2025年下半年精算師職業(yè)資格考試[中國精算師]練習(xí)題庫及答案數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊1.已知隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，求\(P(X=2)\)。-答案：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，已知\(\lambda=3\)，\(k=2\)，則\(P(X=2)=\frac{e^{-3}\times3^{2}}{2!}=\frac{9e^{-3}}{2}\approx\frac{9\times0.0498}{2}=0.2241\)。2.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(2,9)\)，求\(Z=2X-Y+3\)的分布。-答案：若\(X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})\)，\(Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(aX+bY+c\simN(a\mu_{1}+b\mu_{2}+c,a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})\)。對于\(Z=2X-Y+3\)，\(a=2\)，\(b=-1\)，\(c=3\)，\(\mu_{1}=1\)，\(\sigma_{1}^{2}=4\)，\(\mu_{2}=2\)，\(\sigma_{2}^{2}=9\)。\(E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2\times1-2+3=3\)，\(D(Z)=2^{2}D(X)+(-1)^{2}D(Y)=4\times4+9=25\)。所以\(Z\simN(3,25)\)。3.已知一組數(shù)據(jù)\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)的均值為\(\overline{x}\)，方差為\(s^{2}\)，若\(y_{i}=ax_{i}+b\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），求\(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\)的均值\(\overline{y}\)和方差\(s_{y}^{2}\)。-答案：\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_{i}+b)=a\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+b=a\overline{x}+b\)。\(s_{y}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(ax_{i}+b)-(a\overline{x}+b)]^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(ax_{i}-a\overline{x})^{2}=a^{2}\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=a^{2}s^{2}\)。金融數(shù)學(xué)模塊1.某債券面值為\(1000\)元，票面利率為\(8\%\)，每年付息一次，期限為\(5\)年，市場利率為\(10\%\)，求該債券的價(jià)格。-答案：債券價(jià)格\(P\)的計(jì)算公式為\(P=C\times\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}+\frac{F}{(1+r)^{n}}\)，其中\(zhòng)(C\)為每年利息支付，\(F\)為債券面值，\(r\)為市場利率，\(n\)為期限。\(C=1000\times8\%=80\)元，\(F=1000\)元，\(r=0.1\)，\(n=5\)。\(P=80\times\frac{1-(1+0.1)^{-5}}{0.1}+\frac{1000}{(1+0.1)^{5}}\)\(=80\times\frac{1-0.620921}{0.1}+\frac{1000}{1.61051}\)\(=80\times3.79079+620.921\)\(=303.2632+620.921\approx924.18\)元。2.假設(shè)連續(xù)復(fù)利的年利率為\(5\%\)，求\(1000\)元在\(3\)年后的終值。-答案：連續(xù)復(fù)利終值公式為\(A=Pe^{rt}\)，其中\(zhòng)(P\)為本金，\(r\)為年利率，\(t\)為時(shí)間。已知\(P=1000\)元，\(r=0.05\)，\(t=3\)，則\(A=1000\timese^{0.05\times3}=1000\timese^{0.15}\approx1000\times1.161834=1161.83\)元。3.一個(gè)投資組合由兩種資產(chǎn)\(A\)和\(B\)組成，資產(chǎn)\(A\)的權(quán)重為\(0.4\)，預(yù)期收益率為\(12\%\)，資產(chǎn)\(B\)的權(quán)重為\(0.6\)，預(yù)期收益率為\(18\%\)，求該投資組合的預(yù)期收益率。-答案：投資組合預(yù)期收益率\(E(R_{p})\)的計(jì)算公式為\(E(R_{p})=w_{A}E(R_{A})+w_{B}E(R_{B})\)，其中\(zhòng)(w_{A}\)、\(w_{B}\)為資產(chǎn)\(A\)、\(B\)的權(quán)重，\(E(R_{A})\)、\(E(R_{B})\)為資產(chǎn)\(A\)、\(B\)的預(yù)期收益率。\(E(R_{p})=0.4\times0.12+0.6\times0.18=0.048+0.108=0.156=15.6\%\)。精算模型模塊1.考慮一個(gè)簡單的壽險(xiǎn)模型，已知被保險(xiǎn)人在\(x\)歲時(shí)的死亡概率\(q_{x}=0.02\)，若有\(zhòng)(1000\)個(gè)\(x\)歲的獨(dú)立被保險(xiǎn)人，求在一年內(nèi)死亡人數(shù)不超過\(25\)人的概率。-答案：設(shè)\(X\)表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，\(X\simB(n,q_{x})\)，其中\(zhòng)(n=1000\)，\(q_{x}=0.02\)。由于\(n\)較大，\(np=1000\times0.02=20\)，\(np(1-p)=1000\times0.02\times0.98=19.6\)，可近似認(rèn)為\(X\simN(np,np(1-p))\)，即\(X\simN(20,19.6)\)。\(P(X\leq25)\approx\Phi(\frac{25-20}{\sqrt{19.6}})=\Phi(\frac{5}{\sqrt{19.6}})\approx\Phi(1.13)\)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得\(\Phi(1.13)=0.8708\)。2.已知某險(xiǎn)種的索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次索賠金額\(X\)服從均值為\(500\)的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨(dú)立，求該險(xiǎn)種的總索賠金額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)的均值和方差。-答案：根據(jù)復(fù)合泊松分布的性質(zhì)，若\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)，其中\(zhòng)(N\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，\(X_{i}\)相互獨(dú)立且與\(X\)同分布，則\(E(S)=\lambdaE(X)\)，\(D(S)=\lambdaE(X^{2})\)。已知\(\lambda=3\)，\(E(X)=500\)，對于指數(shù)分布\(X\)，\(D(X)=\frac{1}{\mu^{2}}\)（\(\mu\)為指數(shù)分布的參數(shù)），\(E(X)=\frac{1}{\mu}=500\)，則\(E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}=\frac{1}{\mu^{2}}+\frac{1}{\mu^{2}}=2\times500^{2}=500000\)。\(E(S)=\lambdaE(X)=3\times500=1500\)，\(D(S)=\lambdaE(X^{2})=3\times500000=1500000\)。3.在一個(gè)生存模型中，已知\(l_{x}=1000(1-\frac{x}{100})\)，\(0\leqx\leq100\)，求\(_{10}p_{30}\)的值。-答案：\(_{t}p_{x}=\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\)，已知\(l_{x}=1000(1-\frac{x}{100})\)，\(x=30\)，\(t=10\)。\(l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=700\)，\(l_{40}=1000(1-\frac{40}{100})=600\)。所以\(_{10}p_{30}=\frac{l_{40}}{l_{30}}=\frac{600}{700}=\frac{6}{7}\approx0.857\)。壽險(xiǎn)精算模塊1.對于一份\(3\)年期的定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為\(10000\)元，被保險(xiǎn)人年齡為\(x\)歲，已知\(q_{x}=0.01\)，\(q_{x+1}=0.02\)，\(q_{x+2}=0.03\)，年利率\(i=0.05\)，求該定期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。-答案：躉繳純保費(fèi)\(P\)的計(jì)算公式為\(P=10000\times(vq_{x}+v^{2}_{1}p_{x}q_{x+1}+v^{3}_{2}p_{x}q_{x+2})\)。其中\(zhòng)(v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}\)，\(_{1}p_{x}=1-q_{x}=0.99\)，\(_{2}p_{x}=(1-q_{x})(1-q_{x+1})=0.99\times0.98=0.9702\)。\(P=10000\times(\frac{0.01}{1.05}+\frac{0.99\times0.02}{1.05^{2}}+\frac{0.9702\times0.03}{1.05^{3}})\)\(=10000\times(\frac{0.01}{1.05}+\frac{0.0198}{1.1025}+\frac{0.029106}{1.157625})\)\(=10000\times(0.009524+0.01796+0.025143)\approx526.27\)元。2.一份終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為\(1\)元，被保險(xiǎn)人年齡為\(x\)歲，已知\(A_{x}=0.3\)，\(\delta=0.05\)，求該終身壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)\(P_{x}\)。-答案：根據(jù)終身壽險(xiǎn)年繳純保費(fèi)公式\(P_{x}=\frac{\deltaA_{x}}{1-A_{x}}\)，已知\(A_{x}=0.3\)，\(\delta=0.05\)。\(P_{x}=\frac{0.05\times0.3}{1-0.3}=\frac{0.015}{0.7}\approx0.0214\)。3.已知一份\(n\)年期生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為\(1\)元，被保險(xiǎn)人年齡為\(x\)歲，\(_{n}p_{x}=0.8\)，年利率\(i=0.04\)，求該生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。-答案：\(n\)年期生存保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)\(P=v^{n}_{n}p_{x}\)，其中\(zhòng)(v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.04}\)。\(P=(\frac{1}{1.04})^{n}\times0.8\)。若\(n\)未給定具體值，答案保留此形式；若\(n\)給定，如\(n=5\)，則\(P=(\frac{1}{1.04})^{5}\times0.8\approx0.65816\times0.8=0.5265\)。非壽險(xiǎn)精算模塊1.某保險(xiǎn)公司承保的汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，已知平均每輛車每年的索賠次數(shù)服從參數(shù)為\(0.2\)的泊松分布，每次索賠的平均金額為\(5000\)元，若該公司承保了\(1000\)輛車，求該公司每年的總索賠金額的均值。-答案：設(shè)每輛車的索賠次數(shù)為\(N_{i}\)，\(N_{i}\simPoisson(0.2)\)，每次索賠金額為\(X_{ij}\)，\(E(X_{ij})=5000\)元。對于一輛車，總索賠金額\(S_{i}=\sum_{j=1}^{N_{i}}X_{ij}\)，根據(jù)復(fù)合泊松分布性質(zhì)，\(E(S_{i})=\lambdaE(X_{ij})\)，這里\(\lambda=0.2\)，\(E(X_{ij})=5000\)，所以\(E(S_{i})=0.2\times5000=1000\)元。對于\(1000\)輛車，總索賠金額\(S=\sum_{i=1}^{1000}S_{i}\)，\(E(S)=1000\timesE(S_{i})=1000\times1000=1000000\)元。2.已知某非壽險(xiǎn)保單的損失額\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布\(\lnX\simN(5,1)\)，若設(shè)置一個(gè)免賠額\(d=100\)，求每次有效索賠的平均金額。-答案：設(shè)\(Y=(X-d)_{+}\)表示有效索賠金額。\(E(Y)=E[(X-d)I(X>d)]\)，其中\(zhòng)(I(X>d)\)是指示函數(shù)。若\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布\(\lnX\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X=e^{Z}\)，\(Z\simN(\mu,\sigma^{2})\)。\(E[(X-d)I(X>d)]=E(XI(X>d))-dP(X>d)\)。\(P(X>d)=1-P(X\leqd)=1-\Phi(\frac{\lnd-\mu}{\sigma})\)，\(E(XI(X>d))=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\Phi(\frac{\sigma^{2}+\mu-\lnd}{\sigma})\)。已知\(\mu=5\)，\(\sigma=1\)，\(d=100\)，\(\lnd=\ln100\approx4.605\)。\(P(X>d)=1-\Phi(\frac{