5也可聯(lián)系8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為

矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD，平面ABCD,

E為PD中點(diǎn)，AD=2.

(I)求證：平面AEC_L平面PCD.

【答案】

(I)證明：取AD中點(diǎn)為O,BC中點(diǎn)為F,

由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PADJL平面ABCD,

得P0,平面ABCD,故FO_LPO,

又FO_LAD,貝!|FO_L平面PAD,AFO±AE,

又CDFO,貝!JCD_LAE,

又E是PD中點(diǎn)，貝!|AE_LPD,

由線面垂直的判定定理知AE_L平面PCD,

又AEu平面AEC,故平面AEC_L平面PCD：

8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,側(cè)面PAD

為正三角形,且平面PAD_L平面ABCD,E為PD中點(diǎn),AD=2.

(I)求證：平面AEC_L平面PCD.

【答案】

(I)證明：取AD中點(diǎn)為O,BC中點(diǎn)為F,

由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PADJL平面ABCD,

得PO_L平面ABCD,故FO_LPO,

又FO_LAD,則FO_L平面PAD,Z.FO1AE,

又CDFO,貝！jCD_LAE,

又E是PD中點(diǎn)，則AE_LPD,

由線面垂直的判定定理知AE_L平面PCD,

又AEu平面AEC,故平面AEC_L平面PCD；

5也可聯(lián)系

課時(shí)評價(jià)?提能

基礎(chǔ)鞏固練

1.對兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)G=0.7859,對兩個(gè)變

量〃，”進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)七=-0.9568,則下列判斷正確的是

（C）.

A.變量％與y正相關(guān)，變量u與口負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量％與y負(fù)相關(guān)，變量〃與"正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C.變量%與y正相關(guān)，變量〃與〃負(fù)相關(guān)，變量〃與"的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量〃與〃正相關(guān)，變量〃與u的線性相關(guān)性較強(qiáng)

［解析］由線性相關(guān)系數(shù)4=0.7859>0知％與y正相關(guān)，

由線性相關(guān)系數(shù)萬=-0,9568<0知〃與u負(fù)相關(guān)，

又匕1v|r2l?所以變量〃與〃的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng)，故選C.

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對4。兩個(gè)變基的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回

歸分析方法分別求得樣本相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和粗，如表所示，

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

則（D）同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A,B兩個(gè)變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性.

A.甲B.乙C.丙D.T

［解析"越大，m越小，線性相關(guān)性越強(qiáng).故選D.

3.給出下列說法：①經(jīng)驗(yàn)回歸直線夕=6x+&恒過樣本點(diǎn)的中心（布），且至少過

一個(gè)樣本點(diǎn)：②兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)|丁|就越接近1：③將一

組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差不變；④在經(jīng)驗(yàn)回歸方程『=2-

0.5%中，當(dāng)解釋變量%增加I個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量?平均減少0.5個(gè)單位.其中說法

正確的是（B）.

A.①②④B.②③④C.①③④D.②④

［解析］對于①，經(jīng)驗(yàn)回歸直線夕=6%+&恒過樣本點(diǎn)的中心（五亨），但不一定過一

個(gè)樣本點(diǎn)，所以①不正確；

對于②，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的意義，可得兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)

g就越接近1,所以②正確；

對于③，根據(jù)方差的計(jì)算公式，可得將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)

后，方差是不變的，股以③正確；

對于④，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得在經(jīng)臉回歸方程夕=2—0.5%中，當(dāng)解釋變

量%增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量?平均減少0.5個(gè)單位，所以④正確.故選B.

4.（改編）下列說法不正確的是（D）.

A.在回歸分析中，殘差圖的帶狀區(qū)域越窄，模型的擬合效果越好

B.若一組觀測值（“1，%）,（%2，%），…，（%/%）滿足％=匕勺+a+”（i=

1,2，…，n），且產(chǎn)=1,則殘差為恒為0

C.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法

D.在研究成年人的身高和體重的關(guān)系畫殘差圖時(shí)，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)一定

是編號

［解析］對于A,在回歸分析中，殘差圖的帶狀區(qū)域越窄，殘差平方和越小，則R2的

值越大，說明模型的擬合效果越好，A正確；

對于B若一組觀測值（右,丫1）,（%2，為），…，（出,%）滿足%=+a+

04=1,2,…，"），且R2=l,則殘差平方和為0,所以殘差/恒為0,B正確；

對于C,回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，C

正確;

對于D,殘差圖中橫坐標(biāo)可以是樣本編號，也可以是身高數(shù)據(jù)，還可以是體重的

估計(jì)值等，D錯(cuò)誤.故選D.

5.“掛”是我國古代的一種長度單位，最早見于金文時(shí)代，“一掛”指張開大拇

指和中指兩端間的距離.某數(shù)學(xué)興趣小組為了研究右手一掛長工（單位：厘米）和

身高y（單位：厘米）的關(guān)系，從所在班級隨機(jī)抽取了15名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)

的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)x和y具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=6.5x+a,且&=

270,=2550.已知小明的右手一拄長為20厘米，據(jù)此估計(jì)小明的身高為

M

(B).

A.187厘米B,183厘米C.179厘米D.175厘米

-11sl1X。2550=

［解析］由題意知,%=/卒=6'270=18,y=?

170,

又歹=6.5土+6,即170=6.5x18+6,解得、=53,

故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=6.5x+53,

當(dāng)％=20時(shí)，9=6.5x20+53=183,即當(dāng)小明的右手一拄長為20厘米時(shí)，

可估計(jì)小明的身高為183厘米.故選B.

6.（改編）某種熱帶觀賞魚的生產(chǎn)周期大約為一個(gè)月，某熱帶魚愛好者購買了

兩條該種熱帶魚（雌雄各一條），一個(gè)月后開始生產(chǎn)，月份與熱帶魚的條數(shù)如表

所示.

月數(shù)（%）12345

熱帶魚的條數(shù)（y）21742103136

由表格可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=6/+d,則此回歸模型第5個(gè)月的殘

差（實(shí)際值與預(yù)報(bào)值之差）為（C）.

A.13B.-13C.-8D.8

［解析］設(shè)￡=x2,則E=(x(1+4+9+16+25)=11,歹=，x(2+17+42+

103+136)=60,

a=60—6x11=—6,所以夕=6x2—6.

令％=5,得05=ys—%=136—6x52+6=-8.故選C.

7.某種細(xì)胞的存活率y(單位：％)與存放溫度M單位：式)之間具有線性相關(guān)關(guān)系,

其樣本數(shù)據(jù)如表所示.

存放溫度x/℃20151050-5-10

存活率y/%6142633436063

計(jì)算得i=5,7=35,=T75,￡*=875,并求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=-2x+

45,但實(shí)驗(yàn)人員發(fā)現(xiàn)袈中數(shù)據(jù)％=-g的對應(yīng)值y=60錄入有誤，更正為y=53,

則更正后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為(A).

A.夕=-1.9x+43.5B.y=1.9%+43.5C.y=1.2x+40

D.y=-1.2x+32

［解析］依題意，設(shè)更正后的經(jīng)臉回歸方程為夕=段+6,更正后五=5,y=^x

77

(35x7-60+53)=34,X=-175+5x60-5x53=-140,￡*=

t=ii=l

八Exiyi~^xy-140-7x5x34

875,6=與------=°34=-1.9,

￡X?-7X2875-7x25

a=y-6x=34-(-1.9)x5=43.5,所以更正后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=

—1.9%+43.5.故選A.

8.足球運(yùn)動是深受學(xué)生喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動，為了研究是否喜愛足球運(yùn)動與學(xué)

生性別的關(guān)系，從某高校男、女生中各隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查問卷，得到

數(shù)據(jù)(10<m<20,mEN)如表所示：

喜愛不喜愛

男生70—m10+m

女生504-m30—m

若根據(jù)小概率值a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可認(rèn)為是否喜愛足球運(yùn)動與學(xué)生性別有

關(guān)，則?n的最小值為(B).

附：(皿八'其中九=

八I2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)a+b+c+d.

a0.250.100.050.01

%2.0722.7063.8416.635

A.17B.15C.13D.11

［解析］因?yàn)楦鶕?jù)小概(率值a=0.10的獨(dú)立性檢臉，可認(rèn)為是否喜愛足球運(yùn)動與學(xué)

生性別有關(guān)，

.160x［(70-m)(30-m)-(10+7n)(50+m)］27n久

尸kANN9./UO,

80X80X120X40

即(7n-10)2>20.295,因?yàn)閥=(m-10)2在10<m<20,mGN時(shí)單調(diào)遞增,

且(14-10)2<20.295,(15-10)2>20.295,

所以m的最小值為15.故選B.

綜合提升練

9.（多選題）由樣本數(shù)據(jù)（肛％）（i=1,2,3,…,1。）組成的一個(gè)樣本得到經(jīng)驗(yàn)回歸

方程夕=2Y一1.4,且:=2,去除兩個(gè)樣本點(diǎn)（一2,2）和（2,0）后，得到新的經(jīng)驗(yàn)回

歸方程夕=3%+6.在余下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)和新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，下列結(jié)論正確

的是（AB）.

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.新的回歸方程為夕=3%-4.5

C.當(dāng)回歸方程確定時(shí)，隨著自變量工值的增加，因變量y值增加的速度變大

D.樣本（4,8.9）的殘差為1

10

［解析］由題意可知￡勺=20,y=2X2-1.4=2.6,

t=i

所以8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的x新平均數(shù)為2乂20=2.5,y新平均數(shù)為二x（10x2.6-2）=

88

3,

所以3=3x2.5+a,所以&=-4.5.

新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=3x—4.5,x,y具有正相關(guān)關(guān)系，A,B正確；

由經(jīng)驗(yàn)回歸方程知，隨著自變量x值增加，因變量『值增加的速度恒為3,C錯(cuò)誤;

當(dāng)x=4時(shí)，y=3x4-4.5=7.5,殘差為8.9—7.5=1.4,D錯(cuò)誤.

故選AB.

10.（多選題）某同學(xué)在家獨(dú)自用表格分析高三前五次月考中數(shù)學(xué)的班級排名y與

考試次數(shù)x的相關(guān)性時(shí)，忘記了第二次和第四次月考排名，但該同學(xué)記得平均排

名？=6,于是分別用m=6和TH=8得到了經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=bAx+和9=

b2x+a21對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為r】，廠2,排名y對應(yīng)的方差分別為寸，sL

則下列結(jié)論正確的是（BD）.

x12345

y10m6n2

X(Xi-T)(yi-7)ixtyi-n^

附：r=r——=,b==,a=y—bx.

?1

A.G<r2B.sf<siC.&<b2D.<a2

「加”仁i業(yè)rnJ.-1+2+3+4+5—10+6+6+%+2/

［解析］當(dāng)血=6時(shí)，%=---------=3o,y=----------------=6,解得%=6,

5

則2=1x10+2x6+3x6+4x6+5x2=74?

i=i

5

p_|_22+32+42+52=55,xy=18,

i=l=

5

V.(.Xi—x)(7i—y)=(1—3)X(10—6)4-(2—3)x(6—6)4-(3—3)x

i=l

(6-6)+(4-3)x(6-6)+(5—3)x(2—6)=-16,

5

￡(Xi-x)2=(1-3)2+(2—3)24-(3-3)2+(4-3)24-(5-3)2=10,

i=l

5

E(y.-y)2=(10-6)2+(6-6)24-(6-6)2+(6-6)24-(2-6)2=32,

i=l

八￡Xtyi-Sxy

所以瓦二氣------=74-5x18__8

2

EX?-5X255-5X3-5

i=i

zo八—廣—54

仔％=y-b、x=一,

苫3-幻（匕句__16_2M

■_I5|5_V10XV32_—_,

￡（陽―盼2￡（“一/2

Ji=i{=i

［5

=-S（%—y）2

5i=l

_（106）2+（6―6）2+（6—6）2十（6―6）2+（26）2_32

5.5.

=

同理，當(dāng)m=8時(shí)，b2=-2,a212,r2=-1,sf=8.

所以q>丁2M<s幺瓦>S2A<式2?故選BD.

11.甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按學(xué)生考試及格與不及格統(tǒng)計(jì)成績后的2x2

列聯(lián)表（數(shù)據(jù)有缺失）如表所示，則22=0.56.（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

不及格及格總計(jì)

甲班1245

乙班36

總計(jì)21

參考公式：

2n(ad-bc)2.,,,,

AX-7(~a+~b)~(c~+du)(——a+c)、(?b+d)n=Q+b+c+d.

［解析］由題意，得到2x2列聯(lián)表，

不及格及格總計(jì)

甲班123345

乙班93645

總計(jì)216990

小］2_90X(12X36—33X9)2

'”-45X45X21X69?0.56.

12.（雙空題）根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)，該市2019年至2022年每年進(jìn)口總額%（單

位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示:

2019年2020年2021年2022年

X1.82.22.63.0

y2.02.83.24.0

若每年的進(jìn)出口總額x，y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=bx—0.84,則日山;若計(jì)劃

2023年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為也之千億元.

Azixc14；/歪—1.8-2.2+2.6+3.0--2.0+2.8+3.2+4.0

［r解析］由數(shù)表行"X=-----------------=2n.4,y=-------------------=3n,

44

因此，經(jīng)驗(yàn)回歸直線『=bx-0.84過點(diǎn)（2.4,3）,由3=2.46-0.84,解得5=1.6,

此時(shí)，y=1.6%-0.84,當(dāng)y=5時(shí)，5=1.6%-0.84,解得x=3.65,

預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為3.65千億元.

應(yīng)用情境練

13.某奶茶店統(tǒng)計(jì)某月一周奶茶銷售的杯數(shù)，用工表示星期一至星期天，y表示每

天銷售奶茶的杯數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.

x1234567

y611213466101196

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，銷售奶茶的杯數(shù)y關(guān)于天數(shù)%的經(jīng)驗(yàn)回歸方程適合用y=c-dx

來表示，則其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=3.31x（10。25）1

052

參考數(shù)據(jù)：設(shè)%=1g%，v==1.52,/vt*49.56,IO工3.31.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（1；,巧）,（的，W），…，（〃"吃），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線

Y.uiVi-nz--

V=a-￥p-II的斜率利截距的最小二乘估計(jì)公式分別為6=——企=工-6?

xi

U.

xx

［解析］由y=c-df兩邊同時(shí)取對數(shù)可得lgy=1g（c?d）=1gc+1gd-x.

設(shè)1?=lgy,則a=lgc+lgd?%,

7

m1―1+24-3+4+5+6+7.—1

因?yàn)閄=-----------------=4,V=-Xvi=1.52,

77i=l

7

2*=1+4+9+16+25+36+49=140,

i=l7

ruziJXXiVt-7xv49.56-7x4x1.52_

所以=號------no

lgdgjEx-----1-4-O-—--7-X-4;2-=0.25,

lgc=1.52-0.25x4=0.52,

所以lgy=u=0.52+0.25x,所以y=10052+0-25x?3.31x（10025）z.

14.某調(diào)查網(wǎng)站從觀看央視春晚的觀眾中隨機(jī)選出200人（年齡在15歲到65歲

之間），經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這200人中通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的人數(shù)與通過新

型的傳媒PC端口觀看的人數(shù)之比為4:1.將這20（）人按年齡分組：第1組［15,25）,

第2組［25,35）,第3組［35,45）,第4組［45,55）,第5組［55,65］.其中統(tǒng)計(jì)通過傳

統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾得到的頻率分布直方圖如圖所示.

，頻率/組距

a.....................

0.03...........................

0J315...............

0.01-1—......................

（）152535455565年齡

（1）求a的值及通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡；

（2）把年齡在第1,2,3組的觀眾稱青少年組，年齡在第4,5組的觀眾稱為中

老年組，若選出的200人中通過新型的傳媒方式PC端口觀看的中老年人有12人,

請完成下面的2X2列聯(lián)表，則依據(jù)a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀看央視春

晚的方式與年齡有關(guān)？

附：

通過PC端口觀看通過電視端口觀看合計(jì)

青少年

中老年

合計(jì)

n(ad-bc)2

2(其中幾=Q+b+C+d).

z=(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)

aOJO0.050.0250.0100.0050.001

xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］(1)由頻率分右直方圖可得10x(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1,

解得a=0.035,

所以通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡為20x10x0.01+

30x10x0.015+40x10x0.0354-50x10x0.03+60x10x0.01=41.5.

（2）通過電視端口觀看的有200xg=160（人），通過PC端口觀看的有200-

160=40（人），

由頻率分布直方圖可得，通過電視端口觀看的中老年有（0.03+0.01）x10x

160=64（人），通過PC端口觀看的中老年人有12人，

所以通過PC端口觀看的青少年有40—12=28（人），

可得2X2列聯(lián)表為

通過PC端口觀看通過電視端口觀看合計(jì)

青少年2896124

中老年126476

合計(jì)40160200

=200X(28X64-96X12)2右

計(jì)算得fx

40X160X124X76

所以依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢臉，不能認(rèn)為觀看央視春晚的方式與年齡

有關(guān).

創(chuàng)新拓展練

15.針對“中學(xué)生追星問題”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”

作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的%男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的或

女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的|,若根據(jù)小概率值a=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為

中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有也人.

參考數(shù)據(jù)及公式如下：

a0.0500.0100.001

xa3.8416.63510.828

2十d）'n=a+b+c+d.

［解析］設(shè)男生人數(shù)為%,依題意可得列聯(lián)表為

喜歡追星不喜歡追星總計(jì)

X2x

男生X

33

女生XXX

362

總計(jì)2x5x3x

362

若根據(jù)小概率值a=0.050的獨(dú)立性檢臉，認(rèn)為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則f>

3.841,

3x(X2-2X2\2

由/=坐&-二卷>3.841,解得%>25.61,

X2XSX

由題意知,x應(yīng)為6的整數(shù)倍，

??.若根據(jù)小概率值a=0.050的獨(dú)立性檢臉，認(rèn)為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則

男生至少有30人.

16.某院校研究小組以當(dāng)?shù)啬乘a(chǎn)養(yǎng)殖基地的黃河鯉仔魚為研究對象，從出卵開

始持續(xù)觀察20天，試驗(yàn)期間，每犬固定時(shí)段從試驗(yàn)水體中隨機(jī)取出同批次9尾黃河

鯉仔魚測量體長，取其均值作為第0天的觀測值%（單位：mm）,其中&=

i（i=1,2,3,…,20）.根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料，該組數(shù)據(jù)9,%）可以用Logistic曲線擬合

模型y=或Logistic非線性回歸模型y=丁4而進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中a,b,a為參

一1+e

數(shù).基于發(fā)兩個(gè)模型,繪制得到如下的散點(diǎn)圖和殘差圖：

0.50

E

E0.25

/