第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年黑龍江省哈爾濱三中高二（上）9月月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.計算：A52=A.5 B.10 C.15 D.202.五位同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每個同學可自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是(

)A.54 B.5×4×3×2 C.45 3.(x2?1A.20 B.?20 C.15 D.?154.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(

)A.6 B.12 C.24 D.365.同時投擲兩枚質地均勻的骰子，設事件A為第一枚骰子投出的點數(shù)為奇數(shù)，事件B為兩枚骰子點數(shù)之和為8，則P(B|A)=(

)A.536 B.518 C.1186.哈爾濱市開展支教活動，我校有甲，乙，丙等六名教師被隨機地分到A，B，C，D四個不同的中學，且每個中學至少分到一名教師，共有多少種不同分法(

)A.1080 B.1560 C.2640 D.39607.已知甲箱中有1個紅球和2個黑球，乙箱中有1個紅球和1個黑球，所有球除顏色外完全相同.某學生先從甲箱中隨機取出1個球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出1個球.則“從乙箱中取出的球是黑球”的概率為(

)A.518 B.718 C.498.用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法(

)A.72 B.96 C.120 D.144二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知(1+2x)6=aA.a0=1 B.a1+a210.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設六周，則(

)A.課程“禮”“樂”“射”排在相鄰的三周，共有144種排法

B.課程“禮”排在“樂”的后面(可以不相鄰)，共有360種排法

C.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法

D.課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法11.我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表.數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.下列結論正確的是(

)A.第48行的所有數(shù)字之和被7除的余數(shù)為1

B.第20行第7個數(shù)和第8個數(shù)的比為2：3

C.從第4行起到第19行，每一行的第4列數(shù)字之和為C204?1

D.第n行所有數(shù)的平方和等于第三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.10名同學中選2名同學為代表參加學校園地競標種植活動，共有______種不同選法．13.設離散型隨機變量X的分布列如下表，若隨機變量Y=|X?2|，則P(Y=2)=______．X01234P0.10.20.10.3m14.2025年9月3日，是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年紀念日，北京天安門廣場舉行了盛大的閱兵儀式.紀念抗戰(zhàn)偉大勝利，弘揚抗戰(zhàn)偉大精神.未來，同學們進入大學的第一課就是軍事訓練，軍訓結束也要進行閱兵.某大學M院系選了48名同學組成了8排6列的閱兵方陣，其中每名男同學都有至少一名男同學與之相鄰，而所有女同學均不相鄰(相鄰包括左右相鄰和前后相鄰)，則這個方陣中最多有______女同學．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3sinB+cosB=b+ca．

(1)求A；

(2)若a=1，求16.(本小題15分)

一個不透明的口袋中裝有3個紅球、3個黃球和2個白球，這些球除顏色外其他完全相同，現(xiàn)從這個口袋中一次性地摸出3個球．

(1)求摸出的白球個數(shù)比黃球個數(shù)多的概率；

(2)記摸出的球的顏色種類為X，求X的分布列．17.(本小題15分)

在平行四邊形ABCD中(圖1)，AB=2BC=4，M為AB的中點，將等邊△ADM沿DM折起，連接AB，AC，且AC=4(圖2)．

(1)求證：CM⊥平面ADM；

(2)求平面ADC與平面ABM夾角的余弦值；

(3)若P為線段AC上的動點(不含端點)，判斷直線DP能否與平面ABM平行，并說明理由．18.(本小題17分)

人工智能(ArtificialIntelligence)，英文縮寫為AI，是新一輪科技革命和產業(yè)變革的重要驅動力量，是研究、開發(fā)用于模擬、延伸和擴展人的智能的理論、方法、技術及應用系統(tǒng)的一門新的技術科學.如今利用“人工智能”的場景屢見不鮮，從幫助記憶單詞、解答難題、到人機比賽，它的身影無處不在.小明和智能機器人進行一場“網(wǎng)球”比賽，規(guī)則為：比賽采用三局兩勝制(率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利，且比賽結束)，已知小明第一局獲勝的概率為12.從第二局開始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為23；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為13，每局比賽均沒有平局．

(1)求小明以2：1獲得比賽勝利的概率；

(2)在小明以2：1獲得比賽勝利的條件下，求在第二局比賽中小明獲勝的概率；

(3)記整場比賽小明的獲勝局數(shù)為ξ，求19.(本小題17分)

現(xiàn)定義了一種新運算“⊕”：對于任意實數(shù)x，y，都有x⊕y=loga(ax+ay)，(a>0且a≠1)．

(1)當a=2時，計算4⊕4；

(2)m=loga(1?x),n=1,f(x)=am⊕n，若f(x)的定義域是[s,t]，值域也是[s,t]，其中t>s.求實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知m=loga(參考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.D

6.B

7.D

8.C

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.45

13.0.4

14.17

15.(1)因為3sinB+cosB=b+ca，

所以由正弦定理得：3sinB+cosB=sinB+sinCsinA，

在△ABC中，C=π?(A+B)，

所以3sinB+cosB=sinB+sin(A+B)sinA，

又因為A∈(0,π2)，所以sinA>0，

所以3sinBsinA+cosBsinA=sinB+sin(A+B)，

即3sinBsinA+cosBsinA=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

即3sinBsinA=sinB+cosAsinB，

又因為B∈(0,π2)，所以sinB>0，

所以3sinA=1+cosA，即3sinA?cosA=1，

即2sin(A?π6)=1?sin(A?π6)=12

因為A∈(0,π2)，所以A?π6∈(?π6,π3)，

所以A?π6=π6，即A=π3．

(2)因為△ABC16.(1)一個不透明的口袋中裝有3個紅球、3個黃球和2個白球，

這些球除顏色外其他完全相同，現(xiàn)從這個口袋中一次性地摸出3個球，

由摸出的白球個數(shù)比黃球個數(shù)多，可知摸出的球可能為2個白球和1個黃球(或1個紅球)，可能為1個白球和2個紅球，

其中摸出2個白球和1個黃球(或1個紅球)的概率為C22C61C83=656=328，

摸出1個白球和2個紅球的概率為C21C32C83=656=328，

故摸出的白球個數(shù)比黃球個數(shù)多的概率為3X123P19917.(1)證明：在平行四邊形ABCD中，△ADM為等邊三角形，

則∠A=∠ADM=∠AMD=π3，DM=AM=AD=2

∴∠ADC=2π3，∴∠MDC=π3，

在△CDM中，∠CDM=π3，DC=4，DM=2，

∴CM=DM2+DC2?2DM?DCcos∠CDM=23，

∴CM2+DM2=CD2，∴DM⊥CM，

在四棱錐中由AC=4可得CA2=AM2+CM2，∴CM⊥AM，

且AM∩DM=M，AM?平面ADM，DM?平面ADM，

∴CM⊥平面ADM．

(2)分別取DM，CD中點F，N，連接AF，F(xiàn)N，

∴FN//CM

由(1)可知DM⊥CM，CM⊥平面ADM，

∵DM⊥FN，F(xiàn)N⊥平面ADM，

AF?平面ADM，∴FN⊥AF，

在正△CDM中，AF⊥DM，

∴如圖以F為原點建立空間直角坐標系F?xyz，

∴D(1,0,0)，C(?1,23,0)，A(0,0,3)，M(?1,0,0)，

∵MB=12DC=12(?2,23,0)=(?1,3,0)，

即B(?2,3,0)，

∴DA=(?1,0,3)，DC=(?2,23,0)，

MA=(1,0,3)，MB=(?1,3,0)，

設向量n1=(x1,y1,z1)，n2=(x2,y2,z2)分別為平面ADC和平面AMB的一個法向量，

則n1⊥DAn1⊥DC，則n1?DA=?x1+18.(1)令事件A表示“小明以2：1獲得比賽勝利”，

所以P(A)=12×(1?23)×13+(1?12)×13×23=16，

則小明以2：1獲得比賽勝利的概率為16；

(2)令事件B表示“在第二局比賽中小明獲勝”，

所以P(AB)=(1?12)×13×23=19，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=191ξ012P11119.(1)因為對于任意實數(shù)x，y，都有x⊕y=loga(ax+ay)(a>0且a≠1)，

所以當a=2時，4⊕4=log2(24+24)=log232=5；

(2)因為m=loga(1?x),n=1，

所以m⊕n=m⊕1=loga(am+an)=loga(1?x+a)，

所以f(x)=am⊕n=aloga(1?x+a)=1?x+a，

由1?x≥0，得x≤1，

且f(x)在(?∞,1]上是單調遞減函數(shù)．

又因為1?x≥0，

所以f(x)=1?x+a≥a．

因為f(x)的定義域是[s,t]，值域也是[s,t]，

所以0<a≤s<t≤1，且f(s)=tf(t)=s，

即1?s+a=t1?t+a=s，

化簡得：t?s=1?s