2.3.1全稱量詞命題與存在量詞命題1.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義．2.能正確地利用全稱量詞與存在量詞表達(dá)數(shù)學(xué)對象．活動(dòng)一理解全稱量詞與存在量詞的概念思考1???下列語句中用到了“任意”“存在”“有的”等詞，它們表示什么含義？(1)對任意實(shí)數(shù)x，都有x2≥0；(2)存在有理數(shù)x，使x2－2＝0；(3)有的矩形是菱形；(4)所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；(5)有一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)．思考2???以上五個(gè)語句可以分成幾類？每一類有什么特征？思考3???常見的量詞有哪些？思考4???用符號表示思考1中語句(1)(2)(3).全稱量詞所有、任意、一切、每一個(gè)、任意一個(gè)數(shù)學(xué)符號?x全稱量詞命題含有全稱量詞的命題一般形式?x∈M，p(x)存在量詞存在、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的數(shù)學(xué)符號?x存在量詞命題含有存在量詞的命題一般形式?x∈M，p(x)活動(dòng)二掌握全稱量詞與存在量詞的簡單應(yīng)用例1用全稱量詞與存在量詞表示下列語句：(1)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式；(2)n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)×180°；(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使eq\f(1,x－1)＝0；(4)有的正數(shù)比它的倒數(shù)小．活動(dòng)三全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷例2判斷下列命題的真假：(1)?x∈R，x2>x；(2)?x∈R，x2>x；(3)?x∈Q，x2－8＝0；(4)?x∈R，x2＋2>0.指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假．(1)?x∈N，2x＋1是奇數(shù)；(2)?x，y為正實(shí)數(shù)，使x2＋y2＝0；(3)對任意實(shí)數(shù)a，|a|＞0；(4)存在一個(gè)角α，使sinα＝eq\f(1,2).思考5???如何判斷存在量詞命題和全稱量詞命題的真假？思考6???給定的集合對存在量詞命題、全稱量詞命題的真假有沒有影響？試舉例說明．

活動(dòng)四掌握量詞的綜合應(yīng)用例3已知命題p：“?x∈[1，2]，x2－a≥0”與命題q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．例4(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式m＋(x2－2x＋5)＞0對于任意x∈R恒成立，并說明理由；(2)若存在實(shí)數(shù)x，使不等式m－(x2－2x＋5)＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．1.(2024南陽方城一中開學(xué)考試)下列命題中，是全稱量詞命題的是()A.存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)B.每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°C.至少有一個(gè)整數(shù)x，使得x2＋3x是質(zhì)數(shù)D.存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2＝x2.(2024項(xiàng)城第一高級中學(xué)月考)已知命題p：?x∈R，x2＋4x＋a＝0，若p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0，4)B.(－∞，4]C.(－∞，0)D.[4，＋∞)3.(多選)(2024鹽城期中)下列命題中，是真命題的有()A.?x∈R，x2<xB.?x∈R，x2<xC.?x∈Q，x2－3＝0D.?x∈R，x2＋1>04.若命題p：“?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．5.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假．(1)兩個(gè)偶數(shù)一定有公約數(shù)；(2)實(shí)數(shù)的平方和大于0；(3)有一個(gè)實(shí)數(shù)，它的任何正整數(shù)次冪為0；(4)兩個(gè)負(fù)數(shù)的乘積為正數(shù)．

2.3.1全稱量詞命題與存在量詞命題【活動(dòng)方案】思考1：語句(1)使用了“任意”，表示對每一個(gè)實(shí)數(shù)x，必定有“x2≥0”，即沒有使“x2≥0”不成立的實(shí)數(shù)x存在．語句(2)使用了“存在”，表示至少可以找到一個(gè)有理數(shù)x，使“x2－2＝0”成立．語句(3)使用了“有的”，表示可以找到一個(gè)矩形，它是菱形．語句(4)使用了“所有”，表示每一個(gè)質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)．語句(5)使用了“有一個(gè)”，表示可以找到一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)．思考2：以上五個(gè)語句可分為兩類．表示的量詞不同，分別是“任意”“存在”“有的”“所有”“有一個(gè)”．“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的詞在邏輯學(xué)中稱為全稱量詞，通常用符號“?x”表示“對任意x”．“存在”“有的”“有一個(gè)”等表示部分或個(gè)體的詞在邏輯學(xué)中稱為存在量詞，通常用符號“?x”表示“存在x”．思考3：“所有”“任意”“每一個(gè)”“有些”“存在”“有的”“有一個(gè)”等．思考4：(1)?x∈R，x2≥0.(2)?x∈Q，x2－2＝0.(3)?x∈{x|x是矩形}，x是菱形．例1(1)?x∈Q，x能寫成分?jǐn)?shù)形式．(2)?x∈{x|x是n邊形}，x的內(nèi)角和為(n－2)×180°.(3)?x∈R，eq\f(1,x－1)＝0.(4)?x∈(0，＋∞)，x＜eq\f(1,x).例2(1)因?yàn)楫?dāng)x＝2時(shí)，x2>x成立，所以“?x∈R，x2>x”是真命題．(2)因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，x2>x不成立，所以“?x∈R，x2>x”是假命題．(3)因?yàn)槭箈2－8＝0成立的x的值只有x＝2eq\r(2)與x＝－2eq\r(2)，但它們都不是有理數(shù)，所以“?x∈Q，x2－8＝0”是假命題．(4)因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，都有x2＋2>0成立，所以“?x∈R，x2＋2>0”是真命題．跟蹤訓(xùn)練(1)是全稱量詞命題．因?yàn)?x∈N，2x＋1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題．(2)是存在量詞命題．因?yàn)楫?dāng)x2＋y2＝0時(shí)，x＝y(tǒng)＝0，所以不存在x，y為正實(shí)數(shù)，使x2＋y2＝0，所以該命題是假命題．(3)是全稱量詞命題．因?yàn)閨0|＝0，所以對任意實(shí)數(shù)a，|a|＞0不都成立，所以該命題是假命題．(4)是存在量詞命題．因?yàn)楫?dāng)α＝30°時(shí)，sinα＝eq\f(1,2)，所以該命題是真命題．思考5：要判定一個(gè)存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素，使命題為真，否則命題為假．要判定一個(gè)全稱量詞命題為真，必須對給定的集合中的每一個(gè)元素，命題都為真；但要判定一個(gè)全稱量詞命題為假，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素，使命題為假．思考6：有影響．例如“?x∈R，x2>x”是真命題，但“?x∈(0，1)，x2>x”是假命題．“?x∈R，x2>x”是假命題，但“?x∈(1，＋∞)，x2>x”是真命題．例3(－∞，－2]∪{1}因?yàn)槊}p是真命題，所以f(x)＝x2－a在區(qū)間[1，2]上的最小值也大于等于0，即a≤1.因?yàn)?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0是真命題，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.綜上所述，a≤－2或a＝1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪{1}．例4(1)不等式可化為m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m＞－4.故存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)m>－4時(shí)，不等式m＋(x2－2x＋5)>0，對于任意x∈R恒成立．(2)原式可化為m＞x2－2x＋5，若存在實(shí)數(shù)x使不等式m＞x2－2x＋5成立，則m＞(x2－2x＋5)min.又x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，所以m＞4，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞).【檢測反饋】1.B由題意，得A，C，D中的命題均為存在量詞命題；B中的命題是全稱量詞命題．2.B由p是真命題，得Δ＝16－4a≥0，解得a≤4，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，4].3.AD對于A，B，當(dāng)0<x<1時(shí)，x2<x，故A正確，B錯(cuò)誤；對于C，由x2－3＝0，解得x＝±eq\r(3)，所以不存在x∈Q，使得x2－3＝0，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)閤2≥