第2章有理數教學目標1.理解正數與負數的概念，掌握有理數的概念與分類。2.掌握數軸、絕對值、相反數的相關概念，學會用數軸表示有理數，了解絕對值的幾何意義，會分類討論數軸中的動點問題；學會用數軸比較有理數的大小。3.掌握有理數的四則混合運算，學會運用有理數的四則運算法則進行計算，可以獨立解決簡便計算問題；掌握有理數四則運算實際問題。4.掌握科學記數法相關概念。教學重難點1.重點（1）有理數的分類；（2）數軸的表示、絕對值的性質和相反數的定義；（3）有理數的四則混合運算。2.難點（1）數軸上的動點問題，動點的表示等；（2）學會表示絕對值的幾何意義，可以分類討論問題。（3）有理數的實際應用問題，找到數量關系，列出算式解決問題知識點一正數與負數正數與負數正數：像3.5，2020，6.7，等這樣的數都是正數，它們都是大于0的；負數：像－154，－3.4，－3.5％等這樣的數都是負數，它們都是小于0的；0既不是正數，也不是負數.1.一個數前面的“＋”號或“－”號叫做它的符號，其中“＋”號可以省略不寫，“－”號不能省略；2.0的意義不但可以表示“沒有”，還可以表示一些特定的意義，如0℃是一個確定的溫度，不能說0℃沒有溫度；具有相反意義的量1.具有相反意義的量包括兩個因素：①有相反的意義，②有數量.（1）單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量，即具有相反意義的量總是成對出現的；（2）具有相反意義的量必須是同類量，如盈利200元與向東走200米就不是具有相反意義的量；（3）具有相反意義的量只要求具有相反意義和數量即可，數量不一定要相等，例：與上升100米是相反意義的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等；（4）常見的具有相反意義的量：以海平面為基準，高于海平面為正，則低于海平面為負；常見的還有前進與后退，上升和下降，盈利和虧損，向南和向北等.2.當我們把其中一種意義的量規(guī)定為正，用正數表示，則與它具有相反意義的量直接可以用負數表示.整數和分數整數：正整數、負整數、零統稱為整數；分數：正分數、負分數統稱為分數；易錯點：1.0不是分數，0是整數；2.零和正整數又叫自然數；3.正數和零統稱為非負數，負數和零統稱為非正數，正整數和零統稱為非負整數（自然數），負整數和零統稱為非正整數；4.有限小數和無線循環(huán)小數都可以化成分數（見知識點五的拓展）.用正負數表示誤差范圍【即學即練】1．（2025·江蘇無錫·一模）我國古代數學名著《九章算術》中已經用正負數來表示相反意義的量．若將向南行走10步記作“”，則向北行走8步可記作（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正負數的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：“正”和“負”相對，所以，若將向南行走10步記作“”，則向北行走8步可記作．故選：A．【答案】【分析】本題主要考查有理數的分類，牢記負數的定義（小于）是解題的關鍵．根據定義即可求得答案．故答案為：．知識點二有理數的概念與分類我們把能夠寫成分數形式（m，n是整數，n≠0）的數叫做有理數.1.有理數只包括整數和分數；2.有限小數和無限循環(huán)小數都可以化成分數，所以它們都是有理數；拓展：循環(huán)小數化成分數如果一個無限小數的各數位上的數字，從小數部分的某一位起，按一定順序不斷重復出現，那么這樣的小數叫做無限循環(huán)小數，簡稱循環(huán)小數，其中重復出現的一個或幾個數字叫做它的一個循環(huán)節(jié)．循環(huán)小數又可以分為純循環(huán)小數和混循環(huán)小數.（1）純循環(huán)小數化分數（2）混循環(huán)小數化分數有理數的分類由有理數的特征，一般會有以下兩種分法.1.按定義分2.按正負分補充：有理數的分類原則標準要統一，必須按同一分類標準進行分類，如將有理數分為正有理數、0和負分數，分類標準就不統一；分類不重合，所分的各類應互不包含，如有理數分為非負有理數、0和正有理數就違反了這一原則；分類無遺漏，所分各類之“和”必須是原來的全部，如將有理數分為正有理數和負有理數就漏掉了0.【即學即練】【答案】3/三【分析】本題考查了有理數的定義，有理數分為：整數和分數．根據有理數的定義即可得出結論．故答案為：3．4．（2425七年級上·江蘇無錫·階段練習）把下列各數分別填入相應的集合內負有理數集合{

}

正分數集合{

}

非負整數集合{

}【分析】本題考查有理數的分類，掌握正數、負數、整數、分數、正有理數、負有理數、正分數、負分數的定義與特點．注意整數和正數的區(qū)別．根據有理數的分類方法進行解答即可．非負整數集合{0，12}．知識點三數軸的概念與畫法1.數軸定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸.（1）數軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；（2）數軸有三要素：原點、正方向、單位長度，缺一不可；（3）數軸三要素是“規(guī)定”的，通常，我們習慣性向右為正方向，原點的位置和單位長度的大小要依據實際情況靈活選取，但是，一旦選定后就不能隨意改變；（4）在同一條數軸上，單位長度的大小必須統一，要根據實際問題靈活選取單位長度的大小.2.數軸的畫法（1）畫一條直線（通常畫成水平位置）；（2）在這條直線上取一點作為原點，這點表示0；（3）確定正方向：規(guī)定直線上向右為正方向，畫上箭頭；（4）選取適當的長度，從原點向右每隔一個單位長度取一點，依次標上1，2，3，…從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次標上1，2，3，…有理數與數軸上點的對應關系1.所有的有理數都可以用數軸上的點表示.（1）正數可以用數軸上原點右邊的點表示；（2）負數可以用數軸上原點左邊的點表示；（3）0用原點表示.2.所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不一定表示有理數.3.數軸上的點與有理數建立了一一對應的關系，揭示了數與形的聯系，是數形結合的基礎.利用數軸比較有理數的大小1.在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；2.正數都大于0，負數都小于0，正數大于負數.正確畫出數軸后，將各個有理數在數軸上表示出來，按照從左到右順序用“＜”號或者按照從右到左順序用“＞”號連接起來，注意不要漏數.有理數大小關系的傳遞性對于有理數a、b、c，若a＞b，且b＞c，那么a＞c；若a＜b，且b＜c，那么a＜c；【即學即練】5．（2425七年級上·江蘇常州·期末）下列各圖中，所畫出的數軸正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了數軸的表示方法，根據數軸的表示方法逐項判斷即可．【詳解】解：A、沒有單位長度，故錯誤；B、沒有正方向，故錯誤；C、有原點，正方向，單位長度，正確；D、沒有原點，故錯誤．故本題選：C．【答案】【分析】本題考查數軸上中點表示的數計算．根據題意利用求中點數公式即可得到本題答案．故答案為：．知識點四絕對值與相反數絕對值的幾何意義在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做這個數的絕對值.數a的絕對值記作，讀作“a的絕對值”.1.因為距離不可能為負，所以一個數的絕對值都是非負數；2.數軸上表示一個數的點離原點越遠，這個數的絕對值就越大，反之，數軸上表示一個數的點離原點越近，這個數的絕對值就越??；絕對值圖示：絕對值的性質1.絕對值的性質正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值還是0，即2.絕對值的非負性（1）若幾個非負數的和為0，則每個加數分別為0；（2）絕對值是某個正數的數有兩個，且它們互為相反數.相反數的意義1.相反數的定義：符號不同，絕對值相同的兩個數互為相反數，其中一個數叫做另一個數的相反數.（1）0的相反數是0；（2）相反數是成對出現的，單獨的一個數不能說是相反數（類似倒數）.2.相反數的幾何意義：在數軸上位于原點兩側且到原點的距離相等的兩個點所表示的數互為相反數.（1）數軸上表示互為相反數的兩個點到原點的距離相等；（2）數軸上與原點距離是a（a是一個正數）的點有兩個，分別在原點的左右兩邊，它們表示的數互為相反數.3相反數的性質任何數都有相反數，且僅有一個．正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數是0．4.相反數的特征若a與b互為相反數，則a＝－b，反之，若a＝－b，則a與b互為相反數.（1）求一個數或一個字母的相反數，只要在它的前面添上“－”號即可；（2）求一個式子的相反數，要在這個式子整體前面添上“－”，如a－b的相反數為－（a－b），括號不要忘記了！多重符號化簡1.相反數的定義是多重符號化簡的依據，如－（－1）表示－1的相反數，所以－（－1）＝1；2.由相反數的性質由內向外化簡，當最前面的符號是“＋”時，可省略，當最前面的符號是“－”時，去掉“－”號，寫出括號內的相反數；3.先省略所有的“＋”號，用“－”號的個數去掉結果的符號，當“－”號的個數是偶數時，化簡的結果為正數；當“－”號的個數是奇數時，化簡的結果為負數.4.多重符號化簡后，最終的結果符號是由“－”號的個數決定的，與“＋”號的個數無關.【即學即練】【答案】故答案為：．8．（2425七年級上·江蘇鹽城·期末）若與互為相反數，則的絕對值等于．【答案】【詳解】解：∵與互為相反數，故答案為：．知識點五比較有理數的大小在上個專題中，講解了用數軸比較有理數的大小，這個專題中我們將學習利用絕對值比較有理數的大小.先將有理數進行分類，然后分別比較大小.1.正數比較大小，絕對值大的正數大；2.負數比較大小，絕對值大的負數??；3.正數要大于負數；4.正數大于0，負數小于0.【即學即練】【答案】【分析】本題考查有理數比較大小，根據兩個負數相比較，絕對值大的反而小，進行判斷即可．故答案為：．10．（2425七年級上·江蘇連云港·期中）把下列各數填在相應的大括號里，并用“<”把這些數連接起來．(1)負整數｛______…｝(2)正分數｛______…｝(3)非負數｛______…｝(4)負有理數｛______…｝(5)用“<”把這些數連接起來為：______．【答案】(1)【分析】本題考查了有理數的分類、有理數的大小比較方法．（1）根據有理數的分類解答即可；（2）根據有理數的分類解答即可；（3）根據有理數的分類解答即可；（4）根據有理數的分類解答即可；（5）根據有理數的大小比較方法即可得解．【詳解】（1）解：負整數｛…｝知識點六有理數的四則混合運算有理數加法法則同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。2.異號兩數相加，絕對值相等時，和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。絕對值不相等：3.一個數與0相加，仍得這個數。4.有理數加法運算步驟：（1）看：看兩個加數是同號還是異號；（2）定：確定和的符號；（3）求：根據有理數加法法則求和.有理數加法運算律有理數相加，兩個數相加，交換加數的位置，和不變；加法交換律：a＋b＝b＋a有理數相加，三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.加法交換律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）在有理數加法運算中，常利用有理數加法運算律先把正數和負數分開計算，各自求和后再相加.有理數加法中的一些計算技巧：相反數結合法：互為相反數的兩個數先相加；同號結合法：符號相同的數先相加；同分母結合法：分母相同的數先相加；湊整法：幾個數相加能夠得到整數的先相加.有理數減法法則0減去任何數都等于這個數的相反數，任何數減去0仍等于這個數.有理數加減法混合運算利用減法運算法則，將有理數加減混合運算轉化為有理數加法運算；去掉括號和括號前的加號（有絕對值的要先去掉絕對值后再計算）；利用加法法則和加法運算律進行計算.有理數乘法法則兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；0與任何數相乘都得0；任何數與1相乘都等于它本身，任何數與－1相乘都等于它的相反數；拓展：幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定．當負因數有奇數個時，積為負；當負因數的個數有偶數個時，積為正；幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個因數為0.一般地，在乘法運算中，若有帶分數和小數，應先把帶分數化為假分數，小數化為分數之后再計算，方便約分.有理數的乘法運算律拓展：三個或三個以上有理數相乘，任意交換因數的位置，或者先把其中幾個因數相乘，積相等；乘法分配律對一個有理數同多個有理數的和相乘仍適用倒數1.倒數：乘積為1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數.PS：單獨的一個數不能稱為倒數；0與任何數相乘都等于0，不可能等于1，所以0沒有倒數.2求一個數的倒數的方法：（1）一個不為0的整數的倒數，是用這個數作分母，1作分子的分數；（2）求一個真分數的倒數，就是將這個分數的分子與分母交換一下位置；（3）求帶分數的倒數，要先將帶分數化成假分數，再交換分子與分母的位置；（4）求小數的倒數，先將小數化為分數，再求倒數.3.化為倒數的兩個數的符號是相同的，正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，0沒有倒數.有理數除法法則除以一個不等于0的數，等于乘以這個數的倒數；兩個不為0的數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0除以任何一個不為0的數都等于0，0不能作為除數，無意義.一個非零的數除以它的本身等于1.兩數相除要先確定商的符號，再確定絕對值，其中商的符號的確定方法與有理數乘法中積的符號確定方法相同.補充：兩個數相除，若商是1，則這兩個數相等；若商是1，則這兩個數互為相反數.有理數的除法中沒有交換律、結合律、分配律.有理數乘除混合運算有理數乘除混合運算順序：沒有括號的情況下，按照從左到右的順序計算，有括號的要先算括號里面的；要先將除法化為乘法，化成連乘的形式，同時，有帶分數的先化成假分數，有小數的要先化成分數，然后按照有理數乘法運算法則進行計算.有理數乘方的意義求相同因數的積的運算叫做乘方，相同因數叫做底數，相同因數的個數叫做指數，乘方的運算結果叫做冪.乘方與冪不同，乘方是幾個相同因數的乘法運算，冪是乘方運算的結果；一個數可以看作是它本身的一次方，指數1可省略不寫；底數一定是相同的因數，當底數不是單純的一個數時，要用括號括起來；當負數或分數作為底數時，底數必須用括號括起來；一個數的二次方又稱為這個數的平方，一個數的三次方又稱為這個數的立方.有理數乘方的運算有理數乘方運算的符號法則正數的任何次冪都是正數；負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數；0的任何正整數次冪都是0；任何一個數的偶數次冪都是非負數.有理數的乘方運算計算一個有理數的乘方時，應先將乘方運算轉化為乘法運算，先確定冪的符號，再計算冪的絕對值.拓展：（1）1的任何次冪都是1；（2）－1的偶數次冪是1，－1的奇數次冪是－1；（3）平方等于它本身的數有0和1，立方等于它本身的數有0，1，－1.有理數的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按照從左到右的順序進行；如果有括號，先進行括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次計算；如需去括號，一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號.PS：在有理數混合運算中，通常情況下，帶分數要先化成假分數，小數要先化成分數，再進行計算，有些計算是可以同時進行的.利用運算律簡便計算有理數運算律包括加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律及乘法分配律等；一些計算優(yōu)先結合會簡便很多，如下所示：相反數結合；湊整結合；正、負分別結合；同分母結合；倒數結合【即學即練】11．（2425七年級上·江蘇南通·期末）計算：【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）先算乘法，再算加減即可；（2）先算乘方，再算括號里面的，然后算乘除，最后算加法即可．．12．（2425七年級上·江蘇南通·期末）計算：【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）先算絕對值，再算乘法，最后算加減即可；（2）先算括號里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加法即可．；知識點七科學記數法如何確定科學記數法中的a和n確定n的兩種方法：①若這個數是大于10的數，則n等于原數的整數位數減1；②按小數點移動的位數來確定n的值，小數點向左移動了幾位，n就等于幾.用科學記數法表示的數只是改變數的形式，而沒有改變數的性質和大??；用科學記數法表示一個帶有單位的數時，其表示的結果也應帶有單位，并且前后要一致；用科學記數法表示負數的方法和正數一樣，就是要在前面多一個“－”號；對用科學記數法表示的數進行還原時，只需將小數點向右移動n位（不足的數位用0補齊），并把乘號和去掉.【即學即練】13．（2025·江蘇鹽城·三模）2025年“五一”假期，鹽城市A級旅游景區(qū)、鄉(xiāng)村旅游重點村、旅游休閑街區(qū)共接待游客人次．數據用科學記數法表示為（

）【答案】C故選：C．題型01正數與負數【分析】本題考查了正數和負數，根據正數都大于0，負數都小于0即可得解，熟練掌握正負數的定義是解此題的關鍵．【答案】合格這個圓形零件合格．故答案為：合格．【分析】本題主要考查了正數和負數，解題的關鍵是讀懂題目，找出數籌和數字的對應關系．根據題干描述的算籌計數法計數即可．【詳解】4．出租車司機小張某天在季華路（近似的看成一條直線）上行駛，如果規(guī)定向東為“正”，向西為“負”，他這天上午的行程可以表示為：，，，，，，，，，（單位：千米）(1)小張將最后一名乘客送達目的地后需要返回出發(fā)地換班，請問小張該如何行駛才能回到出發(fā)地？(2)若汽車耗油量為升/千米，發(fā)車前油箱有升汽油，若小張將最后一名乘客送達目的地，再返回出發(fā)地，問小張今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出發(fā)地？若不用加油，請說明理由．【答案】(1)小張向西行駛1千米才能回到出發(fā)地(2)小張今天上午不需要加油，理由見解析【分析】本題考查了有理數的加法，正數和負數，熟練掌握有理數的加法是解答本題的關鍵．（1）根據題意，將小張所有行程按照向東為“正”，向西為“負”，依次相加，得到結果，判斷小張最后地點距離出發(fā)地的距離，以此分析小張該如何行駛才能回到出發(fā)地．（2）根據題意，計算出小張將最后一名乘客送達目的地，再返回出發(fā)地一共行駛的距離，然后計算行駛了這些距離耗的油量，最終得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，小張將最后一名乘客送達的目的距離出發(fā)地正東方向千米，故小張向西行駛1千米才能回到出發(fā)地．答：小張向西行駛1千米才能回到出發(fā)地．（2）不用加油，理由如下：答：小張今天上午不需要加油．題型02有理數5．把下列各數填入相應的集合內：整數集合：{

}．負數集合：{

}．非負整數集合：{

}．分數集合：{

}．（填序號）【答案】①②⑨；①③⑤；②⑨；③④⑤⑥⑧【分析】此題主要考查有理數的分類，準確把握相關概念的意義是解題的關鍵．根據有理數的分類標準，結合相關概念的意義進行區(qū)分選擇即可．【詳解】解：整數集合：{①②⑨…}．負數集合：{①③⑤…}．非負整數集合：{②⑨…}．分數集合：{③④⑤⑥⑧…}．6．把下列各數填入相應的集合中：(1)負分數集合{

}(2)正整數集合{

}(3)非負有理數集合{

}(2)28(3)0.5，28，0，【分析】本題主要考查了有理數的分類，解題過程中重點在于做到不重不漏．根據有理數分類進行填空即可．（2）解：正整數集合：{28}；（3）解：非負有理數集合：{0.5，28，0，}．7．把下面的數的序號填在相應的大括號里：（填序號）正數集合：｛

｝；整數集合：｛

｝；有理數集合：｛

｝；非負整數集合：｛

｝；【答案】①，②，⑥，⑦，⑧；①，③，⑤，⑥；①，②，③，⑤，⑥，⑧；①，③，⑥【分析】本題考查了對正數、負數、有理數等知識點的理解和運用，分別根據正數、負數、有理數的定義選出后分別填上即可．正數集合{①，②，⑥，⑦，⑧，…}；整數集合{①，③，⑤，⑥，…}；有理數集合{①，②，③，⑤，⑥，⑧，…}；非負整數集合{①，③，⑥，…}；故答案為：①，②，⑥，⑦，⑧；①，③，⑤，⑥；①，②，③，⑤，⑥，⑧；①，③，⑥．8．在學習《有理數》一章時，小君了解到：有理數是“比率數”，有理數可以寫成兩個整數之商．小君想“所有的有理數都可以寫成兩個整數之商嗎?”對此，他展開了研究，他分以下幾步來研究，請你來幫他補充完成：（1）整數和分數統稱有理數；（4）無限循環(huán)小數能化為分數嗎?根據小君的研究，回答下列問題：（以下計算結果均用最簡分數表示）【分析】本題考查了有理數的概念以及有理數表示為兩個整數之商，由題目明確提及“整數和分數統稱有理數”是研究的基礎概念，通過將整數寫成分數的形式是解決本題的關鍵．（2）將和0表示成兩個整數之商即可；（3）將帶分數化為假分數求解即可；故答案為：；故答案為：．題型03數軸(1)畫出數軸，在數軸上表示出這幾個數，并用“”連接起來；(2)這幾個有理數中是正數的有____________________．(2)4，2.5【分析】本題考查在數軸上表示有理數、有理數的大小比較，數軸上正確表示有理數是解答的關鍵．（1）先在數軸上表示這些數，再根據數軸上，右邊的數總比左邊的數大得到大小關系即可；（2）根據正數大于零求解即可．【詳解】（1）解：在數軸上表示出這幾個數，如圖：（2）解：由圖知，這幾個有理數中是正數的有：4，2.5．故答案為：4，2.5．(1)把下列這條直線補充成一條數軸，并把這些數用數軸上的點表示出來；(2)把這些數按照從小到大的順序排列，并用“”號連接起來．【答案】(1)見解析【分析】本題主要考查了用數軸表示有理數，利用數軸比較有理數的大?。?）在數軸上根據有理數與數軸的對應進行畫圖即可；（2）根據數軸上左邊的數小于右邊的數用小于號把各數連接起來即可．如圖所示，即為所求；（2）從小到大的順序排列如下：(1)這些有理數中，整數有____________個，負數有____________個；(2)畫出數軸并在數軸上標出上述有理數，并按從小到大的順序用“”連接起來．【答案】(1)3；2【分析】本題考查有理數的分類，數軸的應用以及有理數的大小比較，解題的關鍵是明確整數，負數的定義，會正確在數軸上表示有理數并比較大?。?）明確整數和負數的定義，據此確定給定有理數中整數和負數的個數；（2）畫出數軸，確定各有理數在數軸上的位置，根據數軸上數的大小規(guī)律比較各有理數大小．故答案為：3；2；（2）A．1 B．3或5 C．3 D．1或5【答案】B【分析】本題考查了數軸上點的運動規(guī)律，數軸上兩點之間的距離公式，掌握數軸上點的運動規(guī)律是解題的關鍵．根據數軸上點的運動規(guī)律及數軸上兩點之間的距離公式即可解答．【詳解】解：設運動的時間為秒，∵點表示的數為，點表示的數為10，∵的距離為5個單位長度，故選B．題型04數軸上點的移動【分析】本題主要考查了數軸上的點表示數，數軸上兩點之間的距離，先根據規(guī)律得出各點表示的數，進而求出點2023次跳動的點表示的數，再求出的中點，然后根據兩點之間的距離得出答案.【詳解】解：由題意可得，…，14．數軸上一動點A，向左移動2個單位長度到B，再向右移動3個單位長度到C點，若點C表示的數為5，則點A表示的數為．【答案】4【分析】本題考查了數軸，畫出數軸，然后確定出點C的位置，再向左移動3個單位確定出點B，向右移動2個單位確定出A，即可得解，逆向思維確定出各點的位置是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．【詳解】解：如圖所示：點表示的數為4，故答案為：．(2)相遇時點對應的數是多少？【答案】(1)秒(2)【分析】本題主要考查數軸上的點表示有理數，兩點之間距離的計算，掌握數軸的特點是關鍵．（1）根據題意，運用路程等于速度和乘以時間，由此列式即可求解；（2）運用兩點之間距離的計算即可．16．如圖，數軸上的點和點分別在原點的左側和右側，點A、B對應的實數分別是a、b，下列結論一定成立的是（

）【答案】A觀察四個選項，選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意，故選：A．題型05根據點在數軸的位置判斷式子的正負17．實數a，b，c在數軸上對應的點如圖，下列式子正確的是（

）【答案】D故選：D【答案】故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數與數軸的對應關系，數軸上的數右邊的數總是大于左邊的數，以及有理數的加法法則．19．已知a、b是有理數，其在數軸上對應的點如圖所示．【答案】(1)見解析【分析】本題主要考查數軸的理解和運用，和利用圓規(guī)作出數軸上的對應的點，熟練應用圓規(guī)作出數軸上的對應的點是解題的關鍵．（1）按照尺規(guī)作圖的作法，在數軸上作圖即可，（2）根據數軸從左到右的順序，就是從小到大的順序排序即可．【詳解】（1）（2）如圖可知，【答案】(1)，(2)10比距離原點要遠，故答案為：．【點睛】本題主要考查了利用數軸判斷式子正負，數軸上兩點的距離公式，利用數軸判斷a、b、c的取值范圍是解此題的關鍵．題型06相反數與絕對值21．下列各組數中，互為相反數的是（

）【答案】D【分析】本題考查了化簡多重符號，相反數的定義．根據相反數的定義，只有符號不同的兩個數互為相反數．先化簡各選項中的數，再判斷是否滿足條件．故選：D．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查絕對值等知識點．根據絕對值的性質，通過舉反例逐項判斷即可．綜上，錯誤的有①②③共3個．故選：C．23．在數軸上，如果點表示的數是，那么到點的距離等于3個單位的點所表示的數是．【答案】或【分析】本題考查數軸上兩點距離，掌握數形結合思想是解決此類題型的關鍵．到到點A距離等于3個單位的點可能在A點的左邊，也可能在A的右邊，可以直接設此點表示的數為x，根據兩點之間距離等于兩點所對數之差的絕對值列式求解即可．【詳解】解：設到點距離等于個單位的點所表示的數為，(1)，，．（填“”“”“”）【答案】(1)，，(2)，，【分析】本題考查了有理數大小比較、數軸、絕對值等，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）根據各數在數軸上的位置填空即可；（2）根據各數在數軸上的位置填空即可；（3）根據（2）中各式的正負性進行絕對值化簡即可．故答案為：，，；故答案為：，，；題型07絕對值的性質A．3 B． C． D．0【答案】A故選：A．【答案】B【分析】此題考查了絕對值的非負性，根據絕對值的非負性求解即可．故選：B．【答案】15【分析】本題考查了絕對值非負性的應用，先根據已知條件得到a的值，然后根據絕對值的非負性得到b、c的值，掌握絕對值的非負性是解題的關鍵．【詳解】解：∵a是最大的負整數，28．已知：a與3互為相反數，b的絕對值為最小的正整數，回答以下問題．(1)______，______；【分析】本題主要考查相反數、絕對值的非負性；（1）根據相反數及絕對值可直接進行求解a、b的值；（2）根據（1）及絕對值的非負性可得m、n的值，然后代入求解即可．【詳解】（1）∵a與3互為相反數，b的絕對值為最小的正整數，題型08絕對值化簡【分析】本題主要考查數軸及絕對值，熟知絕對值的性質及能根據所給數軸判斷出絕對值內代數式的正負是解題的關鍵．根據所給數軸，得出絕對值內代數式的正負，再結合絕對值的性質即可解決問題．【答案】(1)，，；(2)；(3)．【分析】（1）根據、、在數軸上的位置即可求解；（）根據相反數的定義即可求解；（）結合數軸，根據絕對值性質去絕對值符號，再合并即可求解；本題考查了數軸，絕對值的性質，相反數的定義，掌握知識點的應用是解題的關鍵．故答案為：，，；故答案為：；．【答案】(1)，，(2)或【分析】（）根據數軸解答即可求解；本題考查了絕對值的意義，數軸上兩點間距離，有理數與數軸，理解絕對值的意義是解題的關鍵．故答案為：，，；∴數不可能在與之間，故答案為：或；32．有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示：【答案】(1)【分析】本題考查了數軸、有理數的大小比較、化簡絕對值，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．題型09絕對值的其他應用33．水文站以警戒線為標準測量水庫的水位，超過警戒線記為正，低于警戒線記為負，下表是一天五次的測量數據，其中第次測量時水位離警戒線最近．次序12345水位（厘米）168【答案】3【分析】本題考查了正數和負數，利用了絕對值的意義，絕對值越小越接近標準．根據絕對值的意義，可得答案．絕對值越小越接近警戒水位，即其中第3次測量時水位離警戒線最近．故答案為：3．【答案】6【分析】本題考查了絕對值的應用，正確掌握絕對值的意義是解題的關鍵，根據絕對值的意義求解即可．故答案為：6．理解：（1）數軸上表示2和的兩點之間的距離是；（2）數軸上表示x和的兩點A和B之間的距離是；應用：某環(huán)形道路上順次排列有四家快遞公司：A、B、C、D，它們順次有快遞車16輛，8輛，4輛，12輛，為使各快遞公司的車輛數相同，允許一些快遞公司向相鄰公司調出，問共有種調配方案，使調動的車輛數最少．【分析】本題考查了數軸與絕對值，掌握絕對值的意義和性質是解題的關鍵．理解：（1）根據兩點之間的距離即可求解；（2）根據兩點之間的距離即可求解；應用：根據題意畫出圖形，再根據圖形即可求解；故答案為：；應用：根據題意，畫圖如下，共有種調配方案：故答案為：．(2)4【分析】本題考查絕對值的幾何意義，數軸上兩點之間的距離，正確掌握數軸上兩點之間的距離的計算方法是解題的關鍵．（1）①根據絕對值的幾何意義，以及數軸上兩點之間的距離求解，即可解題；②根據絕對值的幾何意義，以及數軸上兩點之間的距離求解，即可解題；（2）在數軸上表示x的點到三個點表示的數之間的距離之和最小，即x取三個數中間的數時，距離之和取最小值，據此求解即可；故答案為：5或．故答案為：；第8個分段點是2023，題型10有理數大小比較37．比較與的大?。痉治觥勘绢}考查的是有理數的大小比較，根據正數大于0，負數小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小比較即可．38．比較下列各組數的大?。?2)與；【分析】本題考查了有理數的大小比較，掌握正數大于零，零大于負數，正數大于負數，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小是解答本題的關鍵．兩個負數比較大小，先比較絕對值，利用絕對值大的反而小即可得解；39．比較下列各組數的大?。?1)和2；(2)和；【分析】本題考查了有理數的大小比較，化簡絕對值，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據正數大于負數，即可作答．（2）根據負數的絕對值越大的數反而越小，即可作答．（3）先化簡絕對值，再根據正數大于負數，即可作答．（4）結合正數大于0，0大于負數，負數的絕對值越大的數反而越小，即可作答．(1)按要求填空：正分數有；負整數有；非負有理數有．(2)將其中的整數按從小到大的用“”號連接起來．【分析】本題主要考查了有理數的分類，有理數比較大小，數量掌握有理數的相關知識是解題的關鍵．（1）根據有理數的分類方法進行求解即可；（2）根據正數大于0，0大于負數，兩個負數比較大小，絕對值越大其值越小進行求解即可．題型11有理數的四則混合運算41．計算【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了有理數的四則混合計算，含乘方的有理數混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．（1）先計算乘除法，再計算減法即可得到答案；（2）先計算乘方，再計算括號內的加法，接著計算乘法和絕對值，最后計算加法即可得到答案．；42．計算：【答案】(1)(2)8【分析】本題考查了有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則以及乘法分配律．（1）將除法算式轉化成乘法算式，再利用乘法對加法的分配律進行計算即可；（2）先進行乘方運算，再進行乘除法運算，再進行有理數的加減運算．．43．計算：【答案】(1)；(3)(5)【分析】（1）先將減法轉化為加法，再利用加法交換律和結合律進行簡便運算．（2）先計算括號內的式子，再將除法轉化為乘法，最后按照從左到右的順序依次計算．（3）用括號內的每一項分別乘以，再將所得的積相加．（5）按照先乘方、再乘除、最后算加減，有絕對值先算絕對值里面的運算順序進行計算．；【點睛】本題主要考查了有理數的混合運算，包括加減、乘除、乘方以及絕對值的運算，同時涉及乘法分配律的應用．熟練掌握有理數混合運算的運算順序、運算法則以及乘法分配律是解題的關鍵．44．計算【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數的混合運算，按步驟計算即可．（1）先算括號里面的，再算乘除，最后算減法即可；（2）先算乘方及絕對值，再算乘除，最后算加減即可．題型12有理數混合運算的實際應用45．胡老師的新能源汽車上周日行駛里程為75km，記該汽車上周日的行駛里程為0，下表是該汽車本周行駛里程的變化情況（正號表示里程比前一天多，負號表示里程比前一天少，上周日的行駛里程記為0）．星期一二三四五六日里程變化/km(1)本周哪一天該汽車行駛里程最多？這一天該汽車行駛了多少千米？(2)本周該汽車的行駛里程為多少千米？(3)已知該汽車滿電續(xù)航里程（汽車充滿電時可以行駛的總路程）為550km，當續(xù)航里程不足滿電續(xù)航里程的10％時需要為汽車充電，本周一早上出發(fā)時該汽車為滿電狀態(tài)．請通過計算說明，本周日胡老師使用完該汽車后，是否需要為該汽車充電？【答案】(1)本周五該汽車行駛里程最多，這一天該汽車行駛了80千米；(2)本周該汽車的行駛里程為520千米；(3)本周日胡老師使用完該新能源汽車后，需要為該新能源汽車充電．【分析】本題考查有理數混合運算及正數和負數的實際應用，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．（1）根據正數和負數的實際意義分別求得本周每天的實際行駛里程，據此即可求得答案；（2）將每天的行駛里程相加并計算即可；【詳解】（1）解：由題意可得，本周每天的實際行駛里程如下：則本周五該汽車行駛里程最多，這一天該汽車行駛了80千米；即本周該汽車的行駛里程為520千米；所以，本周日胡老師使用完該新能源汽車后，需要為該新能源汽車充電．46．小穎大學暑假期間在某玩具廠勤工儉學．廠里規(guī)定每周工作6天，每人每天需生產A玩具30個，每周生產180個．下表是小穎某周實際的生產情況（增產記為正、減產記為負）：星期一二三四五六增減產值(1)根據記錄的數據可知小穎星期二生產玩具________個；(2)根據記錄的數據可知小穎本周實際生產玩具________個；(3)該廠規(guī)定：每生產一個玩具可得工資5元，若超額完成任務，則超過部分每個另獎3元，少生產一個則倒扣2元；工資采用“每周計件工資制”．小穎本周工資是多少？【答案】(1)23(2)191(3)元【分析】本題考查了正數與負數，有理數的混合運算，讀懂表格數據，根據題意準確列式是解題的關鍵．（2）先把增減的量都相加，然后根據有理數的加法運算法則進行計算，再加上計劃生產量即可；（3）用基本工資加上獎勵工資即可求出本周工資．故答案為：23；故答案為：191；答：每周計件工資制，小穎本周的工資總額是元．47．西安市地鐵2號線北起草灘站，南至常寧宮站，如圖是2號線的部分站點圖，某天，李剛從小寨站出發(fā)，負責2號線上這10站路段志愿者服務活動，到A站下車時，本次志愿者服務活動結束，若規(guī)定向北為正，向南為負，當天的乘車站數按先后順序依次記錄如下（單位：站）：，，，，，，，．(1)請通過計算說明A站是哪一站？【答案】(1)A是鐘樓站【分析】本題主要考查了有理數混合運算的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意正確列出算式計算．（1）將題中記錄數據相加，即可解答；（2）將所記錄數據的絕對值相加，得到乘坐的站數，再乘以兩站之間的平均距離即可求解．站距離小寨4個站，答：A是鐘樓站；（2）由題意得：48．2024年9月8日至11日，第二十四屆中國國際投資貿易洽談會在廈門舉行，本次主題為“投資鏈接世界”，共吸引了120個國家和地區(qū)、18個國際組織、1000多個境內外政府機構及工商企業(yè)團組、近8萬名客商參展參會．通過展覽展示、會議論壇、項目對接和信息發(fā)布等多種形式，助力投資合作精準匹配，讓國際資本進入中國、中國企業(yè)走向國際．為了確保本次洽談會的順利進行，廈門國際會議展覽中心沿線加強警力巡邏，某巡警早上從會展路路口出發(fā)，騎摩托車在東西走向的會展路上巡邏，晚上停留在會展路A處，規(guī)定向東為正，向西為負，當天行駛記錄如下（單位：千米）：(1)通過計算說明A處在會展路路口的什么方向？距離會展路路口有多遠？(2)若巡警所騎摩托車行駛1千米耗油0.05升，則這一天摩托車共耗油多少升？【答案】(1)A處在會展路路口的東方向，距離會展路路口有5千米(2)這一天摩托車共耗油4.05升【分析】此題考查正數和負數以及有理數的混合運算，此題的關鍵是讀懂題意，列式計算．（1）計算這幾個數的和，根據和的符號、絕對值判斷A處在會展路路口的方向和距離，（2）計算行駛的總路程，即各個數的絕對值的和，再求出用油量．答：A處在會展路的東方向，距離會展路有5千米．答：這一天摩托車共耗油4.05升．題型13有理數的簡便運算與規(guī)律計算49．計算下面各題，能簡便的用簡便方法計算．【答案】(1)9(2)6(3)(4)【分析】本題主要考查了有理數混合運算，熟練掌握運算法則，是解題的關鍵．（3）先算小括號里的減法，再算中括號里的除法，最后算中括號外的乘法；；；50．簡便計算：【答案】(1)(2)【分析】（1）根據有理數的混合運算法則計算即可．（2）利用分配律，計算即可．本題考查了有理數的混合運算，分配律的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．這種求和的方法稱為裂項求和法：裂項法的實質是將數列中的每項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的．規(guī)律應用：【答案】【分析】本題考查了有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現式子的變化特點．通過裂項求和法可以求得所求式子的值．52．一串分數，，，，，，，，，，…，問：(1)是這串分數的第________個，第50個分數是________．【答案】(1)26；(2)；2(3)885【分析】本題考查的是數字的規(guī)律探究，通過觀察，分析、歸納發(fā)現其中的規(guī)律，并應用發(fā)現的規(guī)律解決問題是應該具備的基本能力．（2）根據同分母分數運算法則進行計算即可；∴是這串分數的第26個；∴這列數中第50個數是．……題型14科學記數法53．2024年10月30日，“神舟十九號”載人飛船發(fā)射取得圓滿成功．在發(fā)射過程中，飛船的飛行速度約為米/分，請將數據“”用科學記數法表示為（

）【答案】C根據科學記數法的定義進行變形即可．故選：C．54．2024年6月25日嫦娥六號順利返回地球，帶回大約的月背樣本，實現世界首次月背采樣返回，標志著我國對月球背面的研究又進入了一個新的高度．已知月球到地球的平均距離約為千米，數據用科學記數法表示為（

）【答案】C故選：C．55．今年1月3日，我國的嫦娥四號探測器成功在月球背面著陸，標志著我國已經成功開始了對月球背面的研究，填補了國際空白．月球距離地球的平均距離為38.4萬千米，數據38.4萬用科學記數法表示為．【分析】本題主要考查了科學記數法表示絕對值大于1的數，題型15程序流程圖【答案】34故答案為：34．58．按如圖所示的程序計算，若開始輸入的數為0，則最后輸出的結果為．【答案】【分析】本題考查有理數的運算，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．由題意列式計算，直至結果大于8即可．【詳解】解∶開始輸入的數為0，故答案為∶59．請你在2，，4，，6中任選四個數，利用有理數的混合運算，使得這四個數的運算結果為24，請列出2種表達式【分析】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握“二十四點”游戲規(guī)則是解本題的關鍵．任選四個數，用加減乘除乘方任意運算連在一起，結果為24即可．60．游戲“點”規(guī)則如下：從一副撲克牌（去掉大王、小王）中任意抽取張，根據牌面上的數字進行混合運算（每張牌必須用一次且只能用一次），使得運算結果為，其中紅色（方塊、紅桃）撲克牌代表負數，黑色（梅花、黑桃）撲克牌代表正數．請用如圖抽取出的張牌，寫出一個符合規(guī)則的算式：．【分析】本題考查了有理數的混合運算，根據有理數的運算法則列式即可，掌握有理數的運算法則是解題的關鍵．題型16拓展訓練之數軸綜合【分析】本題考查了數軸上的動點問題，根據移動的方向、速度和規(guī)律進行計算找出運動的規(guī)律即可求解，找到動點的運動規(guī)律是解題的關鍵．，【答案】4或5或6【分析】由線段總長度及三條線段的長度之比，可得三條線段的長度，再分情況討論即可．∴這三條線段的長度分別為2，2，4，若剪下的第一條線段長為2，第2條線段長度也為2，若剪下的第一條線段長為2，第2條線段長度為4，若剪下的第一條線段長為4，第2條線段長度為2，∴折痕表示的數為4或5或6，故答案為：4或5或6．【點睛】本題考查數軸與線段綜合，列出三條線段所有可能的順序是解題的關鍵．63．已知點O是數軸的原點，點A、B、C在數軸上對應的數分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，O、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢復原速，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢復原速，運動時間為秒時，P、Q兩點到點B的距離相等．【答案】或30【分析】利用已知條件先求出B、C在數軸表示的數，根據不同時間段，通過討論P、Q點的不同位置，找到對應的邊長關系，列出關于的方程，進行求解即可．【詳解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，∴B表示的數是9，C表示的數是15，①當0≤t≤6時，P在線段OA上，Q在線段BC上，此時不存在P、Q兩點到點B的距離相等；②當6＜t≤9時，P、Q都在線段OB上，P表示的數為t﹣6，Q表示的數是9﹣3（t﹣6），∴P、Q兩點到點B的距離相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③當9＜t≤15時，P在線段OB上，Q在線段OA上，此時不存在P、Q兩點到點B的距離相等；④當t＞15時，P在射線BC上，Q在射線OA上，P表示的數為9+2（t﹣15），Q表示的數是﹣（t﹣9），∴P、Q兩點到點B的距離相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，綜上所述，P、Q兩點到點B的距離相等，運動時間為秒或30秒，故答案為：或30．【點睛】本題主要是考查了數軸上的動點問題，熟練地通過動點在不同時間段的運動，進行分類討論，找到等量關系，列出關于時間的方程，并進行求解，這是解決這類問題的主要思路．64．我國著名的數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事非．”可見數形結合對于數學學習是多么重要，數學課上老師讓同學們將數軸對折探究其中的數學問題．(1)如圖①，勤學小組的同學將數軸對折，使表示2的點與表示的點重合．①對折后表示5的點與表示________的點重合；②對折后表示的點與表示________的點重合．（用含的代數式表示）(2)如圖②，善思小組的同學將數軸對折，使表示3的點與表示的點重合．①對折后表示7的點與表示________的點重合；②對折后數軸上的點與點重合（點在點的左側），且點與點之間的距離為8，則點表示的數為________，點表示的數為________．【答案】(1)①，②(2)①；②；5【分析】本題考查了數軸、數軸上兩點之間的距離、一元一次方程，（1）①先求出對折點所表示的數，再根據數軸的定義即可得；②根據對折點，利用數軸的定義即可得；（2）①先求出對折點所表示的數，再根據數軸的定義建立方程，解方程即可得；②根據對折點，利用數軸的定義即可求得兩點表示的數；故答案為：①，②；②點與點之間的距離為8，點在點的左側，故答案為：①；②；5；數軸上的點與點重合（點在點的左側），且點和點之間的距離為10，題型17拓展訓練之絕對值綜合65．閱讀材料：回答問題：(1)數軸上表示與的兩點之間的距離是______；數軸上表示與的兩點之間的距離是______；(3)，，，，，【分析】本題主要考查了數軸上兩點距離計算，絕對值的意義．根據題干中提供的兩點之間的距離公式計算即可；當代數式取最小值時，表示的點一定在和之間，且和的距離是，66．小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題：請你根據他們的解題解決下面的問題：【分析】本題考查了絕對值，線段上的點與線段的端點的距離最小，分類討論是解題關鍵．（1）根據絕對值分類討論求解即可；（2）根據絕對值分類討論求解即可；（3）根據絕對值的幾何意義即可求解；67．數軸是一個非常重要的數學工具，它使數軸上數和點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎，如圖，請同學們解決下面有關數軸的問題：②在①的條件下，動點P出發(fā)的同時，動點Q從A出發(fā)，沿著數軸反方向以每秒1個單位長度的速度運動，經過______秒，點Q到點B的距離是點P到點A距離的2倍？(2)①3；②4；③3(3)①4或6秒；②或6【詳解】（1）解：∵將數軸折疊，使得1表示的點與表示的點重合，故答案為：3；故答案為：4；∴經過4或6秒P與A的距離是2個單位長度；∵點Q到點B的距離是點P到點A距離的2倍，∴經過或6秒時，點Q到點B的距離是點P到點A距離的2倍，故答案為：或6．【點睛】本題考查了在數軸上表示數，數軸上兩點之間的距離，絕對值的幾何意義，數軸上的動點問題，絕對值方程等知識，熟練掌握在數軸上表示數，數軸上兩點之間的距離，絕對值的幾何意義，數軸上的動點問題，絕對值方程是解題的關鍵．理解：（）數軸上表示數和的兩點之間的距離是_______；（用含的式子表示）應用：【分析】理解：（）根據題意即可求解；（）根據絕對值的意義即可求解；應用：根據題意畫出圖形，再根據圖形即可求解；本題考查了數軸與絕對值，掌握絕對值的意義和性質是解題的關鍵．故答案為：或；此時方程無解；綜上，的值為或，故答案為：或；應用：根據題意，畫圖如下，共有種調配方案：題型18拓展訓練之新定義問題(1)求數軸上點H、A所表示的數？①經過x秒后，M點表示的數是，N點表示的數是（用含x的式子表示，結果需化簡）．②求（用含x的式子表示，結果需化簡）．【答案】(1)點H在數軸上表示的數是15，點A在數軸上表示的數是(3)9秒或13秒∴點H在數軸上表示的數是15，點A在數軸上表示的數是；（3）∵兩個長方形的寬都是3個單位長度，重疊部分的面積為12，∴重疊部分的長為4個單位長度，當點D運動到E點右邊4個單位時，當點A運動到H點左邊4個單位時，【點睛】本題主要考查了數軸動點問題，熟練掌握數軸上的點表示的數，數軸上兩點間的距離，路程、速度和時間的關系，長方形面積公式等知識點，求數軸上兩點間的距離用右邊點對應的數減左邊對應的數；路程等于速度乘時間；熟記長方形的面積是長乘寬是解題的關鍵．

(2)在（1）的假設下，現有只電子螞蟻甲從“”所表示的點出發(fā)不斷跳躍，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只電子螞蟻乙從“”所表示的點出發(fā)，然后跳躍到，接著又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此規(guī)律在和之間來回跳動．假設兩只螞蟻同時跳躍同時落下，步調一致．①當螞蟻甲第3次跳到所表示的點時，請問此時螞蟻甲共跳躍了多少次？②當甲乙兩只螞蟻的距離為時，請直接寫出3個符合條件的跳躍次數．【答案】(1)2；6(2)①14；②當甲乙兩只螞蟻的距離為時，跳躍次數為38次、174次、410次【分析】（1）根據題干信息列出算式進行計算即可；（2）①根據跳躍規(guī)律，找出螞蟻甲第3次跳到所表示的點時，螞蟻跳躍的次數即可；故答案為：2；6．（2）解：①螞蟻甲從“”所表示的點出發(fā)不斷跳躍，依次跳至、、、、、、、、、、、、、、、、…，∴螞蟻甲第3次跳到所表示的點時，螞蟻甲共跳躍了14次；則螞蟻甲跳躍的次數為：即此時螞蟻甲跳躍的次數為偶數，不符合題意；38是偶數，符合題意；174是偶數，符合題意；410是偶數，符合題意；綜上分析可知，當甲乙兩只螞蟻的距離為時，跳躍次數為38次、174次、410次．【點睛】本題主要考查了數軸上兩點間距離，有理數混合運算的應用，用數軸上點表示有理數，數軸上的動點問題，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握數軸上兩點間距離．71．【定義新知】(1)【初步應用】(3)【解決問題】如圖，一條筆直的公路邊有三個代工廠、、和城區(qū)，代工廠、、分別位于城區(qū)左側5，右側1，右側3．代工廠需要芯片1000個，代工廠需要芯片2000個，代工廠需要芯片3000個．現需要在該公路上建一個芯片研發(fā)實驗室，為這3代工廠輸送芯片．若芯片的運輸成本為每千米1元/千個，那么實驗室建在何處才能使總運輸成本最低，最低成本是多少？請說明理由．【答案】(1)5(2)7(3)實驗室建在點和點（包括B、C）之間才能使總運輸成本最低，最低成本是12元即當可以取整數，，，0，1，共5個；故答案為：5；故答案為：7；（3）設城區(qū)O為原點，建立數軸，實驗室所對應的數為，表示x到的距離與x到3的距離之和，與x到1的距離與x到3的距離之和的2倍的總和，實驗室建在點和點（包括B、C）之間，才能使總運輸成本最低，最低成本是12元．【點睛】本題考查絕對值，數軸上兩點之間的距離，綜合性較強，難度較大，理清題意是解題的關鍵．72．數軸上有A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數量關系，則稱該點是其它兩個點的“關聯點”.

圖1(1)如圖2所示，點A表示數，點B表示數1，下列各數2，4，6所對應的點分別是C1，C2，C3其中是點A，B

的“關聯點”的是;

圖2(2)如圖3所示，點A表示數，點B表示數15，P為數軸上一個動點：①若點P在點B的左側，且P是點A，B

的“關聯點”，求此時點P表示的數；②若點P在點B的右側，點P，A，B

中，有一個點恰好是其它兩個點的“關聯點”，請求出此時點P表示的數.

圖3【答案】(1)C2【分析】（1）分別求出點C1，C2，C3到兩點間的距離，再進行驗證即可；（2）①分類討論點在之間和點在點左側時的情況即可；②分類討論點為點的“關聯點”、點為點的“關聯點”、點為點的“關聯點”即可求解．∴點C1不是點A，B的“關聯點”即：點是點A，B的“關聯點”∴點不是點A，B的“關聯點”故答案為：（2）解：解：設點P在數軸上表示的數為①（i）當點在之間時，（ii）當點在點左側時，②（i）當點為點的“關聯點”時，（ii）當點為點的“關聯點”時，（iii）當點為點的“關聯點”時，【點睛】本題以新定義題型為背景，考查了數軸上兩點間的距離公式．掌握相關結論，進行分類討論是解題關鍵．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】本題考查無理數的識別，根據無限不循環(huán)小數的定義進行判斷．【詳解】解：8：整數，屬于有理數．中π是無限不循環(huán)小數，除以2后仍為無限不循環(huán)小數，屬于無理數．0.66666…：無限循環(huán)小數（對應分數），屬于有理數．0：整數，屬于有理數．9.8181181118…（每兩個8之間1的個數逐漸增加1）：小數部分有規(guī)律但不循環(huán)，屬于無限不循環(huán)小數，是無理數．0.：有限小數，屬于有理數．故選：C．2．（2025·江蘇南京·二模）下列計算結果比小的是（

）【答案】A【分析】本題考查了有理數的加減乘除，有理數的大小比較，有理數的加減乘除，有理數的大小比較法則即可得出答案，掌握相關知識是解題的關鍵．故選：A．【答案】C根據科學記數法的定義解答即可．故選：C．4．（2425七年級上·江蘇宿遷·期中）下列說法正確的是（）A．如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等B．有理數a的倒數是C．一個數的絕對值一定大于或等于這個數D．一個數的相反數一定小于或等于這個數【答案】C【分析】本題考查倒數，相反數，絕對值，根據倒數，相反數，絕對值的定義逐項判斷即可,熟練掌握相關定義是解題的關鍵．【詳解】解：如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等或互為相反數，則A不符合題意；一個數的絕對值一定大于或等于這個數，則C符合題意；故選：C．A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查新定義運算，有理數的混合運算，正確理解有理數混合運算法則是解題關鍵．直接根據新定義的運算法則進行運算即可．故選：C字母序號26252423222120191817161514字母序號13121110987654321【答案】A故選：A．7．（2425七年級上·江蘇宿遷·階段練習）若個互不相等的正整數的倒數和等于，那么的最小值為．【答案】【分析】本題考查了倒數的定義，有理數的加法，根據倒數的定義，先從最小的正整數倒數開始，利用有理數的加法，一次求出正整數的個數即可，熟記倒數的概念是解題的關鍵．∴的最小值為，故答案為：．【答案】或【詳解】解：數軸上點A，B表示的數分別是，10，①當點D在點B左側時，則點C表示的數是，②當點D在點B右側時，則點C表示的數是，綜上所述，點C表示的數是或；故答案為：或．【答案】【分析】本題主要考查了有理數的混合運算，掌握“互為倒數的兩數的積是”、“互為相反數的兩數的和為”是解決本題的關鍵．故答案為：．【答案】11【分析】本題主要考查有理數的混合運算．解題的關鍵是掌握有理數混合運算順序和運算法則，根據數值轉換機列出對應算式．把3代入數值轉換機中計算即可求出所求．故答案為：11．【答案】【分析】本題考查非負性，有理數的乘方運算，根據非負性求出的值，再根據乘方法則，進行計算即可．故答案為：．【答案】或【分析】本題考查了絕對值的含義．分四種情況討論即可得到結果，不重不漏是解題的關鍵．∴的值等于或，故答案為：或．14．（2425七年級上·江蘇宿遷·階段練習）數軸上表示整數