的函數(shù)，若不是，請說明原因．(1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；(2)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x；(3)A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x.判斷一個對應(yīng)是不是函數(shù)，關(guān)鍵看與自變量x對應(yīng)的y值是不是唯一，函數(shù)可以允許多個不同的x的值對應(yīng)一個y值，但不允許一個x的值對應(yīng)兩個或兩個以上的y值．活動三同一函數(shù)的判斷思考5???定義域和值域都相同的函數(shù)是同一個函數(shù)嗎？例2試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：(1)f(x)＝|x|，g(t)＝eq\r(t2)；(2)f(x)＝eq\f(x2－4,x－2)，g(x)＝x＋2；(3)f(x)＝x，g(x)＝eq\r(3,x3)；(4)f(x)＝x，x∈[0，1]，g(x)＝x2，x∈[0，1].試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：(1)f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\r(3,x3)；(2)f(x)＝(eq\r(x))2，g(x)＝eq\r(x2)；(3)y＝x0與y＝1(x≠0)；(4)y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z.1.判斷兩個函數(shù)是同一函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同．2.如果要判斷的函數(shù)較為復(fù)雜，在定義域相同的條件下，可先化簡再比較．活動四探究函數(shù)的定義域例3求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\r(x－1)；(2)g(x)＝eq\f(1,x＋1).求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝eq\f(1,2x－1)；(3)y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)；(4)y＝eq\f(x＋1,x2－1).函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定．如果只給出解析式y(tǒng)＝f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)x的集合．函數(shù)的定義域可用兩種方法表示：集合和區(qū)間．活動五求函數(shù)值例4若f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，求f(0)，f(1)，f(f(2))，f(a＋1).已知函數(shù)y＝f(x)，f(a)表示當(dāng)x＝a時f(x)的函數(shù)值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(4,1－x)，若f(a)＝2，則實數(shù)a＝________．

1.下列圖象中，能表示定義域和值域均為[0，2]的函數(shù)圖象的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.32.(2024漳州二中月考)函數(shù)f(x)＝eq\f((2x－1)0,\r(2－x))的定義域為()A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))3.(多選)下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系中，是函數(shù)的是()HD25BX1SX6.tif"HD25BX1SX6.tif"HD25BX1SX7.tif"HD25BX1SX7.tif"HD25BX1SX8.tif"HD25BX1SX8.tif"ABCD4.f(x)＝(eq\r(x))4與g(x)＝x2表示同一函數(shù)的充分條件為________．5.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)＋eq\r(x).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f(2)及f(6)的值．

5．1.2函數(shù)的概念和圖象(2)1.理解構(gòu)成函數(shù)的要素，鞏固常見函數(shù)定義域的求解方法.2.會求常見函數(shù)的值域，掌握簡單函數(shù)值域的求法．活動一鞏固函數(shù)的概念，求函數(shù)的定義域1.回顧函數(shù)的定義，思考函數(shù)的構(gòu)成要素有哪些？2．如何求函數(shù)的定義域？例1求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝3－eq\f(1,2)x；(2)y＝eq\f((x＋1)0,\r(x＋2))；(3)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x).已知函數(shù)f(x)＝eq\r(\f(1,a)x＋1)的定義域為(－∞，1]，求實數(shù)a的值．求函數(shù)定義域的基本方法：求函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上是求使函數(shù)表達式有意義的自變量的取值范圍．已知函數(shù)y＝f(x)：(1)若f(x)為整式，則定義域為R.(2)若f(x)為分式，則定義域是使分母不為零的實數(shù)的集合．(3)若f(x)是偶次根式，則函數(shù)的定義域是根號內(nèi)的式子不小于零的實數(shù)的集合．(4)若f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合(即使每個部分有意義的實數(shù)的集合的交集).(5)若f(x)是由實際問題列出的，則函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù)的集合．活動二探究抽象函數(shù)的定義域思考1???在y＝f(x)中，f(x)的定義域指的是什么？x是什么？思考2???在函數(shù)y＝f(x＋1)中，自變量是什么？而它的定義域指的是什么？思考3???如何將函數(shù)y＝f(x)與y＝f(x＋1)中的自變量聯(lián)系起來？例2(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，1)，求f(x2)的定義域；(2)已知函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(0，1)，求f(x)的定義域．(1)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為[1，4]，則f(x＋2)的定義域為________；(2)已知函數(shù)y＝f(x＋2)的定義域為[1，4]，則f(x)的定義域為________；(3)已知函數(shù)y＝f(x＋3)的定義域為[1，4]，則f(2x)的定義域為________．抽象函數(shù)的定義域1.已知f(x)的定義域，求f(g(x))的定義域：若f(x)的定義域為[a，b]，則在f(g(x))中，a≤g(x)≤b，從中解得x的取值范圍，即為f(g(x))的定義域．2.已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域：若f(g(x))的定義域為[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的取值范圍即為f(x)的定義域．3.用較為口語化的語言可以將上述兩類題型的解法合并成兩句話：(1)定義域指自變量的取值范圍．(告訴我們已知什么，求什么)(2)括號內(nèi)范圍相同．(告訴我們?nèi)绾螌l件與結(jié)論聯(lián)系起來)活動三探究函數(shù)的值域例3求下列函數(shù)的值域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；(2)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R.求下列函數(shù)的值域：(1)f(x)＝|x|－1，x∈{－1，0，1，2}；(2)f(x)＝1－2x，x∈[－1，2).函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定的，所以求函數(shù)的值域一定要注意定義域是什么，對于同一個函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)定義域變化時，值域也可能發(fā)生變化．1.若函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)，則函數(shù)f(x－1)的定義域為()A.(－1，1)B.[－2，0]C.[－1，1]D.[0，2]2.(2024揚州一中期中)已知函數(shù)f(x)＝x2－1的定義域為{－1，0，1}，則函數(shù)f(x)的值域為()A.{0，1}B.[－1，＋∞)C.[－1，0]D.{－1，0}A.f(f(－3))＝1B.若f(x)＝3，則x＝0C.函數(shù)的定義域是(－∞，0]∪[2，3]D.函數(shù)的值域是[1，5]4.已知函數(shù)y＝f(x－1)的定義域為[－3，2]，則f(x＋1)的定義域為________．5.已知f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R).(1)求f(2)，g(3)的值；(2)求f(g(3))的值及f(g(x)).

5．1.3函數(shù)的概念和圖象(3)1.了解函數(shù)的圖象.2.會畫出簡單函數(shù)的圖象，并能運用函數(shù)的圖象解決簡單的問題.3.體會數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.活動一探究函數(shù)圖象的概念在初中，我們已學(xué)過函數(shù)的圖象，并能作出函數(shù)y＝2x－1，y＝eq\f(1,x)(x≠0)以及y＝x2的圖象，社會生活中還有許多函數(shù)圖象的例子，如心電圖、示波圖等．思考1???在初中我們采用什么方法來畫函數(shù)的圖象？思考2???描點法作圖的步驟有哪些？問題什么是函數(shù)的圖象？活動二探究簡單函數(shù)的圖象的作法例1試畫出下列函數(shù)的圖象：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3).思考3???如何判定圖形是否為函數(shù)的圖象？思考4???設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}與Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等嗎？請說明理由．例2畫出下列函數(shù)的圖象：(1)f(x)＝eq\f(1,x－1)；(2)f(x)＝eq\f(2x－3,x－1).作下列函數(shù)的圖象，并指出其值域．(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；(2)y＝eq\f(2,x)(－2≤x<1，且x≠0).畫函數(shù)的圖象一定要注意函數(shù)定義域的范圍，在函數(shù)定義域內(nèi)的圖象要畫成實線，定義域外的要畫成虛線或者不畫．若給出的函數(shù)的定義域是開區(qū)間，函數(shù)圖象的端點要畫成空心點；若給出的函數(shù)的定義域是閉區(qū)間，函數(shù)圖象的端點要畫成實心點．活動三運用函數(shù)圖象解決簡單的問題例3試畫出函數(shù)f(x)＝x2＋1的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：(1)比較f(－2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0<x1<x2，試比較f(x1)與f(x2)的大?。伎????(1)在例3的條件下，如果把“0＜x1＜x2”改成“x1＜x2＜0”，那么f(x1)與f(x2)哪個大？(2)在例3的條件下，如果把“0＜x1＜x2”改成“|x1|＜|x2|”，那么f(x1)與f(x2)哪個大？請結(jié)合函數(shù)圖象回答上述兩個問題，再用不等式的基本知識來解決上述問題．畫出函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：(1)比較f(0)，f(1)，f(3)的大??；(2)若x1<x2<1，比較f(x1)與f(x2)的大??；(3)求函數(shù)f(x)的值域；(4)若關(guān)于x的方程f(x)＝k在區(qū)間[－1，2]上僅有一個實根，求實數(shù)k的取值范圍．函數(shù)y＝f(x)的圖象在x軸上的投影構(gòu)成的集合即為函數(shù)的定義域，在y軸上的投影構(gòu)成的集合即為函數(shù)的值域．通過函數(shù)的圖象，可以從“形”的角度進一步加深對函數(shù)概念的理解．常借助函數(shù)圖象求解以下幾類問題：(1)比較函數(shù)值的大小；(2)求函數(shù)的值域；(3)分析兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)；(4)求解不等式或參數(shù)范圍．1.已知函數(shù)y＝ax2＋b的圖象如圖所示，則a和b的值分別為()A.0，－1B.1，－1C.1，0D.－1，12.(2024湖南期中)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x3,x2－1)，則其圖象大致是()HD25BX1SX11.tif"HD25BX1SX11.tif"HD25BX1SX12.tif"HD25BX1SX12.tif"HD25BX1SX13.tif"HD25BX1SX13.tif"ABCD3.(多選)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A.f(0)＝4B.f(f(2))＝4C.若－1＜x1<x2＜2，則f(x1)>f(x2)D.若f(x)＝0，則x＝－34.(2024揚州精誠高級中學(xué)月考)函數(shù)y＝－x2＋2x＋3(0≤x≤3)的值域為________．5.作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2).

5．1.4函數(shù)的概念和圖象(4)1.掌握求函數(shù)值域的常見方法.2.體會分離參數(shù)法、換元法、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的應(yīng)用.活動一掌握求函數(shù)值域的常見方法在初中學(xué)過的一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)：定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)：定義域為{x|x≠0}，值域為{y|y≠0}；二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：定義域為R，值域：當(dāng)a>0時，{y|y≥eq\f(4ac－b2,4a)}；當(dāng)a<0時，{y|y≤eq\f(4ac－b2,4a)}．例1求下列函數(shù)的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(3)y＝eq\f(2x＋1,x－3)；(4)y＝2x－eq\r(x－1).

求下列函數(shù)的值域：(1)y＝x＋2eq\r(x)＋3；(2)y＝eq\r(－x2＋6x＋7)；(3)y＝eq\f(－2,x2－2x＋3)；(4)y＝eq\f(x2－1,x2＋1).求函數(shù)值域的方法：(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即將函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法．(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式．活動二探究函數(shù)定義域及值域的逆向問題例2若函數(shù)y＝eq\r(ax2－ax＋\f(1,a))的定義域是實數(shù)集，求實數(shù)a的取值范圍．例3已知函數(shù)y＝x2－2ax＋3在區(qū)間[－2，2]上的值域為[2，11]，求實數(shù)a的值．若函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3,x－1),mx2＋mx＋3)的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．1.(2024進賢二中期中)已知函數(shù)f(x)＝2x＋4eq\r(3－x)，則函數(shù)f(x)的值域為()A.(－∞，－8)B.(－∞，8]C.[4，＋∞)D.[6，＋∞)2.(2024正定中學(xué)期中)函數(shù)y＝eq\f(3＋x,4－2x)的值域是()A.(－∞，0)∪(0，＋∞)B.(－∞，2)∪(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))3.(多選)與函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)(x>0)值域相同的函數(shù)有()A.y＝x2－x＋eq\f(9,4)B.y＝eq\f(1,|x|)＋2C.y＝x＋eq\f(1,4(x－1))(x>1)D.y＝eq\f(1,2)x＋2(x>0)4.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(mx2＋2mx＋1))的定義域是R，則實數(shù)m的取值范圍是________．5.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1的定義域與值域都是[1，b]，其中b>1，求實數(shù)b的值．

5．1函數(shù)的概念和圖象5．1.1函數(shù)的概念和圖象(1)【活動方案】1.我國1979～2014年人口逐漸增多，其中1984～1989年我國人口的增長量最大，1989年以后我國人口增長量逐漸減少．2.當(dāng)x＝2時，y＝19.6，即若一物體下落2s，它下落的距離為19.6m.3.(1)上午6時的氣溫約是零下1℃，全天的最高氣溫是9℃，最低氣溫是零下2℃.(2)7時和23時，氣溫為0℃.(3)在7時到23時，氣溫在0℃以上．思考1：每個實例中都存在著兩個變量，當(dāng)一個變量的取值確定時，另一個變量的值隨之唯一確定．根據(jù)初中學(xué)過的知識可知，每一個問題都涉及一個確定的函數(shù)．思考2：第一，每個問題均涉及兩個非空數(shù)集A，B.例如，在第一個問題中，一個集合A由年份數(shù)組成，即A＝{1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014}；另一個集合B由人口數(shù)(百萬)組成，即B＝{975，1044，1127，1199，1258，1300，1335，1368}．第二，每個問題均存在某種對應(yīng)關(guān)系，對于集合A中任意元素x，集合B中總有一個元素y與之對應(yīng)．例如，在第一個問題中，若x(年份)取1979，則y(百萬)取975.這時，我們說“1979對應(yīng)到975”，或者說“輸入1979，輸出975”，簡記為1979→975.如圖所示的“箭頭圖”可以清楚地表示這種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)具有“一個輸入值對應(yīng)到唯一的輸出值”的特征．思考3：函數(shù)的定義一般地，給定兩個非空實數(shù)集合A和B，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一的實數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)函數(shù)的記法從集合A到集合B的一個函數(shù)通常記為y＝f(x)，x∈A函數(shù)的定義域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，所有的x(輸入值)組成的集合A叫作函數(shù)y＝f(x)的定義域函數(shù)的值域若A是函數(shù)y＝f(x)的定義域，則對于A中的每一個x(輸入值)，都有一個y(輸出值)與之對應(yīng)，則將所有輸出值y組成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域思考4：C?B例1(1)對于任意一個非零實數(shù)x，eq\f(2,x)由x唯一確定，所以當(dāng)x≠0時，x→eq\f(2,x)是函數(shù)，這個函數(shù)也可以表示為f(x)＝eq\f(2,x)(x≠0).(2)考慮輸入值為4，即當(dāng)x＝4時，輸出值y由y2＝4給出，得y＝2和y＝－2.這里一個輸入值與兩個輸出值對應(yīng)(不是單值對應(yīng))，所以x→y(y2＝x，x∈N，y∈R)不是函數(shù)．(3)由題意，得對于任意的有理數(shù)x，總有唯一的元素1與之對應(yīng)；對于任意的無理數(shù)x，總有唯一的元素0與之對應(yīng)．因此，根據(jù)函數(shù)的定義，可知這個對應(yīng)是函數(shù)，可以表示為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)．))跟蹤訓(xùn)練(1)對于任意x∈A，在集合B中總有唯一的元素2x與之對應(yīng)，根據(jù)函數(shù)的定義，可知這個對應(yīng)是函數(shù)，可以表示為y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}，且值域為B.(2)不是，因為A中的元素5在B中沒有值與之對應(yīng)．(3)對于任意x∈A，在集合B中總有唯一的元素2x與之對應(yīng)，根據(jù)函數(shù)的定義，可知這個對應(yīng)是函數(shù)，可以表示為y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}，且值域是B的子集．思考5：不一定是．若對應(yīng)關(guān)系也相同，則是同一個函數(shù)．若對應(yīng)關(guān)系不同，則不是同一個函數(shù)，如y＝x與y＝2x，定義域和值域都是R，但它們是兩個函數(shù)．故定義域和值域都相同的函數(shù)不一定是同一個函數(shù)．例2(1)是，因為g(t)＝eq\r(t2)＝|t|與f(x)＝|x|的定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域均相同，只是自變量的字母不同而已．(2)不是，因為f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠2}，而g(x)的定義域為R.(3)是，因為f(x)＝x與g(x)＝eq\r(3,x3)＝x的定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域均相同．(4)不是，因為它們的對應(yīng)關(guān)系不同．跟蹤訓(xùn)練(1)不是，因為f(x)＝eq\r(x2)＝|x|，g(x)＝eq\r(3,x3)＝x，所以它們的對應(yīng)關(guān)系不相同，所以它們不表示同一函數(shù)．(2)不是，因為函數(shù)f(x)＝(eq\r(x))2的定義域為{x|x≥0}，且g(x)＝eq\r(x2)的定義域為{x|x∈R}，所以它們的定義域不同，所以它們不表示同一函數(shù)．(3)是，因為y＝x0要求x≠0，且x≠0時，y＝x0＝1，所以y＝x0與y＝1(x≠0)的定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域都相同，所以它們表示同一函數(shù)．(4)不是，y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z兩個函數(shù)的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不相同，故不表示同一函數(shù)．例3(1)因為當(dāng)x－1≥0，即x≥1時，eq\r(x－1)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義；當(dāng)x－1<0，即x<1時，eq\r(x－1)在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義，所以這個函數(shù)的定義域是{x|x≥1}．(2)因為當(dāng)x＋1≠0，即x≠－1時，eq\f(1,x＋1)有意義；當(dāng)x＋1＝0，即x＝－1時，eq\f(1,x＋1)沒有意義，所以這個函數(shù)的定義域是{x|x≠－1，且x∈R}．跟蹤訓(xùn)練(1)函數(shù)y＝2x＋3的定義域為R.(2)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則2x－1≠0，即x≠eq\f(1,2)，故函數(shù)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(1,2))).(3)要使函數(shù)式有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x≤1，))所以x＝1，所以函數(shù)的定義域為{1}．(4)因為當(dāng)x2－1≠0，即x≠±1時，eq\f(x＋1,x2－1)有意義，所以函數(shù)的定義域是{x|x≠±1}．例4因為f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(0)＝eq\f(1－0,1＋0)＝1；f(1)＝eq\f(1－1,1＋1)＝0；f(f(2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝2；f(a＋1)＝eq\f(1－(a＋1),1＋(a＋1))＝－eq\f(a,a＋2).跟蹤訓(xùn)練－1因為f(x)＝eq\f(4,1－x)，所以f(a)＝eq\f(4,1－a)＝2，解得a＝－1.【檢測反饋】1.B由函數(shù)定義可知，任意自變量有且僅有一個函數(shù)值與之對應(yīng)，排除第三個圖；第一個圖中定義域不為[0，2]，第二個圖中值域不為[0，2]，所以只有最后一個圖滿足題意．2.D由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≠0，,2－x>0，))解得x<2且x≠eq\f(1,2)，即函數(shù)f(x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).3.AB對于A，B，結(jié)合函數(shù)定義可知，集合A中的任意一個元素在集合B中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)，故A，B正確；對于C，集合A中的7在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，故C錯誤；對于D，集合A中的3在集合B中有兩個元素與之對應(yīng)，4沒有元素與之對應(yīng)，故D錯誤．故選AB.4.g(x)＝x2的定義域是{x|x≥0}因為g(x)＝x2的定義域為R，f(x)＝(eq\r(x))4＝x2(x≥0)，所以兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域不同，所以需要g(x)＝x2的定義域變?yōu)閧x|x≥0}，所以兩函數(shù)表示同一函數(shù)的充分條件為g(x)＝x2的定義域是{x|x≥0}．5.(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x－1≠0，))解得x≥0，且x≠1，所以函數(shù)的定義域為[0，1)∪(1，＋∞).(2)因為f(x)＝eq\f(1,x－1)＋eq\r(x)，所以f(2)＝eq\f(1,2－1)＋eq\r(2)＝1＋eq\r(2)；f(6)＝eq\f(1,6－1)＋eq\r(6)＝eq\f(1,5)＋eq\r(6).

5．1.2函數(shù)的概念和圖象(2)【活動方案】1.函數(shù)的三要素包括：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．因為值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系完全確定，所以如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)是同一函數(shù)．2.對于用關(guān)系式表示的函數(shù)，如果沒有給出定義域，那么就認為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達式有意義的自變量取值的集合，這也是求函數(shù)定義域的依據(jù)．例1(1)函數(shù)y＝3－eq\f(1,2)x的定義域為R.(2)由于00無意義，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以x>－2，且x≠－1，所以函數(shù)y＝eq\f((x＋1)0,\r(x＋2))的定義域為{x|x>－2，且x≠－1}．(3)要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0，,2－x>0，,x≠0，))解得－eq\f(3,2)≤x＜2，且x≠0，所以函數(shù)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x＜2，且x≠0)).跟蹤訓(xùn)練因為函數(shù)f(x)＝eq\r(\f(1,a)x＋1)的定義域為(－∞，1]，所以eq\f(1,a)x＋1≥0的解為x≤1，所以a＜0，且eq\f(1,a)×1＋1＝0，所以a＝－1.思考1：f(x)的定義域指的是x的取值范圍，f(x)中x是函數(shù)的自變量．思考2：函數(shù)y＝f(x＋1)的自變量為x，f(x＋1)的定義域指的是x的取值范圍．思考3：因為x，x＋1均為f的作用對象，所以二者均應(yīng)在f(x)的定義域之中，即y＝f(x)中x的取值范圍與y＝f(x＋1)中x＋1的取值范圍一致．例2(1)因為f(x)的定義域為(0，1)，所以要使f(x2)有意義，則0<x2<1，即－1<x<0或0<x<1，所以函數(shù)f(x2)的定義域為{x|－1<x<0或0<x<1}．(2)因為f(2x＋1)的定義域為(0，1)，所以其中的函數(shù)自變量x的取值范圍是(0，1).令t＝2x＋1，則1<t<3，所以f(t)的定義域為{t|1<t<3}，所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|1<x<3}．跟蹤訓(xùn)練(1)[－1，2]由題意，得f(x)的定義域為[1，4]，故x＋2∈[1，4]，所以x∈[－1，2]，即f(x＋2)的定義域為[－1，2].(2)[3，6]由題意，得x∈[1，4]，所以x＋2∈[3，6]，即f(x)的定義域為[3，6].(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))由題意，得x∈[1，4]，所以x＋3∈[4，7]，所以對于f(2x)有2x∈[4，7]，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))，即f(2x)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))).例3(1)因為函數(shù)的定義域為{－1，0，1，2，3}，所以f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以這個函數(shù)的值域為{1，2，5}．(2)因為函數(shù)的定義域為R，且(x－1)2＋1≥1，所以這個函數(shù)的值域為{y|y≥1}．跟蹤訓(xùn)練(1)因為函數(shù)的定義域為{－1，0，1，2}，所以f(－1)＝0，f(0)＝－1，f(1)＝0,f(2)＝1，所以這個函數(shù)的值域為{－1，0，1}．(2)因為函數(shù)的定義域為[－1，2)，所以－1≤x＜2，所以－3＜1－2x≤3，所以這個函數(shù)的值域為(－3，3].【檢測反饋】1.D要使函數(shù)f(x)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1＋x≥0，))解得－1≤x≤1，所以－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以函數(shù)f(x－1)的定義域為[0，2].2.D因為f(－1)＝f(1)＝0，f(0)＝－1，所以函數(shù)f(x)的值域為{－1，0}．3.AD對于A，由圖象可知f(－3)＝2，f(2)＝1，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，故A正確；對于B，易知直線y＝3與f(x)的圖象有兩個交點，由圖象可知，當(dāng)f(x)＝3時，x不為0，故B錯誤；對于C，D，由圖象可知，函數(shù)f(x)的定義域為[－3，0]∪[2，3]，值域為[1，5]，故C錯誤，D正確．故選AD.4.[－5，0]因為f(x－1)的定義域為[－3，2]，所以x－1∈[－4，1]，所以在f(x＋1)中，x＋1∈[－4，1]，解得x∈[－5，0]，即f(x＋1)的定義域為[－5，0].5.(1)因為f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，所以f(2)＝eq\f(1－2,1＋2)＝－eq\f(1,3).因為g(x)＝x2－1(x∈R)，所以g(3)＝32－1＝8.(2)由(1)知f(g(3))＝f(8)＝eq\f(1－8,1＋8)＝－eq\f(7,9)，f(g(x))＝eq\f(1－(x2－1),1＋(x2－1))＝eq\f(2－x2,x2)(x≠0).

5．1.3函數(shù)的概念和圖象(3)【活動方案】思考1：描點法．思考2：列表、描點、連線．問題：函數(shù)圖象的定義：將自變量的一個值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個點(x0，f(x0)).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的集合(點集)為{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有這些點組成的圖形就是函數(shù)y＝f(x)的圖象．例1(1)(2)函數(shù)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)的圖象為函數(shù)g(x)＝(x－1)2＋1，x∈R的圖象上x∈[1，3)的一段．其中，點(1，1)在圖象上，用實心點表示；而點(3，5)不在圖象上，用空心點表示．思考3：①任取一條垂直于x軸的直線l；②在定義域內(nèi)移動直線l；③若直線l與圖形有一個交點，則是函數(shù)的圖象；若有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)的圖象．思考4：P≠Q(mào).因為集合P是點集，其中所有元素組成的圖形是函數(shù)y＝f(x)，x∈A的圖象，而集合Q是數(shù)集，它是函數(shù)y＝f(x)，x∈A的值域．例2(1)將函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位長度，即可得到函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)的圖象，如圖所示．(2)f(x)＝eq\f(2x－3,x－1)＝eq\f(2(x－1)－1,x－1)＝2－eq\f(1,x－1)，x≠1，故函數(shù)圖象可由y＝－eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，如圖所示．跟蹤訓(xùn)練(1)如圖1所示．其值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).(2)如圖2所示．其值域為(－∞，－1]∪(2，＋∞).DX20G1SX102.tif"DX20G1SX102.tif"圖1圖2例3函數(shù)的圖象如下：(1)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)f(－2)＝f(2)，f(1)＜f(2)＜f(3)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3).(2)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)0＜x1<x2時，有f(x1)<f(x2).思考5：(1)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1<x2＜0時，有f(x1)＞f(x2).下面用不等式的基本知識來解決：因為x1<x2＜0，所以x1－x2＜0，x1＋x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＝(xeq\o\al(2,1)＋1)－(xeq\o\al(2,2)＋1)＝xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝(x1－x2)(x1＋x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2).(2)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)|x1|＜|x2|時，有f(x1)＜f(x2).下面用不等式的基本知識來解決：因為|x1|＜|x2|，所以x2≠0.①當(dāng)x1≥0，x2＞0時，則0≤x1<x2，所以x1－x2＜0，x1＋x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·(x1＋x2)<0，所以f(x1)＜f(x2)；②當(dāng)x1≥0，x2＜0時，則x1<－x2，所以x1－x2＞0，x1＋x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1＋x2)<0，所以f(x1)＜f(x2)；③當(dāng)x1<0，x2＞0時，則0<－x1<x2，所以x1－x2＜0，x1＋x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1＋x2)<0，所以f(x1)＜f(x2)；④當(dāng)x1<0，x2＜0時，則0<－x1<－x2，所以x1－x2＞0，x1＋x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·(x1＋x2)<0，所以f(x1)＜f(x2).綜上所述，當(dāng)|x1|＜|x2|時，有f(x1)＜f(x2).跟蹤訓(xùn)練函數(shù)的圖象如圖所示．(1)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1).(2)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1<x2<1時，有f(x1)<f(x2).(3)根據(jù)圖象，可以看出函數(shù)的圖象是以(1，4)為頂點，開口向下的拋物線，故函數(shù)的值域為(－∞，4].(4)原方程可變形為－x2＋2x＋3＝k，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝－x2＋2x＋3和y＝k圖象的交點個數(shù)問題，根據(jù)f(x)＝－x2＋2x＋3在區(qū)間[－1，2]上的圖象，移動y＝k，易知當(dāng)0≤k<3或k＝4時，只有一個交點，所以實數(shù)k的取值范圍為{k|0≤k<3或k＝4}．【檢測反饋】1.B由圖象可知，當(dāng)x＝1時，y＝0；當(dāng)x＝0時，y＝－1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))2.B易得函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}，故排除C；當(dāng)0<x<1時，f(x)＝eq\f(2x3,x2－1)<0，故排除A；當(dāng)x>1時，f(x)＝eq\f(2x3,x2－1)>0，故排除D.故選B.3.ACD由圖象可得f(f(2))＝2，故B錯誤；結(jié)合圖象可得A，C，D正確．故選ACD.4.[0，4]由題意，得y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.因為二次項系數(shù)為－1>0，所以函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為直線x＝1.又x∈[0，3]，所以當(dāng)x＝1時，y取得最大值4；當(dāng)x＝3時，y取得最小值0，所以函數(shù)的值域為[0，4].5.(1)列表：x01－23y0－12－3函數(shù)圖象是四個點(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域為{0，－1，2，－3}．(2)列表：x2345…y1eq\f(2,3)eq\f(1,2)eq\f(2,5)…當(dāng)x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)的一部分，觀察圖象可知其值域為(0，1].(3)列表：x－2－1012y0－1038當(dāng)x∈[－2，2)時，圖象是二次函數(shù)y＝x2＋2x的一部分，觀察圖象可知其值域為[－1，8).

5．1.4函數(shù)的概念和圖象(4)【活動方案】例1(1)值域為{2，3，4，5，6}．(2)y＝(x－1)2＋2.因為x∈[0，3)，所以(x－1)2∈[0，4)，所以(x－1)2＋2∈[2，6)，所以這個函數(shù)的值域為[2，6).(3)y＝eq\f(2(x－3)＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3).因為eq\f(7,x－3)≠0，所以2＋eq\f(7,x－3)≠2，所以這個函數(shù)的值域為{y|y≠2}．(4)由題意，得函數(shù)的定義域為[1，＋∞)，y＝2x－eq\r(x－1)＝2(x－1)－eq\r(x－1)＋2.設(shè)t＝eq\r(x－1)，t≥0，則y＝2t2－t＋2＝2(t－eq\f(1,4))2＋eq\f(15,8).因為t≥0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq\s\up12(2)≥0，所以2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,8)≥eq\f(15,8)，所以這個函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).跟蹤訓(xùn)練(1)由題意，得函數(shù)的定義域為[0，＋∞).設(shè)t＝eq\r(x)，則t≥0，則y＝t2＋2t＋3＝(t＋1)2＋2.因為t≥0，所以(t＋1)2≥1，所以(t＋1)2＋2≥3，所以函數(shù)的值域為[3，＋∞).(2)因為－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16≤16，所以eq\r(－x2＋6x＋7)≤4.又因為－x2＋6x＋7≥0，所以eq\r(－x2＋6x＋7)≥0，所以函數(shù)的值域為[0，4].(3)因為x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以0＜eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)，所以－1≤eq\f(－2,x2－2x＋3)＜0，所以函數(shù)的值域為[－1，0).(4)y＝eq\f(x2＋1－2,x2＋1)＝1－eq\f(2,x2＋1)，因為x2＋1≥1，所以0＜eq\f(1,x2＋1)≤1，所以－2≤－eq\f(2,x2＋1