第11講有理數(shù)全章復(fù)習(xí)與測(cè)試

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.有理數(shù)的概念及運(yùn)算，數(shù)軸，絕對(duì)值及科學(xué)記數(shù)法的相關(guān)內(nèi)容.

2.重點(diǎn)是有理數(shù)的四則運(yùn)算，

3.難點(diǎn)是絕對(duì)值的相關(guān)運(yùn)算以及有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)

I、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“-”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+

號(hào)叫做它的符號(hào).

2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù).

3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量.具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，■

是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量.

2.有理數(shù)

I、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

2、有理數(shù)的分類：

整數(shù)0

①按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：有理數(shù)〔負(fù)整數(shù);

分?jǐn)?shù)［正分?jǐn)?shù)

叫負(fù)分?jǐn)?shù)

②按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù)Jo

臺(tái)右工田於J負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)〈人八小

負(fù)分?jǐn)?shù)

注意：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循

環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，國(guó)而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有

理數(shù).

3.數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向.

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù).(一般取右方

向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù).)

(3)用數(shù)軸比較大小：一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

4.相反數(shù)

(1)相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).

(2)相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)

數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等.

(3)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“-”號(hào)垢果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“-”號(hào)，結(jié)果為正.

(4)規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“-”，如〃的相反數(shù)是-小

的相反數(shù)是-(/〃+〃)，這時(shí)機(jī)+〃是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用小括號(hào).

5,絕對(duì)值

(1)概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等：

②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù).

(2)如果用字母〃表示有理數(shù)，則數(shù)〃絕對(duì)值要由字母”本身的取值來確定：

①當(dāng)。是正有理數(shù)時(shí)，〃的絕對(duì)值是它本身出

②當(dāng)4是負(fù)有理數(shù)時(shí)，。的絕對(duì)值是它的相反數(shù)-4：

③當(dāng)。是零時(shí)，。的絕對(duì)值是零.

即(?>0)0(。=0)-a(?<0)

6.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為。時(shí)，則其中的每一項(xiàng)

都必須等于0.

根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值.

7.倒數(shù)

(1)倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

一般地，a*—=1(aWO),就說a(a#0)的倒數(shù)是工.

aa

（2）方法指引：

①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要.倒

數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“-”即可

求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一

求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù).

8.有理數(shù)的加法

（1）有理數(shù)加法法則:

①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.

②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.互為相反數(shù)

的兩個(gè)數(shù)相加得0.

③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0.從而確定用那一條法

則.在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”.）

（2）相關(guān)運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a；結(jié)合律（a+8）+c=a+（b+c）.

9.有理數(shù)的減法

（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù),即：4-。=.+（~b）

（2）方法指引：

①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；

②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)（減號(hào)變加號(hào)）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（減

數(shù)變相反數(shù)）；

【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律.

減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，。減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算.

10.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

14.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負(fù)性.

任意個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每項(xiàng)都必須等于0.

15.有理數(shù)的混合運(yùn)算

（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算;

如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡(jiǎn)化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的囚種運(yùn)算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，一是將乘力轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為

分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算.

2.湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為

整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算.

4.巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡(jiǎn)便.

16.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成aXl卅的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，〃是正整數(shù)，

這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式:?X10M,其中〃為正整數(shù).]

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中。的要求和10的指數(shù)〃的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)

律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，口J可求出10的指數(shù)

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是

前面多一個(gè)負(fù)號(hào).

17.計(jì)算器一有理數(shù)

計(jì)算器包括標(biāo)準(zhǔn)型和科學(xué)型兩種，其中科學(xué)型使用方法如下：—（1）鍵入數(shù)字時(shí)，按下相應(yīng)的數(shù)字鍵，

如果按錯(cuò)可用（DEL）鍵消去一次數(shù)值，再重新輸入正確的數(shù)字.—（2）直接輸入數(shù)字后，按下對(duì)應(yīng)的

功能鍵，進(jìn)行第一功能相應(yīng)的計(jì)算.

（3）按下（?）鍵可輸入負(fù)數(shù)，即先輸入（-）號(hào)再輸入數(shù)值.

（4）開方運(yùn)算按用到乘方運(yùn)算鍵，的第二功能鍵廠，”和。）的第二功能鍵“廠”.

（5）對(duì)于開平方運(yùn)算的按鍵順序是：2〃嶼2被開方數(shù)ENTE或直接按鍵廠'，再輸入數(shù)字后按“=”即可.

（6）對(duì)于開立方運(yùn)算的按鍵順序是：32〃的人被開方數(shù)EM花或直接按x3,再輸入數(shù)字后按“=”即可

注意：由于計(jì)算器的類型不一樣操作方式也不盡相同，可以參考說明書進(jìn)行操作.

18.無理數(shù)

（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周率、2的平方根

等.

（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，

比如4=4.0,13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.

（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有n的

數(shù)，如分?jǐn)?shù)口2是無理數(shù)，因?yàn)?T是無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型

（1）開不盡的方根，如血，正，相等.

（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）.

（3）含有n的絕大部分?jǐn)?shù)，如2n.

注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡(jiǎn)結(jié)果.如我是有理數(shù)，而不是無理數(shù).

◎

W【考點(diǎn)剖析】

一.正數(shù)和負(fù)數(shù)（共1小題）

1.（真題?海滄區(qū)期末）如果向西走35?，記作+3公〃，那么-6km表示（）

A.向東走B.向南走6如?C.向西走6燈〃D.向北走6

二.有理數(shù)（共1小題）

2.（真題?靖江市月考）下列各數(shù)：-工，1.010010001,0,-rr,-2.626626662…（每?jī)蓚€(gè)2之間多一個(gè)

4

6）,0.1222-,其中有理數(shù)有個(gè).

三.數(shù)軸（共1小題）

3.（真題?鎮(zhèn)江期末）數(shù)軸上點(diǎn)4表示的數(shù)是-4,將點(diǎn)人在數(shù)軸上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B.則點(diǎn)8表

示的數(shù)是.

四.相反數(shù)（共1小題）

4.（2023?寶山區(qū)模擬）2022的相反數(shù)是.

五.絕對(duì)值（共1小題）

5.（真題?無錫期末）?3.6的絕對(duì)值是.

六.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值（共1小題）

6.（2023春?東臺(tái)市期中）卜-2|+9有最小值為.

七.倒數(shù)（共1小題）

7.（2023?南京一模）工的倒數(shù)是______：1的相反數(shù)是_______.

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八.有理數(shù)的加法（共1小題）

8.（2023?鎮(zhèn)江一模）（-7）+7=.

九.有理數(shù)的減法（共1小題）

9.（真題?射陽縣校級(jí)期末）比0小4的數(shù)是.

一十.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（共1小題）

10.（真題?文山市期末）檢修工乘汽車沿東西方向檢修電路，規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，某天檢修工從4

地出發(fā)，到收工時(shí)行程記錄為（單位：千米）

+8,-9,+4,-7,-2,-10,+11,-3,+7,-5；

（1）收工時(shí)，檢修工在A地的哪邊？距A地多遠(yuǎn)？

（2）若每千米耗油0.3升，從A地出發(fā)到收工時(shí)，共耗油多少升？

一十一.有理數(shù)的乘法（共1小題）

11.（真題?東城區(qū)校級(jí)期中）（2-_1+_L）義（?36）

9418

一十二.有理數(shù)的除法（共1小題）

12.（2023秋?仁壽縣校級(jí)期中）（-81）（-16）

49

一十三.有理數(shù)的乘方（共1小題）

13.（2023春?姜堰區(qū)期中）計(jì)算：42〃?（--1）2田=（〃為正整數(shù)）.

4

一十四.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共1小題）

14.（真題?射陽縣校級(jí)期末）已知-3|+（b+2）2=0,則〃+/?=.

一十五.有理數(shù)的混合運(yùn)算（共1小題）

15.（2023?通州區(qū)校級(jí)開學(xué)）計(jì)算題：

（1）24+（-14）+（-16）+8；（2）0.25X（-2）3-[4^-（-2）2+1].

3

一十六.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)（共1小題）

16.（2023?江陰市模擬）2021年3月23日下午，“天宮課堂”時(shí)隔3個(gè)月后再度開課，中國(guó)航天員再次進(jìn)

行太空授課，此時(shí)空間站距離地球約370000米，數(shù)據(jù)370000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

一十七.計(jì)算器一有理數(shù)（共1小題）

17.（2023秋?海安市期末）小江利用計(jì)算器計(jì)算15末15,25X25,…，95X95,有如下發(fā)現(xiàn):

15X15=225=1X2X100+25,

25X25=625=2X3X100+25

35X35=1225=3X4X100+25,

小江觀察后猜測(cè)：如果用字母。代表一個(gè)正整數(shù)，則有如下規(guī)律：

（aX10+5）2=a（a+l）X100+25.

但這樣的猜測(cè)是需要證明之后才能保證它的正確性.

請(qǐng)給出證明.

一十八.無理數(shù)（共1小題）

18.（真題?阜寧縣期末）在2,2m-1』，0.181181118…四個(gè)數(shù)中，無理數(shù)有個(gè).

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修【過關(guān)檢測(cè)】

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）化簡(jiǎn)-（-8）的結(jié)果是（）

A.8B.-8C.-1D.--1

88

2.（3分）中國(guó)奇書《易經(jīng)》中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)數(shù)，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”.如圖，

一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進(jìn)1,用來記錄孩子自出生后的天數(shù).由圖可知，孩

子自出生后的天數(shù)是（）

A.10B.89C.165D.294

3.（3分）點(diǎn)A、8在數(shù)軸上的位置如圖所示，其對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是〃和6,下列結(jié)論中正確的是（)

B,A

—?-*------i----->

-303

A.b+a>0B.a-b<0C.\a\>\b\D.上VO

a

4.(3分)下列各式運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)的是()

A.-23X5B.(2-3)2X5C.(1-22)X5D.1-(2X3)2

5.(3分)下列計(jì)算正確的是()

A.(-4)X-14-AX2=-24-(-I)=2

22

B.-32+(7-10)2-4X(-2)2=9+9-16=2

C.（-6.25）X（-4）-1204-（-15）=25-8=17

D.0-（-3）24-3X（-2）3=0-94-3X（-2）3=0-3X（-8）=24

6.（3分）程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值

是20時(shí)，根據(jù)程序計(jì)算，第一次輸出的結(jié)果為10,第二次輸出的結(jié)果為5……這樣下去第2020次輸出

的結(jié)果為（）

A.-2B.-1C.-8D.-4

7.（3分）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①兩個(gè)有理數(shù)相加，和一定大于每一個(gè)加數(shù)；②兩個(gè)正數(shù)相加，和為正數(shù)；③正數(shù)加負(fù)數(shù)，其和一定等

于（）；④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相減得0;⑤減去一個(gè)負(fù)數(shù)，差一定大于被減數(shù).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（3分）“△”表示一種運(yùn)算符號(hào)，其意義是：a^b=2a-b,那么（-5）△（1A3）的值等于（）

A.-9B.-11C.-15D.-12

9.（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,B,。分別表示數(shù)m4c,有下列結(jié)論：①a+b>0：?abc<0；?a-c<0；

④-IVgVO,則其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

b

BAC

b0~ac

A.①②B.②③C.②③④D.①?④

10.(3分)在數(shù)軸上表示有理數(shù)a,b,c,"如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

abcd

1■11.11.1.1.

-4-3-2-1012

A.a+b>c+dB.ab<cd

C.(a+3)31)>0D.Ca-d）Cc-b）>0

二.填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

II.（3分）比較大?。?烏-1.

54

12.（3分）若則。=.

3

13.（3分）比-4大而比5小的所有整數(shù)的和為.

14.（3分）當(dāng)aNO,/?六0時(shí)，設(shè)Ia|+b=〃？,貝ij〃?=.

albI

15.（3分）-2的相反數(shù)是.

16.（3分）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)-2,點(diǎn)8到點(diǎn)4的距離為3,則點(diǎn)8表示的數(shù)是.

17.（3分）如圖所示是計(jì)算機(jī)某計(jì)算程序，若開始輸入x=-2,則最后輸出的結(jié)果是

18.（3分）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C,其中點(diǎn)A、8表示的數(shù)分別是-16、9,現(xiàn)以點(diǎn)。為折點(diǎn)，將數(shù)軸

向右對(duì)折，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)4,落在點(diǎn)8的右邊，并且18=3,則C點(diǎn)表示的數(shù)是一

三.解答題(共6小題，滿分46分)

19.(10分)計(jì)算：

⑴(J-磊+￡-｛，*(-15X4)；(2)120X(-5-|-+6-|--1-7^-);

O/UO0oJL5

(3)(-18)+(-16)；⑷-y-r(J)+(1-0.2。春)X(-3);

49/40

⑸居?（W）粉乂（一片）一1年）2+（等）2x0

20.（4分）a與〃互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，求2a+2b-8的值.

3cd+l

21.（6分）小王上周五在股市以收盤價(jià)（收市時(shí)的價(jià)格）每股25元買進(jìn)某公司股票1000股，在接下來的

一周交易口內(nèi)，小王記下該股票每口收盤價(jià)格相比前一天的漲跌情況：（單位：元）

星期—二三四五

每股漲跌（元）+2-0.5+1.5-1.8+0.8

根據(jù)上表回答問題：

（1）星期二收盤時(shí)，該股票每股多少元？

（2）本周內(nèi)該股票收盤時(shí)的最高價(jià)，最低價(jià)分別是多少？

（3）已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的交易費(fèi).若小王在本周五以收盤價(jià)將全部

股票賣出，他的收益情況如何？

22.（8分）一只螞蟻從原點(diǎn)。出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5,-3,+10,-8,-9,+12,

-10.-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910>

回答下列問題：

（1）螞蟻?zhàn)詈笫欠窕氐匠霭l(fā)點(diǎn)0;

（2）在爬行過程中，如果每爬?個(gè)單位長(zhǎng)度獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，則螞蟻?共得到多少粒芝麻.

23.(8分)閱讀下列解題過程：

計(jì)算1+3+32+33+34+…+39+31°的值.

解:設(shè)S=1+3+32+33+34+…+39+31°①,

則3s=3X(1+3+32+33+-+39+310)

3S=3X1+3義3+3義32+3X33+-+3X39+3X310

3S=3+32+33+34+-+3I0+3II@,

②-①得：

35-5=(3+32+33+34+-+39+3|0+311)-(l+3+32+33+34+-+39+310)

9111Q111

2S=3n-I,S=-----即I+3+32+33+34+???+39+310=-——-

22

通過閱讀，你一定學(xué)到了一種解決問題的方法.

請(qǐng)用你學(xué)到的方法計(jì)算：1+5+52+53+54+…+524+525.

24.(10分)閱讀下面材料：點(diǎn)A、8在數(shù)軸上分別表示數(shù)Mb,A、8兩點(diǎn)之間的距離表示為|A8|.當(dāng)小

B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖(1),當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖(2),

點(diǎn)A、8都在原點(diǎn)的右邊，依陰=|0用?|04|=步|?同="。=|。?然②如圖(3),點(diǎn)A、8都在原點(diǎn)的

左邊，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=-b-(〃)=|a-例；③如圖(4)，點(diǎn)A、4都在原點(diǎn)的兩邊，|A4|=

\OB\+\()A\=\a\+\h\=a+(-b)=\a-b\；綜上，數(shù)軸上A、4兩點(diǎn)之間的距離［4用=心-

0(A)B0AB

1)■,

0b0ab

(1)(2)

BAJBA

■10

0>

bab0a

(3)(4)

回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是：

(2)數(shù)軸上表示-I和-5的兩點(diǎn)之間的距離是；

(3)數(shù)軸上表示1和-4的兩點(diǎn)之間的距離是；

(4)數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A之和8之間的距離是，如果|AB|=2,那么x的值是

第11講有理數(shù)全章復(fù)習(xí)與測(cè)試

O【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.有理數(shù)的概念及運(yùn)算，數(shù)軸，絕對(duì)值及科學(xué)記數(shù)法的用關(guān)內(nèi)容.

2.重點(diǎn)是有理數(shù)的四則運(yùn)算，

3.難點(diǎn)是絕對(duì)值的相關(guān)運(yùn)算以及有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)

1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“-”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面

的“+”“”號(hào)叫做它的符號(hào).

2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù).

3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量.具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包

含兩個(gè)要索?，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量.

2.有理數(shù)

1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

2、有理數(shù)的分類：

.「正整數(shù)

整數(shù)，0

［負(fù)整數(shù);

①按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類:有理數(shù),

1正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)，

負(fù)分?jǐn)?shù)

1正整數(shù)

正有理數(shù)＜

〔正分?jǐn)?shù)

②按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù)，0

1負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)＜

負(fù)分?jǐn)?shù)

注意：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限

小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化

成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù).

3.數(shù)軸

（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向.

（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理

數(shù).（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù).）

（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

4.相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).

（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互

為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等.

（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“-”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“-”

號(hào)，結(jié)果為正.

（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“-”，如。的相

反數(shù)是-〃，〃計(jì)〃的相反數(shù)是-（〃?+〃），這時(shí)〃葉〃是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要

用小括號(hào).

5,絕對(duì)值

（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；

②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù).

（2）如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對(duì)值要由字母。本身的取值來確定：

①當(dāng)〃是正有理數(shù)時(shí)，〃的絕對(duì)值是它本身〃；

②當(dāng)。是負(fù)有理數(shù)時(shí)，勺絕對(duì)值是它的相反數(shù)-a；

③當(dāng)。是零時(shí)，。的絕對(duì)值是零.

即間={a（a>0）0（a=0）-a（a<0）

6.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則

其中的每一項(xiàng)都必須等于0.

根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值.

7.倒數(shù)

（1）倒數(shù)：乘枳是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

一般地，=1（〃#0）,就說a（a#0）的倒數(shù)是工.

aa

（2）方法指引：

①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一

樣，非常重要.倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個(gè)數(shù)的相反求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“一"即可

數(shù)

求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一

求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù).

8.有理數(shù)的加法

（1）有理數(shù)加法法則：

①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.

②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)

值.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.

③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0.從而

確定用那一條法則.在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”.）

（2）相關(guān)運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a；結(jié)合律（。+力）+c=a+（〃+c）.

9.有理數(shù)的減法

（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即：a-b=a+（-b）

（2）方法指引:

①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；

②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)（減號(hào)變加號(hào)）；二是減

數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（減數(shù)變相反數(shù)）：

【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律.

減法法則不能與加法法則類比,0加任何數(shù)都不變,0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算.

10.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法.

（2）方法指引：

①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省

略括號(hào)的和的形式.

②轉(zhuǎn)化成省略括號(hào)的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡(jiǎn)化.

11.有理數(shù)的乘法

（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.

（2）任何數(shù)同零相乘，搭得0.

（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于。的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，

當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正.②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)

為0,積就為0.

（4）方法指引：

①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘.

②多個(gè)因數(shù)相乘，看。因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)單.

12.有理數(shù)的除法

（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a^b=a-l（b

b

WO）

（2）方法指引：

（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，

都得0.

（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異

號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”.如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于。的數(shù)，等于乘這個(gè)

數(shù)的倒數(shù)”，再約分.乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右.

13.有理數(shù)的乘方

（1）有理數(shù)乘方的定義：求〃個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方.

乘方的結(jié)果叫做品，在中，。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù).a”讀作。的〃次方.（將/看作

是a的〃次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作〃的〃次累.）

（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次暴都是正數(shù)：魚數(shù)的奇次察是仇數(shù),仇數(shù)的偶次寢是正數(shù)：

0的任何正整數(shù)次凝都是0.

（3）方法指引：

①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首元要確定寤的符號(hào)，然后再計(jì)算幕的

絕對(duì)值；

②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級(jí)，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，

最后做加減.

必費(fèi)

欣數(shù)

14.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負(fù)性.

任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為。時(shí)：則其中的每一項(xiàng)都

必須等于0.

15.有理數(shù)的混合運(yùn)算

（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右

的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡(jiǎn)化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通

常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算.

2.湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的

兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算.

4.巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡(jiǎn)便.

16.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于1（）的數(shù)記成“XIO〃的形式，其中〃是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，，，是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：“X10”，其中

〃為正整數(shù).】

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中。的要求和10的指數(shù)〃的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位

數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)〃.

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此

法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào).

17.計(jì)算器一有理數(shù)

計(jì)算器包括標(biāo)準(zhǔn)型和科學(xué)型兩種，其中科學(xué)型使用方法如下：—（1）鍵入數(shù)字時(shí)，按下

相應(yīng)的數(shù)字鍵，如果按錯(cuò)可用（DEL）鍵消去一次數(shù)值，再重新輸入正確的數(shù)字.—（2）

直接輸入數(shù)字后，按下對(duì)應(yīng)的功能鍵，進(jìn)行第-功能相應(yīng)的計(jì)算.

（3）按下（-）鍵可輸入負(fù)數(shù)，即先輸入（-）號(hào)再輸入數(shù)值.

（4）開方運(yùn)算按用到乘方運(yùn)算鍵，的第二功能鍵廠和6）的第二功能鍵“W廠”.

（5）對(duì)于開平方運(yùn)算的按鍵順序是：2〃疝被開方數(shù)0V我或直接按鍵廠'，再輸入數(shù)字

后按“=”即可.

（6）對(duì)于開立方運(yùn)算的按鍵順序是：32〃切△被開方數(shù)EMm或直接按工3,再輸入數(shù)字后按

“=”即可

注意：由于計(jì)算器的類型不一樣操作方式也不盡相同，可以參考說明書進(jìn)行操作.

18.無理數(shù)

（1）、定義：無限不循翔小數(shù)叫做無理數(shù).

說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周

率、2的平方根等.

（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，

比如4=4.0,13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù),比如2=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.

（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小

數(shù)，③含有1T的數(shù)，如分?jǐn)?shù)n2是無理數(shù)，因?yàn)镮T是無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型

（1）開不盡的方根，如血，圾,相等.

（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）.

（3）含有11的絕大部分?jǐn)?shù)，如2m

注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為尢理數(shù)，不能只有形式，要有化簡(jiǎn)結(jié)果.如仍舊是有理數(shù)，而不

是無理數(shù).

二【號(hào)，點(diǎn):剖析】

一.正數(shù)和負(fù)數(shù)（共1小題）

1.（真題?海滄區(qū)期末）如果向西走3初?，記作+3如?，那么-6切?表示（）

A.向東走B.向南走6C.向西走6加1D.向北走66〃

分析：根據(jù)向西與向東是一對(duì)具有相反意義的量即可作出判斷.

【解答】解:如果向西走3km，記作+3km,那么-6km表示向東走6km.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)?性，明確什么

是一對(duì)具有相反意義的量.在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一

個(gè)就用負(fù)表示

二.有理數(shù)（共1小題）

2.（真題?靖江市月考）下列各數(shù)：-工，1.010010001,0,-7T,-2.626626662…（每?jī)?/p>

4

個(gè)2之間多一個(gè)6）,0.1222…，其中有理數(shù)有4個(gè).

分析：根據(jù)有理數(shù)的定義逐一判斷即可.

【解答】解：下列各數(shù)：-工，1.010010001,0,-11,-2.626626662…（每?jī)蓚€(gè)2之間

4

多一個(gè)6）,0.1222-,其中有理數(shù)有-工，1.010010001,0,0.1222-,共4個(gè).

4

故答案為:4.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳了有理數(shù)，關(guān)健是掌握有理數(shù)的分類.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).

三.數(shù)軸（共1小題）

3.（真題?鎮(zhèn)江期末）數(shù)地上點(diǎn)A表示的數(shù)是-4,將點(diǎn)A在數(shù)軸上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到

點(diǎn)B.則點(diǎn)B表示的數(shù)是I或-9.

分析：數(shù)軸上點(diǎn)的平移，根據(jù)左減右加的方法，即可得出答案.

【解答】解：如果向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，則-4+5=1,

如果向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，則-4-5=-9,

故答案為：I或-9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)平移法則，理解左減右加是解題關(guān)鍵.

四.相反數(shù)（共1小題）

4.（2023?寶山區(qū)模擬）2022的相反數(shù)是-2022.

分析：直接利用只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，即可得出答案.

【解答】解：2022的相反數(shù)是：-2022.

故答案為：-2022.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

五.絕對(duì)值（共1小題）

5.（真題?無錫期末）-3.6的絕對(duì)值是3.6.

分析：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：-3.6的絕對(duì)值是3.6,

故答案為：3.6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值，掌握負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

六.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值（共1小題）

6.（2023春?東臺(tái)市期中）|x-2|+9有最小值為9.

分析：根據(jù)絕對(duì)值的#負(fù)性即可得出答案.

【解答】解：V|x-2|>0,

?W2|+929,

，僅?2|+9有最小值為9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，掌握同?0是解題的關(guān)鍵.

七.倒數(shù)（共1小題）

7.（2023?南京一模）』的倒數(shù)是3；』的相反數(shù)是-工.

333—

分析：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)；只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，根據(jù)定義直

接得出答案.

【解答】解：工的倒數(shù)是3；2的相反數(shù)是-2.

333

故答案為：3；-—.

3

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了倒數(shù)、相反數(shù)，掌握倒數(shù)、相反數(shù)的定義是本題的關(guān)鍵，是一道基

礎(chǔ)題.

A.有理數(shù)的加法(共1小題)

8.(2023?鎮(zhèn)江一模)(-7)+7=0.

分析：根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0即可得出答案.

【解答】解：(-7)+7=0,

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為。是解題的關(guān)禳.

九.有理數(shù)的減法(共1小題)

9.(真題?射陽縣校級(jí)期末)比。小4的數(shù)是-4.

分析：根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的減法法貝！計(jì)算即可.有理數(shù)減法法則：減去

一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

【解答】解：比0小4的數(shù)是：0-4=-4.

故答案為：?4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的減法，掌握有理數(shù)的減法法則是解答本題的關(guān)鍵.

一十.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算(共1小題)

10.(真題?文山市期末)檢修工乘汽車沿東西方向檢修電路，規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，

某天檢修工從A地出發(fā)，到收工時(shí)行程記錄為(單位：千米)

+8,-9,+4,-7,-2,-10,+11,-3,+7,-5；

(1)收工時(shí)，檢修工在A地的哪邊？距A地多遠(yuǎn)？

(2)若每千米耗油0.3升，從A地出發(fā)到收工時(shí)，頭耗油多少升？

分析：(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，將各個(gè)數(shù)據(jù)相加看最后的結(jié)果，即可解答本題；

(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)將它們的絕對(duì)值相加，然后其以0.3即可解答本題.

【解答】解：(1)(+8)+(?9)+(+4)+(-7)+(-2)+(-10)+(+11)+(-

3)+(+7)+(-5)

=8-9+4-7-2-10+11-3+7-5=8+4+11+7-9-7-2-10-3-5=30-36=-6(千

米)，

答：收工時(shí)，檢修工在A地的西邊，距A地6千米；

(2)|+8|+|-9|+|+4|+|-7|+|-2|+|-10H+11|+|-3|+|+7|+|-5|

8+94-4+7+2+10+11+3+7+5=66（千米）

66X0.3=19.8（升）

答：從A地出發(fā)到收工時(shí)，共耗油19.8升.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確正數(shù)和負(fù)數(shù)在題目中的實(shí)際含義.

一十一.有理數(shù)的乘法（共1小題）

II.（真題?東城區(qū)校級(jí)期中）（2-』十上）X（-36）

9418

分析：運(yùn)用乘法分配律計(jì)算.

【解答】解：（2-?1+」_）X（-36）,

9418

=-8+9-2,

=-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用乘法分配律計(jì)算.

一十二.有理數(shù)的除法（共1小題）

12.（2023秋?仁壽縣校級(jí)期中）（-81）（-16）

49

分析：根據(jù)有理數(shù)的混合計(jì)算解答即可.

【解答】解：（-81）（-16）

49

=81X4-^-X4-^X1^

9916

=1

【點(diǎn)評(píng)】此題考查有理數(shù)的混合計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)的混合計(jì)算順序解答.

一十三.有理數(shù)的乘方（共1小題）

13.（2023春?姜堰區(qū)期中）計(jì)算：42〃?（-_1）2"+1=?_1（〃為正整數(shù)）.

4—4一

分析：利用哥的乘方公式、同底數(shù)曙的除法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：42n-（-1）2f,+l

4

-42〃.（-1）

42nH

—_-<2n+l>

=-4

_——_1

4

故答案為：

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是累的乘方和同底數(shù)某的乘法，關(guān)鍵是熟練掌握兩種法則.

一十四.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方(共1小題)

14.(真題?射陽縣校級(jí)期末)已知|a-3|+(力+2)2=0,則a+b=I.

分析：根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出4、》的值，代入所求代數(shù)式計(jì)

算即可.

【解答】解：:I。-3|+(。+2)2=0,而3|20,"+2)2》。，

*.a-3=0,人+2=0,

解得a=3,b=-2,

q+〃=3-2=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

一十五.有理數(shù)的混合運(yùn)算(共1小題)

15.(2023?通州區(qū)校級(jí)開學(xué))計(jì)算題：

(1)24+(-14)+(-16)+8；

(2)0.25X(-2)3-[4+(-2)2+1].

3

分析：(1)根據(jù)交換律和結(jié)合律可以解答本題；

(2)先算乘方，再算乘除法，最后算加減法即可.

【解答】解：(1)24+(-14)+(-16)+8

=(24+8)+[(-14)+(-16)]

=32+(-30)

=2；

(2)0.25X(-2)3-[4+(-2)2+lJ

3

=0.25X(-8)-(44-A+1)

9

=(-2)-(4x9+1)

4

=(-2)-(9+1)

=(-2)-10

=-12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

一十六.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)(共1小題)

16.(2023?江陰市模擬)2021年3月23日下午，“天宮課堂”時(shí)隔3個(gè)月后再度