專題11立體幾何垂直歸類目錄TOC\o"11"\h\u【題型一】線線垂直 1【題型二】線面垂直 4【題型三】面面垂直 7【題型四】翻折1：線線垂直 9【題型五】翻折2：線面垂直 12【題型六】翻折3： 14【題型七】垂直探索性型 17【題型八】垂直應用1：線面角 19【題型九】垂直應用2：二面角 23【題型十】垂直應用3：點到面的距離 25培優(yōu)第一階——基礎過關練 28培優(yōu)第二階——能力提升練 32培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 36【題型一】線線垂直【典例分析】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF=．求證：AD⊥BC．【答案】證明見解析【分析】通過平移后再解三角形即可獲得證明.【詳解】證明：如圖所示，取BD的中點H，連接EH，F(xiàn)H．因為E是AB的中點，且AD=2，所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，F(xiàn)H=1．所以∠EHF(或其補角)是異面直線AD，BC所成的角．因為EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，所以∠EHF=90°，即AD與BC所成的角是90°，所以AD⊥BC．【提分秘籍】基本規(guī)律線線垂直方法1：利用平行關系，把兩條要證的直線平移在一個平面內(nèi)，計算勾股定理證明垂直轉化為證明線面垂直。證明一條線垂直于另外一條線所在的某個平面。【變式訓練】【答案】（1）證明見解析；（2）.（1）求與所成角的大小；【答案】（1）（2）證明見解析從而與所成的角為與所成的角，故與所成的角為.【題型二】線面垂直【典例分析】【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）連接與相交于M，則M為的中點.連接MD，【提分秘籍】基本規(guī)律線面垂直定義法：證明一條直線垂直于一個平面的兩條相交直線。面面垂直性質法：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直【變式訓練】(2)求點D到平面ABE的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)設點D到平面ABE的距離為d，所以點D到平面ABE的距離為．(2)求三棱錐BDEF的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【題型三】面面垂直【典例分析】如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F(xiàn)，G分別是CD，DA，AC的中點，求證：平面BEF⊥平面BGD．【答案】證明見解析【分析】利用線面垂直即可證明得到面面垂直.【詳解】連接，，∵AB＝BC，G為AC中點，所以AC⊥BG，又由CD＝DA，同理可證AC⊥DG，又∵BG∩DG＝G，BG，DG平面BGD∴AC⊥平面BGD．∵E，F(xiàn)分別為CD，DA的中點，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．又∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．【提分秘籍】基本規(guī)律面面垂直證明：定義法：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．【變式訓練】（2）作出輔助線，轉化為兩個三棱錐，分別求出這兩個三棱錐的體積，相加即可【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用面面垂直的性質定理即可；【題型四】翻折1：線線垂直【典例分析】【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，再利用線面垂直及平行關系證明線線垂直；（2）通過線面垂直找到三棱錐的高，建立錐體體積函數(shù)，利用導數(shù)法求最值即可.【變式訓練】(2)在圖2中，當三棱錐ABCD的體積取最大值時，求三棱錐AMDE的體積．【答案】(1)證明見解析(2)(2)求點到平面的距離.【分析】（1）根據(jù)圖中的幾何關系，利用面面平行證明線面垂直，再證明線線垂直；（2）運用等體積法求解.【詳解】（1）【題型五】翻折2：線面垂直【典例分析】【答案】證明見解析【變式訓練】【答案】(1)3(2)證明見解析【題型六】翻折3：面面垂直【典例分析】【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）由折疊后位置關系不變得到線線垂直，證明線面垂直，面面垂直；【詳解】（1）因為⊥，所以折疊后⊥，⊥，【變式訓練】【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股逆定理定理和線面垂直判定以及面面垂直判定即可求解；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式和幾何體的體積差即可求解.【詳解】（1）【題型七】垂直探索性型【典例分析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可求解.（2）利用線面垂直的性質定理即可求解.又為棱上靠近的三等分點，為棱上靠近的三等分點.【變式訓練】(1)(2)【題型八】垂直應用1：線面角【典例分析】【提分秘籍】基本規(guī)律線面角：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；【變式訓練】【答案】(1)證明見解析(2)E是線段PC上靠近點P的三等分點；理由見解析（1）連接交于，連接，（2）∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAB，∴平面PAB⊥底面ABCD，且它們的交線是AB，在底面ABCD內(nèi)，過點C作CF⊥AB，垂足為點F，則：CF⊥平面PAB，故是線段上靠近點的三等分點．【題型九】垂直應用2：二面角【典例分析】【答案】(1)見解析(2)存在，為的中點，即此時為的中點，【提分秘籍】基本規(guī)律計算二面角，常用方法2.定義法：在棱上任一點，分別在兩個半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角【變式訓練】【答案】（1）證明見解析；（2）2．【題型十】垂直應用3：點到面的距離【典例分析】為的中點，如圖2．【詳解】證明：（1）取線段的中點為，連接，，

【變式訓練】【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎過關練【答案】證明見解析2．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（2）連接,如圖所示:【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用直線和平面平行的判定定理即可證明；（2）利用平面和平面垂直的判定定理即可證明；(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用線面垂直的的判定定理證明即可；（2）利用線面垂直證明線線垂直.【詳解】（1）連接,∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，又∵G為AD的中點，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.（2）如圖，∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD.由（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.5．如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求證：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G為垂足，求證：AG⊥BD．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.培優(yōu)第二階——能力提升練【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）取的中點，連接，【答案】(1)證明見解析(2)(3)（2）根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案;【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)又E，F(xiàn)分別為，的中點，【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）取CD中點O，連接PO，AO，BO，證明（2）設AO與BD交與M點，連接，【答案】證明見解析培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練【答案】(1)證明見解析（2）取中點，中點，連接，，，2．如圖，四面體ABCD的頂點都在以AB為直徑的球面上，底面BCD是邊長為的等邊三角形，球心O到底面的距離為1．(1)求球O的表面積；【答案】(1)【點睛】思路點睛：求二面角的常用思路：（1）利用二面角平面角的定義，在二面角的棱上選取特殊點，分別在兩個面內(nèi)作棱的垂線，找到平面角，然后解三角形得解；（2）建立空間