3.1.5空間向量的數(shù)量積

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握空間向量的夾角及空間向量數(shù)量積的概念2掌握空間向量的運(yùn)算律

及其坐標(biāo)運(yùn)算.3.掌握空間向量數(shù)量積的應(yīng)用.

知識(shí)楂理?

1.兩向量的夾角

如圖所示,a,b是空間兩個(gè)非零向量，過空間任意一點(diǎn)0,作麗=從則

叫做向量。與向量。的夾角，記作.

如果〈0,b}=2?那么向量。，b?記作.

2.數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量。，〃，則叫做向量。，5的數(shù)量積，記作。￡

即ab=.

零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

特別地，a-fl=|a|-|<z|cos{a,a)=.

3.數(shù)量積的運(yùn)算律

空間向量的數(shù)量枳滿足如下的運(yùn)算律：

(/M)'b=A(a-h)(2GR)；a-h

=b，a；o?(5+c)=a?力+“c

4.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

若a=(a]，a、a],b=(b,b]bg則

(1)a，b=；

(2)a_Lboo:

(3)|a|=\[a^a=；

(4)C0S(a,b>==____________________________________

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、填空題

1.若〃，)均為非零向量，則。力=|M制是〃與》共線的條件.

2.已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么|0+35|=.

3.已知向量a=(0,—1,1),8=(4,1,0),以。+“=\/29且2>0,則2=.

4.若a、b、c為任意向量，下列命題是真命題的是.(寫出所有符合要求的序號(hào))

①若同=回，則a=b；

②若ab=ac,則b=c；

?(a'byc=[h-c)'a={cayb\

④若悶=避回，且。與b夾角為45。,則

5.已知向量”=(2,-3,0),8=(k,0,3)一4與b成！20。角，則k=_____

6.設(shè)0(1,2,3)(2,1,2)(1,1,2),點(diǎn)。在直線OP上運(yùn)

為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量。4=,08=,OP=

---?

動(dòng)，則當(dāng)QAQB取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________.

kH配31備幽而純|器出"〃一呀則的摩

，且。與〃的夾角為3，則

二、解答題

9.

如圖，己知在空間四邊形Q48C中，OB=()C,A8=AC求證：OAA.BC.

10.在正四面體ABC/)中，棱長(zhǎng)為a,M、N分別是棱AB.CO上的點(diǎn)，且MB=2AM,

1

CN=2^D,求MN.

【能力提升】

11.

如圖所示，已知線段A6在平面?內(nèi)，線段AC_La,線段BD上AB,且AB=7,AC=BD

=24,線段B。與a所成的角為30°,求CO的長(zhǎng).

12.在直三棱柱A8C-A8C中，AC=BC=A,ZBC4=90°.A4=2,并取八8、AA

1i111ii

的中點(diǎn)側(cè)為P、Q.

(1)求BQ的長(zhǎng)工一

(2)求COSCOS-—-――—

(BQ,C8),〈B4[,CBi>,并比較(BQ,CBi)與〈84，的大

小；

(3)一二.

求證：/W/J_C[P

@反思感悟

1.數(shù)量積可以利用基底或坐標(biāo)兩種形式進(jìn)行運(yùn)算.選擇基底時(shí)，應(yīng)注意三個(gè)基向量的

長(zhǎng)度，兩兩之間的夾角應(yīng)該是確定的；當(dāng)所選基向量?jī)蓛苫ハ啻怪睍r(shí)，用坐標(biāo)運(yùn)算更為方

便.

2.利用數(shù)量積可.以求向量的長(zhǎng)度和向量的夾角.

3.1.5空間向量的數(shù)量積

知識(shí)梳理

1.ZAOB(a,b)互相垂直aA-b

2.|a則cos〈。，b)|a||/>|cos(a,b}|<z|2

4.⑴ab+a2b2+83%(2)a,b=bab+ab+ab=0(3)^324-324-32

(4aM卜誦十砧

⑷⑸。否+及+2氫/4+終+”

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.充分不必要

解析a?力=|a||5|cos<。，b)=|MI〃COS{a,b)=1(a,b)=0,但當(dāng)a與力反向

時(shí)，不能成立.

2.V13

解析???|。+3引2=(。+3田2=“2+6。力+9。2

=1+6-cos600+9=13.，|a+3〃=旗

3.3

解析???。=(0,-1,1),力=(4,1,0),

???〃+)=(4,1一九A).

V|za+Z>|=V29,/.16+(1-2)2+22=29.

???/1=3或A=-2.?.N>0,.*.2=3.

4.④

解析兩個(gè)向量的等吩條件是模長(zhǎng)相等且方向相同，

故命題①錯(cuò)；

a-b=\a\-\h\cos〈0,岳，而ap=|〃Hckcos(a,c),

于是由ah=ac推出的是向COS<a,h}=|c|-cos(a,c),故命題②錯(cuò)；向量的數(shù)量積

運(yùn)算不滿足結(jié)合律，

故命題③錯(cuò)：(。一協(xié)力=〃6-62=62—力2=0,故命題④正確.

5.-V39

解析cos0栓T薪|=/端+.=一當(dāng)?shù)萌适慨a(chǎn)又癡，所以k=-/9?

a448

.(3，3，3)

解析設(shè)。(九九以)-.一(1一九2一;I,3-2；.)-(2-2,1-z,2-2Z)=6；2-16；.

,則Q4QB=

+10-4448

,當(dāng)QAQB取最小值時(shí)，)=3,所以Q(3,3,3)。

7.60°

解析由(a+3??(7a-5b一0,

(a—4。>(74-2))=0,

得7〃2+16。山一15爐=0,7。2—30。協(xié)+8爐=0,

解得壯=爐，b2=2ab,

a-b1

???(a,b)=60°.

8幣

解析|a+引=，。2+20山+步

9.證明*：OB=OC,AB=AC,OA=OA,

???△OACg/XOAB.

/.ZAOC=ZAOB.

v5ABC=OA(dc-OB)

=OAOC-OAOB

=\dA\\dc\cosZAOC-\dA\\dB\'COsZAOB=Q,

：.OALBC.

10.

解如圖所示，\AB\=\AC\=\AD\=a,把題中所用到的量都用向量嬴、AC.俞表示,

于是加=凝+反'+詼

2—f-1一一1-*1-*2-*

=^\B+(AC-AB)+jAD~AC)=~$3+$C.

又啟壽=而啟=元?病

11

=|AQ|2cos601。=2H。2G。2,

1一1一1

:.MN?MN—-8+—。+

33

(-1屆］濟(jì)4可、

333

工一擇二二,二4—11145

=9A^2-9AD-/\B-g4BAC+9AC-

..■■5

故|MN|=QL7TO『

,即MN=

11.

解由AC_La,可知AC_LA3,

過點(diǎn)。作。q_La,。［為垂足，

連結(jié)BD1,則ND嗎由BD與。所成的角，即/￡>8。1=30°,

AZBDD=60°,

VAC±a,00rLa,

."C〃叫

------?---?----

(CA,DB〉=60°.，(CA,BD)=120°.

又CO=C4+/W+B。，

I2———2

CD\=(CA~\~AB+BD)

---?-------?------?---?---?---

=匕4|￥|A4|平出〃|、2CA?A4+2cA?4。+24及4〃.

VBDIAfi,ACVAB,

：.BD-AB=Q,ACAB=Q.

故|2-AAA-

CD\=|CA『+|A8|由BD|第2C4BD

=242+72+242+2X24X24Xcos120°=625,

(1)解以。為原點(diǎn)。，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。刀2,則由已知，得C(0,0,0),

4(1,0Q),4(0,1,0),

C(0,0,2),%v2。

C(1,0,1)，到0,1,2),

A|(1,0,2).

???麗=(1,-1,1),CF^(0,1,2),

BA=(1,-1,2),A&=(T，1,2)，