101.全國(guó)卷概率計(jì)算的十二種題型與方法1.頻率與概率（統(tǒng)計(jì)結(jié)合概率）2.枚舉法3.排列組合與古典概型4.加法乘法概率公式5.利用對(duì)稱性計(jì)算概率6.三大分布7.極大似然估計(jì)與概率最值8.條件概率與全概率公式9.概率遞推與馬爾科夫鏈10.伯努利試驗(yàn)與幾何分布11.基于期望的遞推12.新情境與跨板塊綜合問題1.頻率與概率例1.（2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，例2.（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：2．枚舉法例3．（2022新高考1卷）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為A． B． C． D．例4.（2020全國(guó)1卷）.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為丙的參賽情況12345事件輪空勝勝敗勝B輪空勝敗輪空勝C輪空敗輪空勝勝D注：第二問在處理時(shí)直接列舉情況較復(fù)雜，此時(shí)可以采取正難則反的技巧.第三問則可直接枚舉出各種可能結(jié)果，這是我們?cè)谟?jì)算復(fù)雜事件時(shí)一個(gè)重要的技巧.3.排列組合與古典概型例5．（2022全國(guó)甲卷）從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一平面上的概率為．例6.（2021全國(guó)甲卷）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.例7．（2022全國(guó)乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為________．4.概率公式主要有加法公式和乘法公式：（1）事件與是相互獨(dú)立的，那么與，與，與也是否相互獨(dú)立．4.計(jì)算技巧：（1）善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標(biāo)”的形式表示事件“第幾局勝利”，例如：表示“第局比賽勝利”，則表示“第局比賽失敗”.（2）理解事件中常見詞語(yǔ)的含義：A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A∪B；A,B都發(fā)生的事件為AB；A,B都不發(fā)生的事件為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；A,B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；A,B至多一個(gè)發(fā)生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).例8．（2019年全國(guó)1卷）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________．例9.（2022全國(guó)甲卷）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.解析：（1）記甲學(xué)校獲得冠軍為事件，甲學(xué)校獲得冠軍的概率是0.6.對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，例11．（2024年新課標(biāo)2卷高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)的所有可能取值為0，5，10，15，5.利用對(duì)稱性例12．中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場(chǎng)比賽獲勝概率均為，且每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對(duì)稱性可知，在5場(chǎng)比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場(chǎng)的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；解析：（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為；6.三個(gè)分布例13.（2023年全國(guó)甲卷）為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)作用,將40只小鼠均分為兩組,分別為對(duì)照組(不藥物)和實(shí)驗(yàn)組(加藥物).(1)設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為,求的分布到和數(shù)學(xué)期望;(2)測(cè)得40只小鼠體重如下(單位:g)：（已按從小到大排好)對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（2）略B.越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C.越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故B正確；故選：D.7.極大似然估計(jì)一．基本原理極大似然估計(jì)，通俗理解來說，就是利用已知的樣本結(jié)果信息，反推最具有可能（最大概率）導(dǎo)致這些樣本結(jié)果出現(xiàn)的模型參數(shù)值.換句話說，極大似然估計(jì)提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來評(píng)估模型參數(shù)的方法，即：“模型已定，參數(shù)未知”.（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.例17．（2023屆四省聯(lián)考）一個(gè)池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標(biāo)識(shí)，然后把魚放回池塘里，過一小段時(shí)間后再?gòu)某靥晾飺瞥?00尾魚，表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識(shí)的魚的數(shù)目．8.條件概率與全概率公式例18.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)査了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組60對(duì)照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？解析：（1）假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒有差異，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；例19.（2022長(zhǎng)沙新高考適應(yīng)性考試）為了調(diào)動(dòng)大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識(shí)的競(jìng)賽．初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)單位派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若該單位獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）已知甲、乙兩個(gè)小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行．假設(shè)這兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對(duì)，計(jì)算恰好是甲小組答對(duì)的概率．設(shè)表示事件“該單位的某小組對(duì)最后一道題回答正確”，表示事件“甲小組搶到最后一道題”，表示事件“乙小組搶到最后一道題”，則有：點(diǎn)評(píng)：本題第二問即考察了全概率公式與貝葉斯公式，后者雖然不做高考要求，但是可以看到，它實(shí)際就是條件概率的應(yīng)用，完全可以現(xiàn)場(chǎng)依據(jù)具體情況得出.再舉一道貝葉斯公式的例子9.概率遞推與馬爾科夫鏈進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為，原地不動(dòng)，其概率為，向右平移一個(gè)單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：有了這樣的理論分析，下面我們看全概率公式及以為隨機(jī)游走模型在2019年全國(guó)1卷中的應(yīng)用.例20．（2023年新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽