8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

【知識點梳理】

1.相關(guān)關(guān)系

兩個變量間的關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)關(guān)系

兩個變量有關(guān)系，但乂沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

2.止相關(guān)、負相關(guān)

從整體上看，當一個變量的值塢加時，另一個變量的相應(yīng)值乜呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量止

相關(guān)；如果一個變量值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這個兩個變量負相關(guān).

3.線性相關(guān)

一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條線附近，我們就稱這兩個變量線

性相關(guān).

一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

4.相關(guān)系數(shù)「的計算

注意：相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量

假設(shè)兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為（乃，V），（K2,），2），…，（&，%），對數(shù)據(jù)作進一步的“標準化處理”處理,

用“=y三工（為一x）2,?=、（y—y）2分別除x和％—J（i=1，2,…，〃，工和1y分別為M，

X2,…，心和V，兒，…，%的均值），得￡二，匕￡|,k二C由二￡|,…，L=，包二21，為簡單起

見，把上述“標準化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為（即‘，巾），（X2%過），…，W，四），則變量X和變量），的樣

本相關(guān)系數(shù)，?的計算公式如下：

一］?'V'+x2'”'+...+xJ/J）

g(x/—x)(y-y)

（1）當/>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當代0時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)：當r=0時，成對樣本數(shù)據(jù)間

沒有線性相關(guān)關(guān)系.

（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1].

當|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；

當IH越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

6.樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系

r=%y=，1WcosJ=cos。（其中7=（媒，W....xJ），V=（W，城），M|=W=/，。為向量

V和向量V的夾角）.

【典型例題】

題型一相關(guān)關(guān)系的理解

例I.（2021.全國?高二課時練習(xí)）下列兩個變量間的關(guān)系，是相關(guān)關(guān)系的是（）

A.任意實數(shù)和它的平方B.圓半徑和圓的周長

C.正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D.天空中的云量和下雨

規(guī)律方法函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種

因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

例2.（2021?全國?高二課時練習(xí)）有幾組變最：①汽車的重最和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②

平均口學(xué)習(xí)時間和平均學(xué)習(xí)成績；③立方體的棱長和體積.其中兩個變量成正相關(guān)的是（）

A.①@B.②③

C.②D.③

例3.（2021?江西南昌?高一期末）對兩變量間的關(guān)系，下列論述正確的是（）

A.任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系

B.正方形的面積與該正方形的邊長具有相關(guān)關(guān)系

C.農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是一種確定性關(guān)系

D.一個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間是一種非確定性的關(guān)系

題型二散點圖與相關(guān)性

例4.（2021?全國?窗課時練習(xí)）如下四個散點圖中，正相關(guān)的是（）

規(guī)律方法判斷兩個變量X和間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果發(fā)現(xiàn)點

的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影

響.

例5.（2020?全國?高二單元測試（理））有一個食品商店為了調(diào)查氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過調(diào)查得到關(guān)

于賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的數(shù)據(jù)如下表，繪出散點圖如下.通過計算，可以得到對應(yīng)的叵歸方程），=

-2.352x4-147.767,根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的是（）

7

80

60

40

20

00

80

60

40

20

A.氣溫與熱飲的銷售杯數(shù)之間成正相關(guān)

B.當天氣溫為2℃時，這天大約可以賣出143杯熱飲

C.當天氣溫為這天恰賣出124杯熱飲

D.由于x=0時，），的值與調(diào)查數(shù)據(jù)不符，故氣溫與賣出熱飲杯數(shù)不存在線性相關(guān)性

例6.（2020?云南?羅平縣第二中學(xué)高二期末（文））已知某次考試之后，班主任從全班同學(xué)中隨機抽取一個

容量為8的樣本，他們的數(shù)學(xué)、物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表，對應(yīng)散點圖如圖所示：

學(xué)生編號17345678

數(shù)學(xué)成績6065707580859095

物理成績7277808488909395

物理成績/分

100

90

80.?

70?

60

501~?一一■一^-----------------------------

5060708090100數(shù)學(xué)成績/分

根據(jù)以上信息，則下列結(jié)論：

①根據(jù)散點圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系；

②根據(jù)散點圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有?次函數(shù)關(guān)系；

③從全班隨機抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，則

可以判斷出甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高；

④從全班隨機抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，則

不能判斷出甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高；

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

題型三散點圖及其應(yīng)用

例7.（2021?全國?高二課時練習(xí)）兩對變量A和叢C和。的取值分別對應(yīng)如表1和表2,畫出散點圖，分

別判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系；若具有相關(guān)關(guān)系，說出它們相關(guān)關(guān)系的M別.

表1

A261813104-1

B202434385064

表2

C05101520253035

D541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.75

規(guī)律方法1.畫散點圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標在坐標系中畫

不在，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論.

2.在這里利用散點圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀

想象的具體體現(xiàn).

題型四線性相關(guān)性的檢驗

例8.（2021?全國?高二課時練習(xí)）兩對變量A和8,。和。的取值分別對應(yīng)如表1和表2,畫出散點圖，分

別判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系：若具有相關(guān)關(guān)系，說出它們相關(guān)關(guān)系的區(qū)別.

表1

A261813104-1

B202434385064

表2

C05101520253035

D541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.75

例9.（2021?全國?高二課時練習(xí)）某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示.

年齡女（歲）123456

身高y(cm)788798108115120

（1）畫出散點圖:

（2）判斷），與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系.

例10.（2021?江蘇?高二課時練習(xí)）有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年內(nèi)收入的總和）與A商

品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如表.

表

第〃年12345678910

居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

畫出散點圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)判斷居民年收入與A商品銷售額的相

關(guān)程度和變化趨勢的異同.

題型五判斷線性相關(guān)的強弱

例11.（2021.全國?高二課時練習(xí)）某公司為了準確地把握市場，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計劃，對過去四年的數(shù)據(jù)進

行整理得到了第x年與年銷量）’（單位：萬件）之間的關(guān)系如表：

X1234

y12284256

在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并估計它們的相關(guān)程度.

，M萬件）

60?

50■

40

30■

20

10

31234x

附注：參考數(shù)據(jù)：膠（』-方、32.6,6=2.24,1>戊=418.

V>=1注1

參考公式：相關(guān)系數(shù)，=n----------------

規(guī)律方法當相關(guān)系數(shù)H越接近1時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越強，當相關(guān)系數(shù)”越接近。時.，兩個變量的

相關(guān)關(guān)系越弱.

例12.（2021?吉林吉林?三模（文））2020年是決勝全面建成小康社會、決戰(zhàn)脫貧攻堅之年，面對新冠肺炎疫

情和嚴重洪澇災(zāi)害的考驗.黨中央堅定如期完成脫貧攻堅目標決心不動搖，全黨全社會戮力同心真抓實干，

取得了積極成效.某貧困縣為了響應(yīng)國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積x與

相應(yīng)的管理時間）'的關(guān)系如下表所示：

土地使用面積

12345

X（單位：畝）

管理時間）（單811142423

位：月）

并調(diào)杳了某村30（）名村民參與管理的意愿，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示;

愿意參與管理不愿意參與管理

男性村民14060

女性村民40

（1）做出散點圖，判斷土地使用面積x與管理時間了是否線性相關(guān);并根據(jù)相關(guān)系數(shù)，?說明相關(guān)關(guān)系的強

弱.（若|r|20.75,認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性，〃值精確到0.001）.

（2）若以該村的村民的性別與參與管理黃風(fēng)的情況估計貧困具的情況，口.每位村民參與管理的竟互不影響,

則從該貧困縣村民中任取3人，記取到不愿意參與管理的女性村民的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：?=16,X(-V)2=206,7515?22.7

例13.（2019?全國?高三專題練習(xí)（文））春節(jié)期間，由于高速免贄，車流量逐步增加，某高速口統(tǒng)計了5天

中的車流量與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系，所得數(shù)據(jù)如卜表所示：

車流量X（萬輛）1212.51313.514

空氣質(zhì)量指數(shù)y7476787780

（I）在下列網(wǎng)格紙中繪制出散點圖;

1212J131I514

（2）由（1）判斷是否能用線性回歸模型擬合），與x的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明;

（3）記這5天的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為5,若從5天中任選2天的數(shù)據(jù)作調(diào)研，求這2天中恰有1天的

空氣質(zhì)量指數(shù)高于5的概率.

工（斗-君（州一刃

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=.參考數(shù)據(jù)：71=1.414,岳=2236,V10?3.162.

【同步練習(xí)】

一、單選題

1.（2021?全國?高二課時練習(xí)）某次考試之后，班主任從全班同學(xué)中隨機抽取8位同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)、物理

成績（單位：分，滿分100分）的散點圖如圖所示：

物理成績/分

100?

90

80?,

■

70?

60

5°5060708090100數(shù)學(xué)成績/分

根據(jù)以上信息，有下列結(jié)論：

①根據(jù)散點圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系：

②從全班同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)(記為甲、乙)，若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0

分，則可以判斷出甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高；

③從全班同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)(記為甲、乙)，若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?()分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0

分，則不能判斷出甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高.

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

2.12022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二開學(xué)考試(文))如圖，是對某位同學(xué)一學(xué)期8次體育測試成績(單位：

分)進行統(tǒng)計得到的散點圖，關(guān)于這位同學(xué)的成績分析，下列結(jié)論錯誤的是()

B.該同學(xué)8次測試成績的眾數(shù)是48分

C.該同學(xué)8次測試成績的中位數(shù)是49分

D.該同學(xué)8次測試成績與測試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)

3.(2021.全國?高二課時練習(xí))已知變量X與y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.83),(12.5,4),

(13,5),變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(1數(shù)5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).4表示變量X與丫

之間的線性相關(guān)系數(shù)，4表示變量U與丫之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A,4<4<0B,0<與<耳C.4<0<4D.弓=4

4.（2021?廣西?玉林市育才中學(xué)高二階段練習(xí)）己知。表示變量X與丫之間的線性相關(guān)系數(shù)，72表示變量U

與力之間的線性相關(guān)系數(shù)，且,=。837,?0957,則（）

A.變量x與丫之間呈正相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性強于u與V之間的相關(guān)性

B.變量x與y之間呈負相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性強于u與v之間的相關(guān)性

c.變量u與v之間呈負相關(guān)關(guān)系,日x與y之間的相關(guān)性弱干u與v之間的相關(guān)件

D,變量u與V之間呈正相關(guān)關(guān)系，且x與丫之間的相關(guān)性弱二u與v之間的相關(guān)性

5.（2021?全國?高二課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（）

A.正方體的體積與棱長之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系

B.人的身高與視力之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系

C.汽車的重量與汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程負相關(guān)

D.體重與學(xué)習(xí)成績之間不具有相關(guān)關(guān)系

6.（2021?全國?高一課時練習(xí)）最新《交通安全法》實施后，某市管理部門以周為單位，記錄的每周查處的

酒駕人數(shù)與該周內(nèi)出現(xiàn)的交通事故數(shù)量如下：

酒駕人數(shù)X801471211009610387

交通事故）’19313023252420

通過如表數(shù)據(jù)可知，酒駕人數(shù)上與交通事故數(shù)）'之間是（）

A.正相關(guān)B.負相關(guān)C.不相關(guān)D.函數(shù)關(guān)系

7.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖，5個（尤、）數(shù)據(jù)，去掉。（3,10）后，下列說法錯誤的是（）

憚.E（10s12）

?ZX3,10）

OX

A.4與y的相關(guān)性變強B.殘差平方和變大

C.相關(guān)指數(shù)&變大D.解釋變量X與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強

8.（2019?四川?高考模擬（理））下列說法中錯誤的是

A.先把高二年級的1000名學(xué)生編號為1到1000,再從編號為1到50的50名學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，其編

號為〃"然后抽取編號為"7+5（）,〃?+l（X）,m+150……的學(xué)生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法.

B.正態(tài)分布N（l,9）在區(qū)間（-1,0）和（2,3）上取值的概率相等

C.若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)，?的值越接近于1

D.若一組數(shù)據(jù)1、。、2、3的平均數(shù)是2,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是2

二、多選題

9.（2021?全國?高二單元測試）根據(jù)下曲四個散點圖中點的分布狀態(tài)，可以直觀地判斷兩個變量之間具有線

性相關(guān)關(guān)系的是（）

10.（2021.仝國?高二課時練習(xí)）下列關(guān)于相關(guān)系數(shù)「的說法中，正確的是（）

A.相關(guān)系數(shù)，?越大，兩個變量間線性相關(guān)性越強

B.相關(guān)系數(shù)，?的取值范圍是［7』

C.相關(guān)系數(shù)廠＞0時兩個變量正相關(guān)，廠＜0時兩個變量負相關(guān)

D.相關(guān)系數(shù)r=1時，樣本點在同一直線上

11.（2021?廣東廣雅中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖是國家統(tǒng)計周公布的2020年下半年快遞運輸量情況，請根據(jù)

圖中信息選出正確的選項（）

832527.2

A.2020年下半年，每個月的異地快遞量部是同城快遞量的6倍以上

B.202（）年10月份異地快遞增長率小于9月份的異地快遞增長率（注.增長率指相對前一個月而言）

C.2020年下半年，異地快遞量與月份呈正相關(guān)關(guān)系

D.2020年下半年，同城和異地快遞量最高均出現(xiàn)在11月

12.（2021?全國?高二課時練習(xí)）為了檢驗變量％與>的線性相關(guān)程度，由樣本點（/%），（％外），…，

（XKPXO）求得兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)為小則下列說法錯誤的是（）

A.若所有樣本點都在直線），=-2x+l上，則r=1

B.若所有樣本點都在直線），=-2萬+1上，則廠二一1

C.若卜|越大，則變量x與），的線性相關(guān)程度越強

D.若卜|越小，則變量上與>的線性相關(guān)程度越強

三、填空題

13.（2021.全國?高二課時練習(xí)）在一組樣本數(shù)據(jù)（為,y）,伍，了2），…，（天，匕）（〃？2小,/、…，/不全相

等）的散點圖中，若所有樣本點（4,）。=1,2,3「、〃）都在直線21+），-1=0上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系

數(shù)，為.

14.（2021?全國?高二課時練習(xí)）若變量x和），滿足關(guān)系R-0.6X+1,變量），與z正相關(guān)，則工與z

相關(guān).

15.（2021?全國?高二課時練習(xí)）如圖，有5組（北），）數(shù)據(jù)，去掉點對應(yīng)的數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)

的線性相關(guān)程度最大.

12?￡(10,12)

11

10?0(3,10)

9

8

7

6

5.C(4,5)

4.?8(2,4)

3)(1.3)

2

O123456789101112

16.（2021?全國?高二單元測試）對兩個變量的相關(guān)系數(shù)，，有下列說法：（1）卜|越大，相關(guān)程度越大；（2）

卜|越小，相關(guān)程度越大；（3）年|趨近于0時，沒有非線性相關(guān)系數(shù)；（4）卜|越接近于1時，線性相關(guān)程度

越強，其中正確的是.

四、解答題

17.（2022?全國?高二課時練習(xí)）互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不

可或缺的一部分，某市一調(diào)查機構(gòu)制對該市市場占有率較高的甲，乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)（以下稱外賣印、

外賣乙）的經(jīng)營情況進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

1日2日3日4R5R

外賣甲日接單工（百單）529811

外賣乙日接單）’（百單）2310515

（1）試根據(jù)表格中這五天的日接單量情況，從統(tǒng)計的角度說明這兩家外賣企業(yè)的經(jīng)營狀況；

（2）據(jù)統(tǒng)計表明，y與X之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)，-對y與X之間的相關(guān)性強弱進行判斷；（若

1-1>0.75,則可認為y與X有較強的線性相關(guān)關(guān)系，「值精確到0.001）

參考數(shù)據(jù)：￡（七一可5-方=66,Jta-對￡（y-寸=77.

Vr-|,-1

18.（2021?全國?高二課時練習(xí)）某生物小組為了研究溫度對某和酶的活性的影響進行了一組實驗，實驗數(shù)

據(jù)經(jīng)整理得到如下的折線圖：