………………○………………外………………○………………裝………………○………………訂………………○………………線………………○………………○………………外………………○………………裝………………○………………訂………………○………………線………………○………………○………………內(nèi)………………○………………裝………………○………………訂………………○………………線………………○………………此卷只裝訂不密封試題第=PAGE2*2-13頁（共=SECTIONPAGES3*26頁）試題第=PAGE2*24頁（共=SECTIONPAGES3*26頁）2025-2026學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：華東師大版九年級上冊第21章~第22章。一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．下列二次根式中能與合并的是（）A． B． C． D．2．用配方法解方程變形結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．3．關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則下列關(guān)于的值判斷正確的是（

）A． B． C． D．4．如果，則（）A． B． C． D．5．如果，，那么下列各式中正確的是（

）A．B．C．D．6．城市花園街道計劃5月舉辦一次街道內(nèi)各小區(qū)足球聯(lián)誼賽，賽制為單循環(huán)制（每兩隊比賽一場），計劃邀請個參賽隊，舉辦21場比賽，下列方程中正確的是（

）A． B． C． D．7．估計的值應(yīng)在（

）A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間8．關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為，且，則的值為（）A．1 B． C．3 D．9．二次根式除法可以這樣做：如果．像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或者把根號中的分母化去，叫做分母有理化．有下列結(jié)論：①將式子進(jìn)行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以；②若a是的小數(shù)部分，則的值為；③比較兩個二次根式的大?。?；④計算；⑤若，，且，則整數(shù)．以上結(jié)論正確的是（）A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤10．韋達(dá)是法國杰出的數(shù)學(xué)家，其貢獻(xiàn)之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關(guān)系，如一元二次方程的兩實數(shù)根分別為，則方程可寫成，即，容易發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系：．設(shè)一元三次方程三個非零實數(shù)根分別，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①，②；③；④，其中正確的有（）個A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分．）11．若與最簡二次根式是同類二次根式，則．12．已知，化簡二次根式的正確結(jié)果是．13．我們對一個四邊形頂點和邊都賦給一個特征值，并定義：兩組對邊的特征值分別相乘再相減叫做對邊值，兩組對角所在頂點的特征值分別相乘再相加叫做對角值．如圖：四邊形的對邊值為、對角值為．現(xiàn)在有一四邊形特征值如下圖，已知該四邊形對邊值等于對角值，則圖中的特征值x的值為．

14．已知，去分母，得；移項，得；兩邊平方，得；整理，得．我們規(guī)定：方程稱為的“還原方程”．（1）的“還原方程”是；（2）若，則代數(shù)式．15．方程的較大的根為p，方程的較小的根為q，．16．若，則的最大值是．17．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，則；③若，則關(guān)于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，則方程的一個根為1．其中正確的是．（寫出所有正確說法的序號）18．若、為正有理數(shù)，則有得到有理數(shù)結(jié)果，例如：．我們把稱為“的有理化因式”，與互稱為“有理化因式”．某同學(xué)利用有理化因式，得到如下結(jié)論：①；②；③若（其中為有理數(shù)）則；④若，則．以上結(jié)論正確的有（寫出所有正確結(jié)論的序號）．三、解答題（本題共8小題，共78分．其中：19-20題每題9分，21-22題每題8分，23-24題每題10分，25-26題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（滿分9分）計算：(1)；(2)；(3)．20.（滿分9分）解一元二次方程：(1)；(2)．(3)21．（滿分8分）已知關(guān)于的方程(1)求證：不論取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；(2)當(dāng)為何整數(shù)時，關(guān)于的方程有兩個整數(shù)根？22．（滿分8分）一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，∴，．這樣可以把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得：______，______；(2)計算：．23．（滿分10分）根據(jù)以下素材，完成任務(wù)一、二、三：你了解黃金矩形嗎？問題背景素材一矩形就是長方形，四個角都是；兩組對邊平行且相等素材二寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．如希臘的巴特農(nóng)神廟．素材三我們在學(xué)習(xí)二次根式時，常遇到這種分母含有無理式的式子，需要通過分式性質(zhì)和平方差公式來進(jìn)行化簡，我們稱之為“分母有理化”．例如：素材四黃金矩形是可以通過折紙折疊出來的．操作步驟【第一步】在一張矩形紙片的一端，利用圖2所示的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．【第二步】如圖3，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．【第三步】折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線，并把折到圖4中所示的處．【第四步】展平紙片，按照所得的點D折出，矩形（圖5）就是黃金矩形．解決問題任務(wù)一化簡：任務(wù)二請說明矩形是黃金矩形的理由；任務(wù)三如圖5，若，連接，求點E到線段的距離．24．（滿分10分）某服裝店在銷售A，B兩款服裝時，銷售員記錄了從4月到6月的銷售情況，請根據(jù)以下素材完成“問題解決”中的三個問題．素材1A款服裝每銷售一件可盈利100元，已知4月份銷售量為64件，且銷售量逐月遞增，6月份銷售量達(dá)到100件．B款服裝每銷售一件可盈利150元，每月的銷售量均為80件．素材27月開始換季，服裝店僅對A款服裝進(jìn)行降價銷售，根據(jù)往年數(shù)據(jù)測算：以6月份的月銷售量為基準(zhǔn)，A款服裝每降5元，其月銷售量增加25件，同時會使B款服裝月銷售量減少10件．問題解決問題1：求6月份銷售A，B兩款服裝的利潤之和．問題2：求A款服裝從4月到6月銷售量的平均月增長率．問題3：為了使7月份銷售A，B兩款服裝的利潤之和達(dá)到22500元，那么A款服裝應(yīng)降價多少元？25．（滿分12分）綜合與實踐：閱讀材料，并解決以下問題．(1)學(xué)習(xí)研究：北師大版教材九年級上冊第39頁介紹了我國數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關(guān)于一元二次方程的幾何解法：以為例，求解過程如下：①變形：將方程變形為；②構(gòu)圖：畫四個長為，寬為的矩形，按如圖（1）所示構(gòu)造一個“空心”大正方形；

③解答：則圖中大正方形的面積從整體看可表示為，從局部看還可表示為四個矩形與中間小正方形面積之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示邊長，∴，即．這種數(shù)形結(jié)合方法雖然只能得到原方程的其中一個正根．但是從新方程可以得到原方程的另一個根是________．(2)類比遷移：根據(jù)趙爽幾何解法的方法求解方程的一個正根（寫出完整的求解過程，并在畫圖區(qū)畫出示意圖、標(biāo)明各邊長）．(3)拓展應(yīng)用：一般地對于形如：一元二次方程可以構(gòu)造圖（2）來解，已知圖2是由四個面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4．那么________，________，方程的一個正根為________．26．（滿分12分）【發(fā)現(xiàn)問題】由得，；如果兩個正數(shù)，即，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號．【分析問題】例如：已知，求式子的最小值．解：令，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，式子有最小值，最小值為4．【解決問題】請根據(jù)上面材