第23章圖形的相似

23.3相似三角形

第5課時相似三角形的應(yīng)用學(xué)習目標1.掌握相似三角形的應(yīng)用；（重點）2.進一步了解數(shù)學(xué)建模思想，提高分析問題、解決問題的能力.（難點）觀察與思考人們從很早開始，就懂得利用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)來計算那些不能直接測量的物體高度和兩地距離。典例精析例6古代一位數(shù)學(xué)家想出了一種測量金字塔高度的方法：如圖，為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O'B'，比較木棒的影長A'B'與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O'B'=1米，A'B'=2米，AB

=274米，求金字塔的高度OB.O'A'B'OBCA

例7

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選定點B和C，使AB⊥BC，然后，再選定點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D。此時如果測得BD=118米，DC=61米，EC

=50米，求河的寬度AB。(精確到0.1米)

例8如圖，已知D、E

分別是△ABC的邊AB、AC上的點，

且∠ADE

=∠C.求證：AD·AB=AE·AC。

ABCED

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點

P，在河的這一邊取點

Q和

S，使點

P、Q、S共線且直線

PS與河垂直，接著在過點

S且與

PS垂直的直線

a上選擇適當?shù)狞c

T，確定

PT與過點

Q且垂直

PS的直線

b的交點為

R。如果測得

QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度

PQ.PQSTRab因此河寬大約為90m.PQSTRab60m45m90m測量不能到達兩點間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解.測距的方法已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是

AB=8m和

CD=12m，兩樹的根部的距離

BD=5m，一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點

C

了？分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置(視點)為點F，畫出觀察者的水平視線FG，它交AB，CD于點H，K。視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH是觀察點

A的仰角。類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域

Ⅰ

和Ⅱ

都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內(nèi).再往前走就根本看不到C點了。

由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進，當她與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端C.

解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點E時，她的眼睛的位置點E

與兩棵樹的頂端點A，C恰在一條直線上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.∴.即解得EH=8.當堂練習1.如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高______m.8OBDCA┏┛1m16m0.5m？2.某一時刻樹的影長為8米，同一時刻身高為1.5米的人的影長為3米，則樹高為______米.4解：設(shè)正方形

PQMN是符合要求的，△ABC的高

AD與

PN相交于點

E。設(shè)正方形

PQMN的邊長為xmm.因為PN∥BC，所以△APN∽△ABC.所以

.3.△ABC是一塊銳角三角形余料，邊

BC=120mm，高

AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在

BC上，其余兩個頂點分別在

AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？NMQPEDCBA解得

x=48(mm).因此

，課堂小結(jié)1.相似三角形的應(yīng)用主要有兩個方面：（1）測高

測量不能到達兩點間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解.（不能直接使用皮尺或刻度尺測量）（不能直接測量的兩點間的距離）

測量不能到達頂部的物體的高度，通