5.3實(shí)踐與探索教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課選自華東師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第五章“一元一次方程”中的“5.3實(shí)踐與探索”，主要內(nèi)容是通過一元一次方程解決三類實(shí)際問題：鐵絲圍長方形問題、年級(jí)捐款分配問題、師徒合作工程問題。學(xué)生需掌握根據(jù)數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)、尋找等量關(guān)系列方程、解方程并驗(yàn)證結(jié)果合理性的完整建模過程。2.內(nèi)容解析本節(jié)是在學(xué)生已掌握一元一次方程解法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型。通過分析周長固定時(shí)長與寬的關(guān)系、比例分配問題、合作工作效率問題，培養(yǎng)學(xué)生從具體情境中提取數(shù)學(xué)信息、建立等量關(guān)系的能力。這些問題是后續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程組、分式方程及函數(shù)應(yīng)用的重要基礎(chǔ)，突出數(shù)學(xué)建模思想在解決現(xiàn)實(shí)問題中的價(jià)值。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)數(shù)學(xué)建模能力：能根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，準(zhǔn)確列出方程。(2)邏輯推理能力：通過分析等量關(guān)系（如周長公式、比例分配、工作量之和），掌握解應(yīng)用題的思維路徑。(3)遷移應(yīng)用能力：能解決變式問題（如改變比例、增減條件），并解釋結(jié)果的合理性。2.目標(biāo)解析通過鐵絲圍長方形問題，學(xué)生體會(huì)固定周長下面積與邊長的關(guān)系，理解“設(shè)元”的多樣性（如設(shè)長或設(shè)寬），為后續(xù)優(yōu)化問題埋下伏筆。在年級(jí)捐款問題中，學(xué)生需靈活處理比例與平均數(shù)的關(guān)系，提升多角度設(shè)元的能力。師徒合作問題則強(qiáng)調(diào)“工作量=效率×?xí)r間”的模型應(yīng)用，為工程問題提供通用解法。最終，學(xué)生能獨(dú)立完成“問題—方程—解答—檢驗(yàn)”的閉環(huán)，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。三、教學(xué)問題診斷分析找不準(zhǔn)等量關(guān)系：部分學(xué)生難以從文字描述中提取關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系（如“寬比長少4cm”隱含“長－寬=4”）。忽視實(shí)際約束：如鐵絲圍長方形時(shí)忽略“長、寬為正數(shù)”，或工程問題中忽略“合作效率疊加”。處理比例能力弱：在變式訓(xùn)練中，若涉及比例（如體積比1:2），學(xué)生易混淆部分與整體的關(guān)系。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)情景引入問題1用一根長60cm的鐵絲圍長方形。(1)若寬是長的23(2)若寬比長少4cm，求面積；(3)比較(1)(2)中兩個(gè)長方形的面積大小，還能圍出更大面積嗎？問題2改為“寬比長少3cm、2cm、1cm、0cm”，面積如何變化？問題3閱讀材料：周長固定時(shí)，正方形面積最大。為什么？若用鐵絲圍成任意封閉圖形，面積最大的是什么圖形？設(shè)計(jì)意圖：通過生活實(shí)例（圍鐵絲）激發(fā)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從算術(shù)思維轉(zhuǎn)向方程思維。問題(3)滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，為后續(xù)函數(shù)最值問題做鋪墊，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)(2)。(二)合作探究1探究1新學(xué)年某校為災(zāi)區(qū)捐款，七年級(jí)占總數(shù)25追問：設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)最簡(jiǎn)便？“八年級(jí)是平均數(shù)”指什么？（總和÷3）師生問答：師：設(shè)總捐款為x元，則七年級(jí)捐多少？生：25師：八年級(jí)是平均數(shù)，如何表示？生：x3師：九年級(jí)1964元，總捐款方程如何列？生：25(三)鞏固練習(xí)1問題：某商品成本40元，售價(jià)60元；另一商品成本38元，售價(jià)54元。兩商品共售出3000kg，總利潤4.2萬元。若商品A每袋1kg，商品B每袋2kg，求各售出多少袋？解析：設(shè)商品A售x袋，則商品B售3000?x利潤方程：(60答案：商品A售1000袋，商品B售1000袋。問題：師徒檢修180m管道，師傅每小時(shí)15m，徒弟每小時(shí)10m。合作需幾小時(shí)完成？解析：合作效率：15+時(shí)間方程：25t=180→t答案：7.2小時(shí)。(四)合作探究2探究2師傅單獨(dú)完成工程需4天，徒弟需6天。徒弟先做1天，再合作完成，總報(bào)酬900元按工作量分配，如何分？追問：師徒工作效率各是多少？徒弟先做1天完成多少？剩余工作量如何計(jì)算？猜想：徒弟效率：16/天，師傅效率：1驗(yàn)證：徒弟1天完成16，剩余5合作效率：14合作時(shí)間：56÷探究3：分配方案徒弟總工作量：16師傅工作量：14報(bào)酬：各450元。設(shè)計(jì)意圖：通過工作量計(jì)算，強(qiáng)化“效率×?xí)r間=總量”模型，并滲透公平分配原則，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)(3)。(五)典例分析例1底面直徑5cm、高18cm的圓柱瓶裝滿水，倒入直徑6cm、高10cm的杯中，能否裝滿？解：體積比較：瓶容積：π×(杯容積：π×結(jié)論：112.5π>90π→剩余水位：剩余水量：112.5π?瓶底面積：π×(水面高度：22.5π6.25π設(shè)計(jì)意圖：融合幾何體積與方程思想，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(3)。(六)鞏固練習(xí)問題：長方體橡皮泥（4cm×3cm×2cm）捏成底面半徑1.5cm的圓柱，求圓柱高。（π≈解：體積不變：4×圓柱底面積：3.14×(高：24÷問題：機(jī)票托運(yùn)：免費(fèi)20kg，超重部分按機(jī)票價(jià)1.5%/kg收費(fèi)。旅客托運(yùn)35kg，總付1323元，求機(jī)票價(jià)。解：設(shè)機(jī)票價(jià)x元，超重15kg。方程：x+15×0.015x=問題：制作小旗：原計(jì)劃一半人每天做40面。完成13解：設(shè)總旗數(shù)x面，原計(jì)劃天數(shù)t。前半程：13x設(shè)計(jì)意圖：通過多背景問題（幾何、經(jīng)濟(jì)、工程），強(qiáng)化建模能力，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)(3)。(七)歸納總結(jié)問題類型等量關(guān)系關(guān)鍵步驟鐵絲圍長方形長+寬=半周長設(shè)元注意比例關(guān)系年級(jí)捐款分配各部分之和=總量靈活設(shè)總數(shù)為x師徒合作工程工作量=效率×?xí)r間合作效率為效率之和(八)感受中考(2023·青海)某商品按標(biāo)價(jià)八折售出，利潤率為20%。若進(jìn)價(jià)100元，求標(biāo)價(jià)。解：設(shè)標(biāo)價(jià)x元，方程：0.8x=100×(2024·廣西)師徒合作修路，師傅獨(dú)做需10天，徒弟獨(dú)做需15天。現(xiàn)合作5天后徒弟離開，剩余由師傅完成，求總天數(shù)。解：合作5天完成5×(110+115)=56，剩余16(2022·浙江)用長80cm鐵絲圍長方形，長比寬多10cm，求面積。解：設(shè)寬xcm，則長x+10cm，方程：2(x+x+(2023·江蘇)七年級(jí)植樹占全校13，八年級(jí)占1解：設(shè)總數(shù)x，方程：13x+設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。(九)小結(jié)梳理核心思想應(yīng)用場(chǎng)景易錯(cuò)點(diǎn)方程建模幾何問題、經(jīng)濟(jì)問題忽略實(shí)際約束條件效率疊加工程合作問題未統(tǒng)一工作量單位比例分配捐款、資源分配混淆部分與整體關(guān)系(十)