2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上大單元分層優(yōu)化練21.1一元二次方程（基礎(chǔ)練+提升練+拓展練+達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（解析版）知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的定義1.一元二次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。2.概念解析：一元二次方程滿(mǎn)足三個(gè)條件：（1）只含一個(gè)未知數(shù)，（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2（3）整式方程.例11.下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（

）A.x2﹣x（x+3）＝0 B.ax2+bx+c＝0C.x2﹣2x﹣3＝0 D.x2﹣2y﹣1＝0解題通法：判斷一個(gè)方程是否一元二次方程抓住五個(gè)方面：①“化簡(jiǎn)后”②一個(gè)未知數(shù)③未知數(shù)最高次數(shù)是2④二次項(xiàng)系數(shù)不為0⑤整式方程【答案】C【解析】一元二次方程必須滿(mǎn)足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿(mǎn)足這四個(gè)條件者為正確答案．解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化簡(jiǎn)后為﹣3x＝0，不是關(guān)于x的一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；B、ax2+bx+c＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，不是關(guān)于x的一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；C、x2﹣2x﹣3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；D、x2﹣2y﹣1＝0含有2個(gè)未知數(shù)，不是關(guān)于x的一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．例12.關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，則m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1解題通法：緊扣兩個(gè)點(diǎn)：①最高次數(shù)是2，②二次項(xiàng)系數(shù)不為0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，∴|m|+1＝2且m+1≠0，解得m＝1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式11】下列方程中,是關(guān)于x的一元二次方程的是().答案：C故選：C.【變式12】．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是()答案：B故選：B.答案：0故答案為：0.【變式14】．下面是一道作業(yè)題，請(qǐng)仔細(xì)閱讀甲、乙兩個(gè)學(xué)生的答案，判斷誰(shuí)的答案正確.若都不正確，請(qǐng)給出正確的解答過(guò)程.解析：都不正確.知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：概念解析：一元二次方程經(jīng)過(guò)整理后化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，叫做一元二次方程的一般形式a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)注意：a≠0例2.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（1）2x2=13x（2）5x（x2）=4x23x.解題通法：要確定一元二次方程二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化為一般形式?！窘馕觥恳辉畏匠蘟x2+bx+c=0（a,b,c是常數(shù)且a≠0）的a、b、c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．解：（1）2x2=13x一般形式為2x2+3x1=0，二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為3，常數(shù)項(xiàng)為1；（2）5x（x2）=4x23x.一般形式為x27x=0，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為7，常數(shù)項(xiàng)為0．【變式21】1．將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：答案：見(jiàn)解析則可知一次項(xiàng)系數(shù)為5，二次項(xiàng)系數(shù)為3，知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解1.一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值，叫一元二次方程的解。也叫方程的根。2.概念解析：一元二次方程如果有實(shí)數(shù)解，一定有兩個(gè)，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，一定有ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0成立.，可利用這兩個(gè)等式求未知量。例31.若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9解題通法：已知某個(gè)值是方程的解求參數(shù)把這個(gè)值代入方程即可，判斷某個(gè)值是否方程的解，分別代入方程左邊、右邊，左右兩邊值相等即為方程的解。【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將﹣1代入關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到關(guān)于k的方程求解，再根據(jù)一元二次方程定義確定k值即可得到答案．【解答】解：由題意得：把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，解得：k＝±3，∵k﹣3≠0，∴k≠3，∴k＝﹣3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．A. B. C.5 D.7答案：C故選：C答案：D故選：D.A.1,3 B.1, C.,3 D.,答案：B∴該方程的根是1,,故選：B.x1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.990.860.710.540.350.140.090.340.61A.0.09 B.1.1 C.1.6 D.1.7答案：D故選D.知識(shí)點(diǎn)4根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程1.審題

明確已知量與未知量，識(shí)別題目中的等量關(guān)系。這是解題的基礎(chǔ)，需仔細(xì)分析題目條件，避免遺漏關(guān)鍵信息。2.設(shè)元直接設(shè)

：直接設(shè)未知數(shù)為題目所問(wèn)的量（如增長(zhǎng)率、面積等）。間接設(shè)

：當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)復(fù)雜時(shí)，通過(guò)引入輔助變量間接求解。3.列方程

根據(jù)等量關(guān)系建立一元二次方程。需注意單位統(tǒng)一，方程兩邊代數(shù)式需對(duì)應(yīng)同一類(lèi)量。例4．第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年2月7日至2月14日在黑龍江哈爾濱舉行.在亞冬會(huì)到來(lái)之際，某校組織了一次旱地冰球比賽，比賽采用雙循環(huán)制（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），共進(jìn)行了30場(chǎng)比賽.設(shè)該校有x個(gè)隊(duì)參賽，則根據(jù)題意可列方程為_(kāi)__________.解題通法：審題

：明確已知量與未知量，識(shí)別題目中的等量關(guān)系。這是解題的基礎(chǔ)，需仔細(xì)分析題目條件，避免遺漏關(guān)鍵信息。設(shè)元：表示題目中的未知量3.列方程：根據(jù)等量關(guān)系建立一元二次方程。答案：B【變式42】．．某地區(qū)居民2018年年人均收入為200美元,預(yù)計(jì)2020年年人均收入將達(dá)到1000美元,設(shè)2018年到2020年該地區(qū)居民人均收入平均年增長(zhǎng)率為x,可列方程為()答案：B∵2020年收入為1000美元故選：B.【變式43】．．“鳳鳴”文學(xué)社在學(xué)校舉行的圖書(shū)共享儀式上互贈(zèng)圖書(shū)，每名同學(xué)都把自己的圖書(shū)向本組其他成員贈(zèng)送一本，某組共互贈(zèng)了210本圖書(shū)，如果設(shè)該組共有x名同學(xué)，那么依題意可列出的方程是（）答案：B1、辯易錯(cuò)：忽視一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0出錯(cuò)例5.若關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常數(shù)項(xiàng)為0．求m的值．【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），a、b、c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：由題意，得：m2﹣3m﹣4＝0，且m+1≠0，解得m＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．【變式51】．關(guān)于x的一元二次方程（m3）x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為（）A.0 B.±3 C.3 D.3【答案】D【解析】把原方程化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義、一次項(xiàng)的概念列式計(jì)算即可．解：（m3）x2+m2x=9x+5，（m3）x2+（m29）x5=0，由題意得：m3≠0，m29=0，解得：m=3，故選：D．【變式52】若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個(gè)根為﹣1，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將﹣1代入關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到關(guān)于k的方程求解，再根據(jù)一元二次方程定義確定k值即可得到答案．【解答】解：由題意得：把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，解得：k＝±3，∵k﹣3≠0，∴k≠3，∴k＝﹣3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2.綜合應(yīng)用例6.將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線(xiàn)，記成，定義＝ad﹣bc．上述記法就叫做二階行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程嗎？請(qǐng)寫(xiě)出它的一般形式．【分析】根據(jù)二階行列式計(jì)算方法列出方程．【解答】解：根據(jù)題意，得：（x+1）?2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，即：x2+2x﹣18＝0，它符合一元二次方程的定義．【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的一般形式，有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握新定義運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．答案：A.2026 B.2025 C.2023 D.2022答案：D【變式63】．（1）觀察下表中每個(gè)方程的解的特點(diǎn)：方程方程的解方程方程的解…………（2）請(qǐng)證明你的猜想.（提示：采用“換元法”）（2）證明見(jiàn)解析已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一個(gè)解，則a22019a+8080a+4的值為（）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2020a+4＝0，變形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：由題意得：a2﹣2020a+4＝0，∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，∴原式＝2020a﹣4﹣2019a+80802020a＝a4+4a＝+6＝+6＝2026．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是關(guān)鍵．達(dá)標(biāo)檢測(cè) 一、選擇題（每小題3分，共24分）1．下列方程中,是關(guān)于x的一元二次方程的是().答案：C故選：C.A.1 B.2 C.3 D.5答案：A二次項(xiàng)系數(shù)為1，故A正確.故選：A.A.1,3 B.1, C.,3 D.,答案：B∴該方程的根是1,,故選：B.4．為解決群眾看病貴的問(wèn)題，有關(guān)部門(mén)決定降低藥價(jià).某種藥品原價(jià)為元，在連續(xù)進(jìn)行兩次降價(jià)后價(jià)格調(diào)整為元.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程正確的是()答案：C解析：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得：故選：C.A. B.0 C.或2 D.2答案：D故選：D答案：C故選：C.x101234y75151323答案：D故選：D.A.的長(zhǎng) B.的長(zhǎng) C.的長(zhǎng) D.的長(zhǎng)答案：C二、填空題（每小題4分，共20分）答案：故答案為：.答案：5答案：3其一個(gè)實(shí)數(shù)根為4，故答案為：3.答案：等腰三、解答題（共7小題，每小題8分，共56分）答案：有道理.理由見(jiàn)解析（1）答案：4該方程的中點(diǎn)值為4.（2）答案：48該方程的中點(diǎn)值為3，16．閱讀與思考：下面是小華求一元二次方程的近似解的過(guò)程.他想知道剪去的邊長(zhǎng)到底是多少，下面是他的探索過(guò)程.探索方程的解：第一步：x012179第二步：x1.51.61.71.80.750.36（1）請(qǐng)你幫助小華完成表格中未完成的部分，并寫(xiě)出x的范圍；（2）通過(guò)以上探索，請(qǐng)直接估計(jì)出x