2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽同余應(yīng)用試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）若正整數(shù)(a)滿足(a\equiv3\pmod{4})，且(a+5\equiv0\pmod{7})，則(a)的最小值為（）A.18B.23C.28D.33已知(2^{2025}\equivk\pmod{5})，則(k)的值為（）A.1B.2C.3D.4若整數(shù)(x)滿足(\begin{cases}x\equiv2\pmod{3}\x\equiv3\pmod{5}\x\equiv4\pmod{7}\end{cases})，則(x)的最小正整數(shù)解為（）A.104B.109C.114D.119設(shè)(n)為正整數(shù)，若(n^2\equiv1\pmod{8})，則(n)的所有可能取值為（）A.奇數(shù)B.偶數(shù)C.4的倍數(shù)D.2的倍數(shù)某數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，這個數(shù)最小是（）A.53B.68C.83D.98二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）若(a\equivb\pmod{m})，且(c\equivd\pmod{m})，則(ac\equiv)______(\pmod{m})。滿足(10^n\equiv1\pmod{7})的最小正整數(shù)(n)為______。已知(x\equiv3\pmod{4})，(y\equiv2\pmod{3})，則(2x+3y\equiv)______(\pmod{12})。設(shè)(a)是整數(shù)，且(a\equiv5\pmod{11})，則(a^{2025}\equiv)______(\pmod{11})。若今天是星期三，則2025天后是星期______。三、解答題（共4小題，每小題20分，滿分80分）證明：對于任意整數(shù)(n)，(n^3-n)能被6整除。解同余方程組：[\begin{cases}2x\equiv1\pmod{3}\3x\equiv2\pmod{4}\4x\equiv3\pmod{5}\end{cases}]求所有正整數(shù)(n)，使得(n^2+2n\equiv0\pmod{15})。某學(xué)校組織學(xué)生參加勞動，若按每組12人分組，則多10人；若按每組15人分組，則多13人；若按每組18人分組，則多16人。已知學(xué)生總?cè)藬?shù)在200~300之間，求學(xué)生總?cè)藬?shù)。證明：(5^{2n}-1)能被8整除，其中(n)為正整數(shù)。已知(a)，(b)，(c)均為整數(shù)，且(a+b+c\equiv0\pmod{3})，證明：(a^3+b^3+c^3\equiv0\pmod{3})。求(2^{1000})除以13的余數(shù)。某數(shù)除以5余3，除以7余2，除以11余7，求滿足條件的最小正整數(shù)。證明：對于任意正整數(shù)(n)，(11^{n+2}+12^{2n+1})能被133整除。若(a\equivb\pmod{m})，證明：(a^k\equivb^k\pmod{m})，其中(k)為正整數(shù)。四、綜合應(yīng)用題（共2小題，每小題20分，滿分40分）一個三位數(shù)，除以7余3，除以11余4，除以13余5，求這個三位數(shù)。某工廠生產(chǎn)的零件，每盒裝12個余10個，每盒裝15個余13個，每盒裝18個余16個。已知這批零件總數(shù)在1000~1200之間，求零件總數(shù)。證明：對于任意整數(shù)(n)，(n^5-5n^3+4n)能被120整除。求滿足(2^x\equiv3\pmod{7})的最小正整數(shù)(x)，并計算(2^{2025}\equiv)______(\pmod{7})。某數(shù)除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，求滿足條件的最小正整數(shù)。五、拓展題（共2小題，每小題25分，滿分50分）設(shè)(p)是質(zhì)數(shù)，證明：((p-1)!\equiv-1\pmod{p})（威爾遜定理），并利用該定理證明17是質(zhì)數(shù)。已知(a)，(b)，(m)均為正整數(shù)，且(a)與(m)互質(zhì)，證明：存在正整數(shù)(k)，使得(a^k\equiv1\pmod{m})（歐拉定理的特殊情況），并計算當(dāng)(a=3)，(m=7)時，滿足條件的最小正整數(shù)(k)。證明：若(a)，(b)，(c)為整數(shù)，且(a^2+b^2=c^2)，則(a)，(b)，(c)中至少有一個能被3整除。求所有正整數(shù)(n)，使得(n^2\equivn\pmod{1000})。設(shè)(m)，(n)為正整數(shù)，且(m>n)，證明：(m^n-n^m)能被(m-n)整除。本試卷涵蓋了同余的定義、性質(zhì)及應(yīng)用等方面的內(nèi)容，通過不同題型和難度的題目，全面考查學(xué)生對同余知識的掌握程度。選擇題和填空題主要考查基本概念和性質(zhì)的應(yīng)用，解答題和綜合應(yīng)用題則注重考查學(xué)生的邏輯推理能力和解決實際問題的能力，拓展題則為學(xué)有余力的學(xué)生提供了進(jìn)一步提升的空間。在解題過程中，學(xué)生需要熟練掌握同余的基本性質(zhì)，如對稱性、傳遞性、加法和乘法法則等，并能靈活運用這些性質(zhì)解決問題。同時，還需要掌握解同余