第23章圖形的相似

23.3相似三角形

第5課時(shí)相似三角形的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握相似三角形的應(yīng)用；（重點(diǎn)）2.進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.（難點(diǎn)）觀察與思考人們從很早開始，就懂得利用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)來(lái)計(jì)算那些不能直接測(cè)量的物體高度和兩地距離。典例精析例6古代一位數(shù)學(xué)家想出了一種測(cè)量金字塔高度的方法：如圖，為了測(cè)量金字塔的高度OB，先豎一根已知長(zhǎng)度的木棒O'B'，比較木棒的影長(zhǎng)A'B'與金字塔的影長(zhǎng)AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O'B'=1米，A'B'=2米，AB

=274米，求金字塔的高度OB.O'A'B'OBCA

例7

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選定點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選定點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D。此時(shí)如果測(cè)得BD=118米，DC=61米，EC

=50米，求河的寬度AB。(精確到0.1米)

例8如圖，已知D、E

分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，

且∠ADE

=∠C.求證：AD·AB=AE·AC。

ABCED

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)

P，在河的這一邊取點(diǎn)

Q和

S，使點(diǎn)

P、Q、S共線且直線

PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)

S且與

PS垂直的直線

a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)

T，確定

PT與過(guò)點(diǎn)

Q且垂直

PS的直線

b的交點(diǎn)為

R。如果測(cè)得

QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度

PQ.PQSTRab因此河寬大約為90m.PQSTRab60m45m90m測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解.測(cè)距的方法已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是

AB=8m和

CD=12m，兩樹的根部的距離

BD=5m，一個(gè)身高1.6m的人沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)

C

了？分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置(視點(diǎn))為點(diǎn)F，畫出觀察者的水平視線FG，它交AB，CD于點(diǎn)H，K。視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH是觀察點(diǎn)

A的仰角。類似地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域

Ⅰ

和Ⅱ

都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內(nèi).再往前走就根本看不到C點(diǎn)了。

由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8m時(shí)，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端C.

解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E

與兩棵樹的頂端點(diǎn)A，C恰在一條直線上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.∴.即解得EH=8.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高_(dá)_____m.8OBDCA┏┛1m16m0.5m？2.某一時(shí)刻樹的影長(zhǎng)為8米，同一時(shí)刻身高為1.5米的人的影長(zhǎng)為3米，則樹高為______米.4解：設(shè)正方形

PQMN是符合要求的，△ABC的高

AD與

PN相交于點(diǎn)

E。設(shè)正方形

PQMN的邊長(zhǎng)為xmm.因?yàn)镻N∥BC，所以△APN∽△ABC.所以

.3.△ABC是一塊銳角三角形余料，邊

BC=120mm，高

AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在

BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在

AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？NMQPEDCBA解得

x=48(mm).因此

，課堂小結(jié)1.相似三角形的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：（1）測(cè)高

測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解.（不能直接使用皮尺或刻度尺測(cè)量）（不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離）

測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通