2026屆浙江省衢州市初三數數學九上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，A，B是反比例函數y=圖象上兩點，AC⊥y軸于C，BD⊥x軸于D，AC＝BD＝OC，S四邊形ABCD＝9，則k值為（）A．8 B．10 C．12 D．1．2．二次函數y=ax1+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，下列結論：（1）4a+b=0；（1）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+1c＞0；（4）若點A（﹣3，y1）、點B（﹣，y1）、點C（7，y3）在該函數圖象上，則y1＜y3＜y1；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的兩根為x1和x1，且x1＜x1，則x1＜﹣1＜5＜x1．其中正確的結論有（）A．1個 B．3個 C．4個 D．5個3．關于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情況，下面判斷正確的是（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．有兩個實數根 D．無實數根4．下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．下列幾何體的左視圖為長方形的是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐標系中，的直徑為10，若圓心為坐標原點，則點與的位置關系是（）A．點在上 B．點在外 C．點在內 D．無法確定7．若一元二次方程有兩個相等的實數根，則m的值是（）A．2 B． C． D．8．如圖，雙曲線的一個分支為（）A．① B．② C．③ D．④9．如果兩個相似三角形的相似比為2：3，那么這兩個三角形的面積比為（）A．2：3 B．： C．4：9 D．9：410．如圖，小正方形邊長均為1，則下列圖形中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是_____．12．已知二次函數，用配方法化為的形式為_________________，這個二次函數圖像的頂點坐標為____________.13．如圖，是一個半徑為6cm，面積為12πcm2的扇形紙片，現(xiàn)需要一個半徑為R的圓形紙片，使兩張紙片剛好能組合成圓錐體，則R等于_____cm．14．=___15．在△ABC和△A'B'C'中，＝＝＝，△ABC的周長是20cm，則△A'B'C的周長是_____．16．小剛身高，測得他站立在陽光下的影子長為，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為，那么小剛舉起的手臂超出頭頂的高度為________．17．從﹣2，﹣1，1，2四個數中任取兩數，分別記為a、b，則關于x的不等式組有解的概率是_____．18．已知y與x的函數滿足下列條件：①它的圖象經過（1，1）點；②當時，y隨x的增大而減?。畬懗鲆粋€符合條件的函數：__________．三、解答題(共66分)19．（10分）已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D（如圖）．（1）求證：AC=BD；（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長．20．（6分）不透明的袋中有四個小球，分別標有數字1、2、3、4，它們除了數字外都相同。第一次從中摸出一個小球，記錄數字后放回袋中，第二次搖勻后再隨機摸出一個小球.（1）求第一次摸出的小球所標數字是偶數的概率；（2）求兩次摸出的小球所標數字相同的概率.21．（6分）（閱讀）輔助線是幾何解題中溝通條件與結論的橋梁．在眾多類型的輔助線中，輔助圓作為一條曲線型輔助線，顯得獨特而隱蔽．性質：如圖①，若，則點在經過，，三點的圓上．（問題解決）運用上述材料中的信息解決以下問題：（1）如圖②，已知．求證：．（2）如圖③，點，位于直線兩側．用尺規(guī)在直線上作出點，使得．（要求：要有畫圖痕跡，不用寫畫法）（3）如圖④，在四邊形中，，，點在的延長線上，連接，．求證：是外接圓的切線．22．（8分）如圖，，點是線段的一個三等分點，以點為圓心，為半徑的圓交于點，交于點，連接(1)求證:是的切線；(2)點為上的一動點，連接.①當時，四邊形是菱形;②當時，四邊形是矩形.23．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，P為AB上一點，且點P不與點A重合，過點P作PE⊥AB交AC邊于E點，點E不與點C重合，若AB＝10，AC＝8，設AP的長為x，四邊形PECB的周長為y，（1）試證明：△AEP∽△ABC；（2）求y與x之間的函數關系式．24．（8分）為了配合全市“創(chuàng)建全國文明城市”活動，某校共1200名學生參加了學校組織的創(chuàng)建全國文明城市知識競賽，擬評出四名一等獎.（1）求每一位同學獲得一等獎的概率；（2）學校對本次競賽獲獎情況進行了統(tǒng)計，其中七、八年級分別有一名同學獲得一等獎，九年級有2名同學獲得一等獎，現(xiàn)從獲得一等獎的同學中任選兩人參加全市決賽，請通過列表或畫樹狀圖的方法，求所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的概率.25．（10分）矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A(6，0)、C(0，3)，直線y=x與BC邊相交于D．（1）求點D的坐標：（2）若拋物線y=ax＋bx經過D、A兩點，試確定此拋物線的表達式：（3）P為x軸上方（2）題中的拋物線上一點，求△POA面積的最大值．26．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉得到△A′B′C，記旋轉角為α，當90°＜α＜180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點E．（1）如圖1，當∠CA′D＝15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC于點F．①寫出旋轉角α的度數；②求證：EA′+EC＝EF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設P是直線A′D上的一個動點，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結果保留根號）

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】分別延長CA、DB，它們相交于E，如圖，設AC＝t，則BD＝t，OC＝5t，根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到k＝OD?t＝t?5t，則OD＝5t，所以B點坐標為（5t，t），于是AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t，再利用S四邊形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB得到?5t?5t﹣?4t?4t＝9，解得t2＝2，然后根據k＝t?5t進行計算．【詳解】解：分別延長CA、DB，它們相交于E，如圖，設AC＝t，則BD＝t，OC＝5t，∵A，B是反比例函數y=圖象上兩點，∴k＝OD?t＝t?5t，∴OD＝5t，∴B點坐標為（5t，t），∴AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t，∵S四邊形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB，∴?5t?5t﹣?4t?4t＝9，∴t2＝2，∴k＝t?5t＝5t2＝5×2＝2．故選：B．本題考查了比例系數k的幾何意義：在反比例函數y＝xk圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．2、B【解析】根據題意和函數的圖像，可知拋物線的對稱軸為直線x=-=1，即b=-4a，變形為4a+b=0，所以（1）正確；由x=-3時，y＞0，可得9a+3b+c＞0，可得9a+c＞-3c，故（1）正確；因為拋物線與x軸的一個交點為(-1,0)可知a-b+c=0，而由對稱軸知b=-4a，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a﹣3b+1c=7a+11a-5a=14a，由函數的圖像開口向下，可知a＜0，因此7a﹣3b+1c＜0，故（3）不正確；根據圖像可知當x＜1時，y隨x增大而增大，當x＞1時，y隨x增大而減小，可知若點A（﹣3，y1）、點B（﹣，y1）、點C（7，y3）在該函數圖象上，則y1=y3＜y1，故（4）不正確；根據函數的對稱性可知函數與x軸的另一交點坐標為（5，0），所以若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的兩根為x1和x1，且x1＜x1，則x1＜﹣1＜x1，故（5）正確．正確的共有3個.故選B.點睛：本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數y=ax1+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點．

拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定，△=b1﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b1﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b1﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．3、C【分析】判斷一元二次方程根的判別式的大小即可得解.【詳解】由題意可可知：△＝（﹣k﹣3）2﹣4（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，故選：C．本題考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式：（1）當△=b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；（2）當△=b2﹣4ac=0時，方程有有兩個相等的實數根；（3）當△=b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數根.4、B【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據中心對稱圖形的概念求解．【詳解】A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C、不中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D、不中心對稱圖形，故本選項不合題意．

故選：B．本題主要考查了中心對稱圖形的概念：關鍵是找到相關圖形的對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．5、C【解析】分析：找到每個幾何體從左邊看所得到的圖形即可得出結論．詳解：A．球的左視圖是圓；B．圓臺的左視圖是梯形；C．圓柱的左視圖是長方形；D．圓錐的左視圖是三角形．故選C．點睛：此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關鍵是掌握每個幾何體從左邊看所得到的圖形.6、B【分析】求出P點到圓心的距離，即OP長，與半徑長度5作比較即可作出判斷.【詳解】解：∵，∴OP=，∵的直徑為10，∴r=5,∵OP>5,∴點P在外.故選：B.本題考查點和直線的位置關系，當d>r時點在圓外，當d=r時，點在圓上，當d<r時，點在圓內,解題關鍵是根據點到圓心的距離和半徑的關系判斷.7、D【分析】根據一元二次方程根的判別式，即可得到答案【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數根，∴，解得：；故選擇：D.本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握利用根的判別式求參數的值.8、D【解析】∵在中，k=8＞0，∴它的兩個分支分別位于第一、三象限，排除①②；又當=2時，=4，排除③；所以應該是④．故選D．9、C【分析】根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方解答．【詳解】∵兩個相似三角形的相似比為2：3，∴這兩個三角形的面積比為4：9，故選：C．本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．10、B【分析】根據網格的特點求出三角形的三邊，再根據相似三角形的判定定理即可求解.【詳解】已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應成比例．故選B．【點晴】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定定理.二、填空題(每小題3分,共24分)11、且k≠1．【分析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據題意得且，

解得：且k≠1．

故答案是：且k≠1．本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根的判別式△=b2-4ac：當△＞1，方程有兩個不相等的實數根；當△=1，方程有兩個相等的實數根；當△＜1，方程沒有實數根．12、【分析】先利用配方法提出二次項的系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，再根據頂點式即可得到頂點的坐標.【詳解】利用完全平方公式得：由此可得頂點坐標為.本題考查了用配方法將二次函數的一般式轉化為頂點式、以及二次函數頂點坐標，熟練運用配方法是解題關鍵.13、2.【解析】能組合成圓錐體,那么扇形的弧長等于圓形紙片的周長.應先利用扇形的面積=圓錐的弧長母線長,得到圓錐的弧長=2扇形的面積母線長,進而根據圓錐的底面半徑=圓錐的弧長求解.【詳解】圓錐的弧長,

圓錐的底面半徑,

故答案為2.解決本題的難點是得到圓錐的弧長與扇形面積之間的關系,注意利用圓錐的弧長等于底面周長這個知識點.14、【分析】原式利用特殊角的三角函數值計算即可得到結果．【詳解】解：原式==.故答案為：.此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．15、30cm．【分析】利用相似三角形的性質解決問題即可．【詳解】，的周長:的周長=2：3的周長為20cm，的周長為30cm，故答案為：30cm．本題主要考查相似三角形的判定及性質，掌握相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．16、0.5【分析】根據同一時刻身長和影長成比例,求出舉起手臂之后的身高,與身高做差即可解題.【詳解】解：設舉起手臂之后的身高為x由題可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,則小剛舉起的手臂超出頭頂的高度為2.2-1.7=0.5m本題考查了比例尺的實際應用,屬于簡單題,明確同一時刻的升高和影長是成比例的是解題關鍵.17、．【分析】根據關于x的不等式組有解，得出b≤x≤a+1，根據題意列出樹狀圖得出所有等情況數和關于x的不等式組有解的情況數，再根據概率公式即可得出答案．【詳解】解：∵關于x的不等式組有解，∴b≤x≤a+1，根據題意畫圖如下：共有12種等情況數，其中關于x的不等式組有解的情況分別是，，，，，，，，共8種，則有解的概率是；故答案為：．本題考查了不等式組的解和用列舉法求概率，熟練掌握并靈活運用是解題的關鍵．18、y=-x+2（答案不唯一）【解析】①圖象經過（1，1）點；②當x＞1時．y隨x的增大而減小，這個函數解析式為y=-x+2，故答案為y=-x+2（答案不唯一）．三、解答題(共66分)19、（1）證明見解析；（2）8﹣．【分析】（1）過O作OE⊥AB，根據垂徑定理得到AE=BE，CE=DE，從而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，再根據勾股定理求出CE及AE的長，根據AC=AE﹣CE即可得出結論．【詳解】解：（1）證明：如答圖，過點O作OE⊥AB于點E，∵AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，∵OA=10，OC=8，OE=6，∴.∴AC=AE﹣CE=8﹣．本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．20、（1）（數字是偶數）；（2）（數字相同）【分析】（1）利用概率公式求概率即可；（2）先列表，然后根據概率公式計算概率即可．【詳解】解：（1）第一次摸出的小球共有4種等可能的結果，其中摸出的小球所標數字是偶數的結果有2種，∴（數字是偶數）=2÷4（2）列表如下：第二次第一次123411,12,13,14,121,22,23,24,231,32,33,34,341,42,43,44,4由表格可知：共有16種等可能的結果，其中兩次摸出的小球所標數字相同的可能有4種∴（數字相同）=4÷16此題考查的是求概率問題，掌握列表法和概率公式是解決此題的關鍵．21、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】(1)作以為圓心，為半徑的圓,根據圓周角性質可得;(2)作以AB中點P為圓心，為半徑的圓,根據圓周角定理可得；（3）取的中點，則是的外接圓．由，可得點在的外接圓上．根據切線判定定理求解.【詳解】（1）如圖，由，可知:點，，在以為圓心，為半徑的圓上．所以，．（2）如圖，點，就是所要求作的點．（3）如圖，取的中點，則是的外接圓．由，可得點在的外接圓上．∴．∵，∴．∵，∴．∴．即．∴是外接圓的切線．考核知識點：多邊形外接圓.構造圓，利用圓周角等性質解決問題是關鍵.22、(1)見解析；(2)①60°，②120°.【分析】（1）連接，由，得到為等邊三角形，得到，即可得到，則結論成立；（2）①連接BD，由圓周角定理，得到∠ABD=30°，則∠DBE=60°，又有∠BEP=120°，根據同旁內角互補得到PE//DB，然后證明，即可得到答案；②由圓周角定理，得∠ABD=60°，得到∠EBD=90°，然后由直徑所對的圓周角為90°，得到，即可得到答案.【詳解】證明：連接，，.，為等邊三角形，.點是的三等分點，，，，即，是的切線.（2）①當時，四邊形是菱形；如圖，連接BD，∵，∴，∴，∵AB為直徑，則∠AEB=90°，由（1）知，∴，∴，∴PE//DB，∵，，∴，∴四邊形是菱形；故答案為：60°.②當時，四邊形是矩形.如圖，連接AE、AD、DB，∵，∴，∴，∵AB是直徑，∴，∴四邊形是矩形.故答案為：.本題考查了圓的切線的判定和性質，圓周角定理，菱形的判定和矩形的判定，解題的關鍵是正確作出輔助線，利用圓的性質進行解題.23、（1）見解析；（2）y=．（0＜x＜6.4）【分析】（1）可證明△APE和△ACB都是直角三角形，還有一個公共角，從而得出：△AEP∽△ABC；（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE＝x，，即可得出y與x的函數關系式．【詳解】（1）∵PE⊥AB，∴∠APE＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠APE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△AEP∽△ABC；（2）在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，∴BC＝，由（1）可知，△APE∽△ACB∴，又∵AP＝x，即，∴PE＝x，，∴＝．（0＜x＜6.4）本題考查了相似三角形的性質問題，掌握相似三角形的性質以及判定定理是解題的關鍵．24、（1）；（2）.【分析】（1）讓一等獎的學生數除以全班學生數即為所求的概率；（2）畫樹狀圖（用A、B、C分別表示七年級、八年級和九年級的學生）展示所有12種等可能的結果數，再找出所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的結果數，然后利用概率公式求解．【詳解】（1）因為一共有1200名學生，每人被抽到的機會是均等的，四名一等獎，所以（每一位同學獲得一等獎）；（2）由題意知，獲一等獎的學生中，七年級有1人，八年級有1人，九年級有2人，畫樹狀圖為：（用A、B、C分別表示七年級、八年級和九年級的學生）共有12種等可能的結果數，其中所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的結果數為4，

所以所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的概率=.本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=．25、（1）(4，3)；（2）y=x+x；（3）【分析】（1）根據矩形的性質可知點D的縱坐標為3，代入直線解析式即可求出點D的橫坐標，從而可確定點D的坐標；（2）直接將點A、D的坐標代入拋物線解析式即可；（3）當P為拋物線頂點時，△POA面積最大，將拋物線解析式化為頂點式，求出點P的坐標，再計算面積即可．【詳解】解：（1）設D的橫坐標為x,則根據題意有3=x，則x=4∴D點坐標為（4，3）（2）將A（6，0），D(4,3)代入y=ax＋bx中，得解得：∴此拋物線的表達式為：y=x+x；（3）由于△POA底邊為OA=6，∴當P為拋物線頂點時，△POA面積最大∴∴∴的最大值為本題是一道二次函數與矩形相結合的題目，熟練掌握二次函數的性質和軸對稱的性質；會利用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵．26、（1）①105°，②見解析；（2）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解決問題，②連接A′